DYNAMIQUE - COMPLÉMENTS SUR LES CHOCS

DYNAMIQUE - COMPLÉMENTS SUR LES CHOCS - corrigé des exercices

Choc élastique et détermination de la masse du neutron

• La conservation de la quantité de mouvement peut s’écrire :

m_1 \: \overset{→}{v}_1=m_1 \: \overset{→}{v}{}'_1+m_2 \: \overset{→}{v}{}'_2

donc par projection sur les axes :

m_1 \: v_1=m_1 \: v'_1 \; \cos(θ_1 )+m_2 \: v'_2 \; \cos(θ_2 )

0=m_1 \: v'_1 \; \sin(θ_1 )+m_2 \: v'_2 \; \sin(θ_2 )

.
• La conservation de l’énergie cinétique peut s’écrire :

\frac{1}{2} m_1 \: v_1^{\:2}=\frac{1}{2} m_1 \: v'_1{}^2+\frac{1}{2} m_2 \: v'_2{}^2

.
• Ceci fournit donc trois équations, qui permettent de calculer trois quantités (par exemple

v'_1

v'_2

θ_2

) en fonction des autres.

2.a.	• Dans le cas où $θ_1=0$ on obtient le système d’équations simplifié : $m_1 \: v_1=m_1 \: v'_1+m_2 \: v'_2 \; \cos⁡(θ_2 )$ ; $0=m_2 \: v'_2 \; \sin(θ_2 )$ ; $m_1 \: v_1^{\:2}=m_1 \: v'_1{}^2+m_2 \: v'_2{}^2$ . • Il y a alors deux cas envisageables (d’après la seconde équation) : ou bien $v'_2=0$ et alors $v'_1=v_1$ ; ceci correspond au cas limite tangentiel où le “choc” est tellement faible (effleurement) qu’il est inexistant ; ou bien $θ_2=0$ ; $m_1 .(v_1-v'_1)=m_2 \: v'_2$ ; $m_1 .\left(v_1^{\:2}-v'_1{}^2\right)=m_2 \: v'_2{}^2$ d’où : $v_1+ v'_1=v'_2$ puis : $\displaystyle v'_1=v_1\, \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}$ et $\displaystyle v'_2=v_1 \, \frac{2 \,m_1}{m_1+m_2}$ ; cela correspond au cas du choc “frontal”, mais nécessite une interprétation attentive : le cas $m_2>m_1$ donne algébriquement $v'_1<0$ pour $θ_1=0$ et correspond en fait à une norme $\displaystyle v'_1=v_1\, \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}$ positive avec $θ_1=π$ (retour en arrière).

2.b.	• À partir de $E_{c1}=\frac{1}{2} m_1 \: v_1^{\:2}$ et $\displaystyle v'_2=v_1 \, \frac{2 \,m_1}{m_1+m_2}$ on obtient : $E'_{c2}=\frac{1}{2} m_2 \: v'_2{}^2=E_{c1} \, {\displaystyle \frac{4 \,m_1 \: m_2}{(m_1+m_2 )^2}}$ . • Pour $m_1=m_2$ ceci correspond à : $E'_{c2}=E_{c1}$ ; ce qui est cohérent avec $v'_1=0$ et $v'_2=v_1$ car l’énergie cinétique de $m_1$ est alors totalement transférée à $m_2$ . • Pour $m_1≪m_2$ ceci correspond à : $\displaystyle E'_{c2}≈E_{c1} \, \frac{4 \,m_1}{m_2}$ (négligeable en première approximation) ; ce qui est cohérent avec $\widebar{v}'_1≈-v_1$ et $\displaystyle v'_2≈v_1 \, \frac{2 \,m_1}{m_2} ≪v_1$ car $m_1$ “rebondit” alors sur $m_2$ presque sans l’influencer. • Pour $m_1≫m_2$ ceci correspond à : $\displaystyle E'_{c2}≈E'_{c1} \, \frac{4 \,m_2}{m_1}$ (négligeable en première approximation) ; ce qui est cohérent avec $v'_1≈v_1$ et $v'_2≈2 \,v_1$ car $m_1$ “projette” alors $m_2$ en avant presque sans être influencée (grande vitesse $v'_2$ mais $E'_{c2}$ faible ; cela correspond à dire que, dans le référentiel où $m_1$ est initialement immobile, $m_2$ “rebondit” sur $m_1$ sans l’influencer).

