DYNAMIQUE - INTERACTION DE DEUX POINTS - corrigé des exercices


A. EXERCICE DE BASE

Masses des étoiles doubles

         
• Le “mobile relatif” représentatif du système a un mouvement régi par l’équation :  μa→N=−𝒢m1m2r2u→r\displaystyle μ \;\overset{→}{a}_N=-𝒢 \, \frac{m_1\: m_2}{r^2} \: \overset{→}{u}_r  avec la masse réduite :  μ=m1m2m1+m2\displaystyle μ=\frac{m_1\: m_2}{m_1+m_2} .
• Pour une planète de masse mm soumise à l’attraction d’une étoile de masse  M≫mM≫m ,  la loi correspondante est :  ma→=−𝒢Mmr2u→r\displaystyle m \;\overset{→}{a}=-𝒢 \, \frac{M\: m}{r^2} \: \overset{→}{u}_r  et elle aboutit à ce que le rayon RR (en fait, plus généralement, le demi-grand-axe) et la période ( TT ) sont liés par la relation :  R3T2=𝒢M4π2\displaystyle \frac{R^3}{T^2} =\frac{𝒢 \:M}{4 \,π^2}  (troisième loi de Kepler).
• Or, le terme  𝒢M=r2‖a→‖𝒢 \:M=r^2 \, ‖\overset{→}{a} \:‖  devient pour le mobile relatif :  r2‖a→N‖=𝒢m1m2μ=𝒢.(m1+m2)\displaystyle r^2 \, ‖\overset{→}{a}_N ‖=𝒢 \: \frac{m_1\: m_2}{μ}=𝒢 .(m_1+m_2 ) .  On obtient donc par cette analogie :  𝓁3T2=𝒢.(m1+m2)4π2\displaystyle \frac{𝓁^3}{T^2} =\frac{𝒢 .(m_1+m_2 )}{4 \,π^2}  d’où on déduit :  m1+m2=4π2𝓁3T2=8,8.1030kg\displaystyle m_1+m_2=\frac{4 \,π^2 \: 𝓁^3}{T^2} =8\text{,}8.{10}^{30} \; \mathrm{kg} .
• La quantité de mouvement totale nulle dans le référentiel de GG impose que les mouvements y sont dans le rapport inverse des masses :  𝓁2𝓁1=m1m2=x=4\displaystyle \frac{𝓁_2}{𝓁_1} =\frac{m_1}{m_2} =x=4 .  On en déduit :  m2=m1+m21+x=1,76.1030kg\displaystyle m_2=\frac{m_1+m_2}{1+x}=1\text{,}76.{10}^{30} \; \mathrm{kg}   et   m1=xm2=7,0.1030kgm_1=x \:m_2=7\text{,}0.{10}^{30} \; \mathrm{kg} .


B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT

Transfert d'énergie cinétique dans un choc élastique "frontal"

1.      
• Le choc frontal peut être décrit algébriquement le long de l'axe du mouvement. On note v″v″ la vitesse du noyau après le choc.
• On peut utiliser la conservation de l’impulsion pour l'ensemble isolé :  mV=mV′+Amv″m \:V=m \:V'+A \:m \:v'' .
• Puisque le choc est élastique, on peut de plus utiliser la conservation de l'énergie cinétique :
12mV2=12mV′2+12Amv″2\frac{1}{2} m \:V^2=\frac{1}{2} m \:{V'}{}^2+\frac{1}{2} A \:m \:{v''}{}^2 .
• Le système formé de ces deux équations peut s’écrire :  V2−V′2=Av″2V^2-{V′}{}^2=A \:{v″}{}^2   et   V−V′=Av″V-V'=A \:v''  ce qui  équivaut à :   V+V′=v″V+V'=v''   et   V−V′=Av″V-V'=A \:v''  ;  ceci aboutit à :   V′=V1−A1+A\displaystyle V'=V \, \frac{1-A}{1+A} .
◊ remarque : pour  A=1A=1  le neutron s'arrête sous l'effet du choc ; pour  A>1A>1  il repart en arrière...
• Finalement l'énergie cinétique du neutron après le choc est :  Ec′=12mV′2=Ec.(1−A1+A)2\displaystyle E'_c=\frac{1}{2} m \:{V'}{}^2=E_c .\left(\frac{1-A}{1+A}\right)^2 .

