DYNAMIQUE - PRINCIPE DE MOINDRE ACTION

DYNAMIQUE - PRINCIPE DE MOINDRE ACTION - corrigé des exercices

Définition d'un lagrangien

• La modification du lagrangien

\displaystyle \underline{ℒ}(q,\dot{q},t)=ℒ(q,\dot{q},t)+\frac{d}{dt} f(q(t),t)

correspond à :

$\underline{𝒮}=𝒮+\left[f(q(t),t)\right]_{t_1}^{t_2}=𝒮+Cste$ .

• On en déduit

δ\underline{𝒮}=δ𝒮

; ainsi les équations du mouvement qui s'en déduisent sont les mêmes.

Changement de référentiel galiléen

• Un changement de référentiel galiléen correspond à :

$\overset{→}{v}→\overset{→}{v}{}'=\overset{→}{v}+\overset{→}{v}_e$ ;
$\displaystyle ℒ(v^2 )=\frac{m}{2} \, v^2→ℒ(v'{}^2 )=\frac{m}{2} \, v^2+\frac{m}{2} \left(2 \,\overset{→}{v}⋅\overset{→}{v}_e+v_e^{\:2} \right)$ .

• Puisque

\displaystyle 2\,\overset{→}{v}⋅\overset{→}{v}_e+v_e^{\:2}=\frac{d}{dt} \left(2 \,\overset{⟶}{OM}⋅\overset{→}{v}_e+v_e^{\:2} \: t\right)

est la dérivée totale d'une fonction

f(M,t)

, le lagrangien ainsi obtenu est équivalent.

Expression du lagrangien

1.	• Les équations du mouvement $\displaystyle \frac{∂ℒ}{∂q_i}-\frac{d}{dt} \frac{∂ℒ}{∂\dot{q}_i}=0$ sont visiblement inchangées si on multiplie le lagrangien par une constante arbitraire. Cela équivaut en fait à un changement d'unité de mesure (le lagrangien a une unité d'énergie).

• Une multiplication arbitraire de chaque terme par une constante différente peut être acceptable si c'est tout de même pareil pour

q_i

et le

\dot{q}_i

correspondant ; cela revient à changer les définitions respectives des coordonnées de chaque point. Dans le cas général, cela implique toutefois de modifier l'expression du terme d'interaction

𝒰

, de façon d'autant plus soigneusement adaptée quand les différentes coordonnées interviennent en même temps.

Système de points matériels

• L'énergie cinétique de

M_1

est négligeable ; celle de

M_2

est :

m \:\dot{x}_2^{\:2}

.
• Les coordonnées de

M_3

sont :

x_3=x_1+L \; \sin(θ)

;

z_3=-L \; \cos(θ)

. Les coordonnées de sa vitesse sont donc :

\dot{x}_3=\dot{x}_1+L \; \cos(θ) \: \dot{θ}

;

\dot{z}_3=L \; \sin(θ) \: \dot{θ}

.
• L'énergie cinétique de

M_3

est ainsi :

\displaystyle \frac{m}{2} \, \left(\dot{x}_3^{\:2}+\dot{z}_3^{\:2} \right)=\frac{m}{2} \, \left(\dot{x}_1^{\:2}+L^2 \: \dot{θ}^2+2 \,L \;\cos(θ) \: \dot{x}_1\: \dot{θ} \right)

.
◊ remarque : dès lors que

M_3

n'est pas directement repéré par ses coordonnées, l'expression de son énergie cinétique peut dépendre des coordonnées des autres points.

2.a.	• L'énergie potentielle des ressorts est : $\displaystyle \frac{k}{2}\, (x_1-𝓁_0 )^2+ \frac{k}{2}\, (x_2-x_1-𝓁_0 )^2$ . • L'énergie potentielle de pesanteur est : $m \:g \:z_3=-m \:g \:L \; \cos(θ)$ . • Le lagrangien peut donc s'écrire : $\displaystyle ℒ=m \:\dot{x}_2^{\:2}+\frac{m}{2} \, \left(\dot{x}_1^{\:2}+L^2 \: \dot{θ}^2+2 \,L \;\cos(θ) \: \dot{x}_1 \: \dot{θ} \right)-\frac{k}{2}\, (x_1-𝓁_0 )^2- \frac{k}{2} \,(x_2-x_1-𝓁_0 )^2+m \:g \:L \; \cos(θ)$ .

