M. X* - DYNAMIQUE - COMPLÉMENTS SUR LES CHOCS

Propriétés générales

• Dans le cas général où on ne connaît pas la loi de force d’interaction, on peut se limiter à relier les limites “longtemps avant” et “longtemps après” le choc (en comparaison de sa durée).

En particulier, pour un système isolé, il y a toujours conservation de la quantité de mouvement totale :

\overset{→}{p}_1+\overset{→}{p}_2=\overset{→}{p}{}'_1+\overset{→}{p}{}'_2

(où les “primes” désignent ici les quantités après le choc, dans le même référentiel).

La conservation de l’énergie totale peut aussi être utilisée ; en particulier pour les chocs “élastiques” (où aucune partie du système ne change d’énergie “interne”) il y a conservation de l'énergie cinétique :

E_{c1}+E_{c2}=E'_{c1}+E'_{c2}

• Ces deux lois ne permettent pas de déterminer complètement le mouvement limite après le choc ; en particulier elles ne donnent pas la répartition angulaire de

θ=\widehat{\left(\overset{→}{p}_1 \, ;\overset{→}{p}{}'_1 \right)}

. Le complément d’information dépend du moment cinétique total et de la loi de force d’interaction.

Ces deux lois impliquent tout de même des propriétés importantes. Ainsi, pour un choc élastique dans le référentiel barycentrique :

$\displaystyle E_c^* =\frac{{p{}_1^*}^2}{2 \,m_1}+\frac{{p{}_2^*}^2}{2 \,m_2}=\frac{{p'_1{}^*}^2}{2 \,m_1}+\frac{{p'_2{}^*}^2}{2 \,m_2}$ ;

avec :

p_1^* =p_2^*

p'_1{}^* =p'_2{}^*

(vecteurs opposés car au total

\overset{→}{p}{}^* =\overset{→}{0}

).

Par conséquent :

p_1^* =p'_1{}^*

p_2^* =p'_2{}^*

c’est-à-dire que les impulsions dans le référentiel barycentrique changent seulement de direction.

Relations dans le “référentiel du laboratoire”

• Pour un choc élastique dans le référentiel où le point

2

est initialement fixe (“cible”) :

La quantité de mouvement permet d'écrire :

$m_1 \: v'_1 \; \cos(θ)+m_2 \: v'_2 \; \cos(ϕ)= m_1 \: v_1$ ;
$m_1 \: v'_1 \; \sin(θ)+m_2 \: v'_2 \; \sin(ϕ)= 0$ ;

puis (en éliminant

ϕ

) :

m_2^{\:2}\: v'_2{}^2=m_1^{\:2} \: v'_1{}^2+m_1^{\:2} \: v_1^{\:2}-2 \,m_1^{\:2} \: v'_1 \: v_1 \; \cos(θ)

.

De l’énergie cinétique, on déduit :

m_1 \: v_1^{\:2}=m_1 \: v'_1{}^2+m_2 \: v'_2{}^2

;
puis (en éliminant

v'_2

) :

$(m_1+m_2 ) \; v'_1{}^2-2 \,m_1 \: v_1 \; \cos(θ) \: v'_1+(m_1-m_2 ) \: v_1^{\:2}=0$ ;

dont les solutions peuvent s’écrire :

\displaystyle v'_1=v_1\, \frac{m_1 \; \cos(θ)±\sqrt{m_2^{\:2}-m_1^{\:2} \; \sin^2(θ) }}{m_1+m_2}

.

Avec la même méthode :

\displaystyle v'_2=v_1 \, \frac{2 \,m_1\; \cos(ϕ)}{m_1+m_2}

ce qui impose

-\frac{π}{2}<ϕ<0

.

• On constate en particulier (racine dans l'expression) que pour

m_1>m_2

il existe un angle de déviation limite :

\displaystyle \sin(θ_m )=\frac{m_2}{m_1} <1

.

Pour chaque

θ<θ_m

les deux signes sont possibles, correspondant à deux valeurs de

v'_1

, donc d'après l'énergie cinétique à deux valeurs de

v'_2

et donc à deux valeurs de

ϕ

(les expressions sont compliquées).

Par exemple pour

m_1=\sqrt{2} \; m_2

on obtient

\displaystyle v'_1=v_1\, \frac{\sqrt{2} \; \cos(θ)±\sqrt{1-2 \:\sin^2(θ)}}{\sqrt{2}+1}

; ceci donne

\sin(θ_m )=\frac{1}{\sqrt{2}}

θ_m=\frac{π}{4}

.

Ainsi

θ=\frac{π}{6}≘30 \:°

;

\sin(θ)=\frac{1}{2}

;

\cos(θ)=\frac{\sqrt{3}}{2}

donne :

v'_1=v_1\, \frac{\sqrt{3}±1}{\sqrt{2}+2}

.

D'après

E_c

m_2 \: v'_2{}^2=m_1 \: v_1^{\:2}-m_1 \: v'_1{}^2

;

v'_2{}^2=\sqrt{2} \; v_1^{\:2} \: \left(1-\left(\frac{\sqrt{3}±1}{\sqrt{2}+2}\right)^2 \right)

.

Avec le signe

+

(choc plutôt tangent) :

v'_1≈0\text{,}800 \;v_1

;

v'_2≈0\text{,}713 \;v_1

;

$\cos(ϕ)={\displaystyle \frac{m_1+m_2}{2 \,m_1} \, \frac{v'_2}{v_1}} ≈0\text{,}713 \: \frac{\sqrt{2}+1}{2 \,\sqrt{2}}≈0\text{,}609$ ; $ϕ≘52 \:°$ .

Avec le signe

-

(choc plutôt frontal) :

v'_1≈0\text{,}214 \;v_1

;

v'_2≈1\text{,}162 \;v_1

;

$\cos(ϕ)={\displaystyle \frac{m_1+m_2}{2 \,m_1} \, \frac{v'_2}{v_1}} ≈1\text{,}162 \, \frac{\sqrt{2}+1}{2 \,\sqrt{2}}≈0\text{,}991$ ; $ϕ≘8 \:°$ .

• Au contraire pour

m_1<m_2

il n’y a pas d’angle de déviation limite ; pour chaque

θ

seul le signe

+

est possible (sinon on obtiendrait

v'_1<0

), correspondant à une valeur de

v'_2

ϕ

.

• De façon générale, la norme

v'_1

varie :

depuis $v'_1=v_1$ ; “choc tangent”, avec : $ϕ=\frac{π}{2}$ ; $θ=0$ ; $v'_2=0$ ;
jusqu'à $\displaystyle v'_1=v_1 \, \frac{|\,m_1-m_2 |}{m_1+m_2}$ ; “choc frontal”, avec : $ϕ=0$ ; $θ=0$ ou $π$ (selon le signe de $m_1-m_2$ ) ; $\displaystyle v'_2=v_1 \, \frac{2 \,m_1}{m_1+m_2}$ .

• Dans le cas particulier où

m_1=m_2

on obtient :

v'_1=v_1 \; \cos(θ)

d’où on déduit :

\tan(θ)=-\mathrm{cotan}(ϕ)

et donc :

θ-ϕ=\frac{π}{2}

c'est-à-dire

\overset{→}{p}{}'_2⊥\overset{→}{p}{}'_1

.

Par ailleurs, le choc frontal donne alors

v'_2=v_1

v'_1=0

(transfert total d’énergie et quantité de mouvement : “carreau” à la pétanque...).

◊ remarque : ici déduites du cas général, les propriétés de ce cas particulier se trouvent rapidement en repartant de la conservation de

\overset{→}{p}

E_c