2.      
• Pour nn chocs successifs, l'énergie cinétique finale du neutron est :  Ecn′=Ec.(1−A1+A)2n\displaystyle E_{cn}'=E_c .\left(\frac{1-A}{1+A}\right)^{2n} .
• Ceci donne inversement :  n=ln(Ecn′Ec)2ln(A−1A+1)\displaystyle n=\frac{\ln\left(\frac{E_{cn}'}{E_c} \right)}{2 \,\ln\left(\frac{A-1}{A+1}\right)} .
◊ remarque : c'est contradictoire de considérer une succession de chocs frontaux puisque le neutron se déplaçant sur une droite ne peut pas entrer en collision avec plusieurs noyaux alignés : ou bien il s'arrête au premier choc si  A=1A=1 ,  ou bien il rebrousse chemin à chaque choc et ne peut qu'entrer en collision avec toujours les deux mêmes (qui l'entourent) mais qui ne sont plus immobiles dès qu'ils ont subi un premier choc ; en fait ce modèle est simplifié, mais il décrit en bonne approximation ce qui peut se produire pour une suite de chocs “à peu près” frontaux.
• Avec  Ec=1,0.106eVE_c=1\text{,}0.{10}^6 \; \mathrm{eV}  et  Ecn′=0,025eVE_{cn}'=0\text{,}025 \;\mathrm{eV}  on obtient respectivement :
  • pour des neutrons ( A=1A=1 ) : le transfert est forcément total et  Ec1′=0 E_{c1}'=0  donc  Ec′=0,025eVE_c'=0\text{,}025 \;\mathrm{eV}  ne peut être obtenu que par un choc non frontal.
  • pour des noyaux d'atomes de deutérium  ( A=2A=2 ) :  n≈8n≈8 .
  • pour des noyaux d'atomes de carbone  ( A=12A=12 ) :  n≈52n≈52 .
◊ remarque : le transfert est d'autant plus progressif que les masses sont différentes ; cela peut être utilisé pour ajuster l'énergie cinétique : c'est le cas du ralentissement des neutrons rapides dans les réacteurs nucléaires, nécessaire pour optimiser la “section efficace” d'interaction (“taux” de réaction) avec l'uranium (cette section efficace dépend de l'énergie cinétique des neutrons).


Choc inélastique et perte d'énergie cinétique

         
• Si on utilise les propriétés générales du point “mobile relatif” NN , affecté de la masse réduite μμ , alors l'énergie cinétique du système dans le référentiel du centre de masse est avant le choc:  Ec=12μvN2E_c=\frac{1}{2} μ \:v_N^{\:2} .
◊ remarque : on peut aussi en refaire une démonstration dans le cas particulier étudié ; puisque la quantité de mouvement totale dans ce référentiel est nulle, les vecteurs quantité de mouvement incidents sont opposés et algébriquement :  m1v1=−m2v2m_1 \: v_1=-m_2 \: v_2  et  vN=v2−v1=−v1.(1+m1m2)v_N=v_2-v_1=-v_1 .\left(1+\frac{m_1}{m_2} \right)  ; donc initialement :  Ec=12m1v12+12m2v22=12m1v12.(1+m1m2)=12m1vN21+m1m2=12μvN2\displaystyle E_c=\frac{1}{2} m_1\: v_1^{\:2}+\frac{1}{2} m_2 \: v_2^{\:2}=\frac{1}{2} m_1\: v_1^{\:2} .\left(1+\frac{m_1}{m_2} \right)=\frac{\frac{1}{2} m_1 \: v_N^{\:2}}{1+\frac{m_1}{m_2}}=\frac{1}{2} μ \:v_N^{\:2} .
• Or l’impulsion totale dans ce référentiel est nulle et donc l'énergie cinétique finale est nulle. Par suite la variation d'énergie cinétique est :  ∆Ec=0−Ec=−12μvN2=−12μ.(v2−v1)2∆E_c=0-E_c=-\frac{1}{2} μ \:v_N^{\:2}=-\frac{1}{2} μ .(v_2-v_1 )^2 .
◊ remarque : ceci n'est pas indépendant du théorème de Koenig sur l'énergie cinétique.