2.b.	• Les équations du mouvement $\displaystyle \frac{d}{dt} \frac{∂ℒ}{∂\dot{q}_i}=\frac{∂ℒ}{∂q_i}$ peuvent s'écrire : $m .\left(\ddot{x}_1+L \;\cos(θ) \: \ddot{θ}-L \;\sin(θ) \: \dot{θ}^2 \right)=-k .(x_1-𝓁_0 )+k .(x_2-x_1-𝓁_0 )$ ; $2 \,m \:\ddot{x}_2=-k .(x_2-x_1-𝓁_0 )$ ; $m .\left(L^2 \: \ddot{θ}+L \;\cos(θ) \: \ddot{x}_1-L \;\sin(θ) \: \dot{x}_1 \: \dot{θ} \right)=-m \:g \:L \; \sin(θ)$ .

3.a.

• Les conditions d'équilibre peuvent s'écrire :

$0=-k .(x_1-𝓁_0 )+k .(x_2-x_1-𝓁_0 )$ ; $0=-k .(x_2-x_1-𝓁_0 )$ ; $0=-m \:g \:L \; \sin(θ)$ .

• On en déduit :

x_{1e}=𝓁_0

;

x_{2e}=2 \,𝓁_0

;

θ_e=0

3.b.

• Pour les petites oscillations au voisinage de l'équilibre, on peut considérer :

$x_1≈𝓁_0+X_1 \; \cos(ω \,t)$ ; $x_2≈2 \,𝓁_0+X_2 \; \cos(ω \,t)$ ; $θ=Θ \; \cos(ω \,t)$ .

• En ne conservant que les termes au premier ordre, les équations des petits mouvements peuvent s'écrire (on peut simplifier en posant :

\displaystyle K=\frac{k}{m \:ω^2}

;

\displaystyle G=\frac{g}{L \:ω^2}

;

Y=L \:Θ

) :

$X_1+Y=K .(2 \,X_1-X_2)$ ; $2 \,X_2=K .(X_2-X_1)$ ; $X_1+Y=G \:Y$ .

• On en déduit que des solutions sont possibles avec :

$\displaystyle X_2=\frac{K}{K-2} \, X_1$ ; $\displaystyle Y=\frac{1}{G-1} \, X_1$ ; $\displaystyle \frac{G}{G-1}=\frac{K.(K-4)}{K-2}$ .

• Ceci signifie que les modes propres correspondent pour les trois points à des amplitudes respectives non indépendantes (proportionnelles dans la limite des petits mouvements).
• Mais surtout cela montre que ces modes propres n'existent que si les fréquences propres des différentes parties respectent une relation bien précise (dans le cas général le mouvement est chaotique).
• Par exemple pour :

K=1

;

\displaystyle ω=Ω_1≝\sqrt{\frac{k}{m}}

;

G=\frac{3}{2}

;

\displaystyle Ω_2≝\sqrt{\frac{g}{L}}=Ω_1 \sqrt{\frac{3}{2}}

. Dans ces conditions :

X_2=-X_1

(opposition de phase ; le centre du second ressort est immobile) ;

Y=2 \,X_1

(en phase ; le déplacement du pendule est le double de celui de son point de fixation ; oscillation “forcée” par les ressorts). Mais un tel mode propre n'est possible que si :

\displaystyle \frac{k}{m}=\frac{2 \,g}{3 \,L}

; par exemple en choisissant une longueur

\displaystyle L=\frac{2 \,m \:g}{3 \,k}

.
• Inversement, on peut considérer une égalité des fréquences propres

Ω_1=Ω_2

. Dans ces conditions :

G=K=\frac{3±\sqrt{3}}{2}≠1

(donc

ω≠Ω_1=Ω_2

) ;

pour $G=K=\frac{3+\sqrt{3}}{2}≈2\text{,}37$ les trois mouvements sont en phase :

${\displaystyle \frac{X_2}{X_1}}=\frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}-1}≈6\text{,}46$ ; ${\displaystyle \frac{Y}{X_1} }=\frac{2}{1+\sqrt{3}}≈0\text{,}732$ (le plus petit) ;
pour $G=K=\frac{3-\sqrt{3}}{2}≈0\text{,}634$ les deux ressorts sont en opposition de phase et le pendule est en phase avec le second : ${\displaystyle \frac{X_2}{X_1} }=\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+1}≈-0\text{,}464$ (le plus petit) ; ${\displaystyle \frac{Y}{X_1}} =\frac{2}{1-\sqrt{3}}≈-2\text{,}73$ .