2.c.	• Il est difficile de mesurer directement la vitesse initiale des neutrons car leur neutralité électrique complique leur détection. Mais on obtient pour les atomes d’hydrogène $\displaystyle v'_\mathrm{p}=v_\mathrm{n} \, \frac{2 \,m_\mathrm{n}}{m_\mathrm{n}+m_\mathrm{p}}$ et pour les atomes d’azote $\displaystyle v'_\mathrm{N}=v_\mathrm{n} \, \frac{2 \,m_\mathrm{n}}{m_\mathrm{n}+m_\mathrm{N}}$ . • Ceci correspond à : $\displaystyle \frac{v'_\mathrm{p}}{v'_\mathrm{N}}=\frac{m_\mathrm{n}+m_\mathrm{N}}{m_\mathrm{n}+m_\mathrm{p}}$ d’où on déduit : $m_\mathrm{n}=\frac{m_\mathrm{N}+m_\mathrm{p}\, \frac{v'_\mathrm{p}}{v'_\mathrm{N}}}{\frac{v'_\mathrm{p}}{v'_\mathrm{N}}-1}≈m_\mathrm{p}$ .

Choc inélastique et référentiel du centre de masse

• On peut utiliser la conservation de la quantité de mouvement pour l'ensemble isolé ; on en déduit en particulier que

\overset{→}{v}{}'_C

est forcément parallèle à

\overset{→}{v}_A

et que le choc peut être décrit algébriquement le long de l'axe du mouvement initial. On obtient ainsi :

m \:v_A=M' \:v'_C

en notant

M'=M+m

.
• Un choc élastique conserverait l'énergie cinétique :

\frac{1}{2} m \:v_A^{\:2}=\frac{1}{2} M' \:v'_C{}^2

; donc le système formé de ces deux équations se simplifierait sous la forme :

m \:v_A=M' \:v'_C

v_A=v'_C

qui donnerait

m=M'

contraire à l'hypothèse. Donc le choc est forcément inélastique.
• La variation l'énergie cinétique lors du choc s'écrit :

∆E_c=W=\frac{1}{2} M' \:v'_C{}^2-\frac{1}{2} m \:v_A^{\:2}

mais

\displaystyle v'_C=\frac{m}{\,M'} \, v_A

donc :

\displaystyle W=\frac{m^2}{2 \,M'} v'_A{}^2-{\textstyle \frac{1}{2}} m \:v_A^{\:2}=E_{c0} .\left(\frac{m}{\,M'}-1\right)=-E_{c0} \, \frac{M}{\,M'}

(travail résistant des forces intérieures).

2.a.	• L'ensemble du système n'est soumis à aucune force extérieure, donc son centre d'inertie a un mouvement rectiligne uniforme. La rotation étant négligeable, le référentiel $ℛ'$ suit ce même mouvement en translation donc il est galiléen.

2.b.	• Par rapport à $ℛ'$ la quantité de mouvement totale est égale à la quantité de mouvement associée à $G$ avec la masse totale, c'est-à-dire $\overset{→}{0}$ ; donc $C$ est immobile dans $ℛ'$ et son énergie cinétique est nulle.

2.c.	• Par rapport à $ℛ$ la quantité de mouvement totale est égale à la quantité de mouvement associée à $G$ avec la masse totale : $m \:v_A=M' \:v_G$ et par conséquent : $\displaystyle v_G=v'_C=\frac{m}{\,M'} \, v_A$ . • Par rapport à $ℛ'$ la vitesse initiale de $A$ est : $\displaystyle v_A^* =v_A-v_G=v_A .\left(1-\frac{m}{\,M'}\right)$ donc la quantité de mouvement est $\displaystyle p_A^* =m \:v_A .\left(1-\frac{m}{\,M'}\right)=m \:v_A \, \frac{M}{\,M'}$ et algébriquement $\widebar{p}_B^* =-p_A^$ . Ainsi : $\displaystyle \widebar{v}_B^ =\frac{\widebar{p}_B^}{M}=-v_A \, \frac{m}{\,M'}$ . • On en déduit l'énergie cinétique : $E_c^ =\frac{1}{2} m \:v_A^{* 2}+\frac{1}{2} M \:v_B^{* 2}= {\displaystyle E_{c0} .\left(\frac{M}{\,M'}\right)^2 \left(1+\frac{m}{M}\right)=E_{c0} \, \frac{M}{\,M'}=-W}$ . ◊ remarque : on retrouve donc dans le référentiel du centre de masse : $ΔE_c^* =0-E_c^* =W$ .

Désintégration d'une particule et référentiel du centre de masse

1.	• La conservation de la quantité de mouvement peut s’écrire : $M \:\overset{→}{V}_0=m_1 \: \overset{→}{V}_1+m_2 \: \overset{→}{V}_2$ .

• La variation de l’énergie cinétique peut s’écrire :

∆E_c=\frac{1}{2} m_1 \: V_1^{\:2}+\frac{1}{2} m_2 \: V_2^{\:2}-\frac{1}{2} M \:V_0^{\:2}

. En remplaçant à l’aide de l’équation précédente, on obtient :

M^2 \: V_0^{\:2}=m_1^{\:2} \: V_1^{\:2}+m_2^{\:2} \: V_2^{\:2}+2 \,m_1 \: m_2 \: \overset{→}{V}_1⋅\overset{→}{V}_2

et donc, après simplification :

\displaystyle ∆E_c=\frac{m_1 m_2}{2 \,M} \, \left(\overset{→}{V}_2–\overset{→}{V}_1 \right)^2

.
◊ remarque : ceci correspond à l’énergie cinétique du “mobile relatif” équivalent :

∆E_c=\frac{1}{2} μ \:V^2

avec la masse réduite :

\displaystyle μ=\frac{m_1 m_2}{M}

et la vitesse relative :

\overset{→}{V}=\overset{→}{V}_2–\overset{→}{V}_1

.
• Pendant le choc, l’énergie totale du système (isolé) est conservée : l’énergie cinétique totale augmente d’une quantité égale à l’énergie

W

libérée par la désintégration de la particule initiale.

3.a.	• Le référentiel du centre de masse est le référentiel de la particule initiale ; il est donc en translation uniforme à la vitesse $\overset{→}{V}_0$ par rapport à un référentiel galiléen ; il est donc lui-même galiléen.

3.b.	• Dans le référentiel du centre de masse, l’impulsion totale est nulle : $\overset{→}{p}_1+\overset{→}{p}_2=m_1 \: \overset{→}{V}{}'_1+m_2 \: \overset{→}{V}{}'_2=\overset{→}{0}$ ; par suite : $\overset{→}{p}_2=-\overset{→}{p}_1$ et $p_2=p_1$ . • Mais d’après ce qui précède : $\displaystyle W=∆E_c=\frac{1}{2} μ .\left(\overset{→}{V}{}'_2–\overset{→}{V}{}'_1 \right)^2=\frac{1}{2} μ .\left(\frac{\overset{→}{p}_2}{m_2} –\frac{\overset{→}{p}_1}{m_1} \right)^2=\frac{p_1^2}{2 \,μ}$ ; $p_1=p_2=\sqrt{2 \,μ \:W}$ . ◊ remarque : on doit obtenir $W=∆E_c$ quel que soit le référentiel (galiléen), mais ceci est automatiquement vérifié puisque cette quantité s’exprime en fonction de la vitesse relative $\overset{→}{V}=\overset{→}{V}_2–\overset{→}{V}_1$ .

Choc inélastique et énergie de seuil

1.	• La conservation de la quantité de mouvement peut s’écrire : $m_1 \: \overset{→}{v}_1=m_1 \: \overset{→}{v}{}'_1+m_2 \: \overset{→}{v}{}'_2$ . • La conservation de l’énergie peut s’écrire : $\frac{1}{2} m_1 \: v_1^{\:2}=E+\frac{1}{2} m_1 \: v'_1{}^2+\frac{1}{2} m_2 \: v'_2{}^2$ .

• Avec

m_1 .\left(\overset{→}{v}_1-\overset{→}{v}{}'_1 \right)=m_2 \: \overset{→}{v}{}'_2

on obtient :

m_1^{\:2} .\left[v_1^{\:2}+v'_1{}^2+2 \,v_1 \: v'_1 \; \cos(θ) \right]=m_2^{\:2} \: v'_2{}^2

.
• L’autre équation donne alors :

m_1^{\:2} .\left[v_1^{\:2}+v'_1{}^2+2 \,v_1 \: v'_1 \; \cos(θ) \right]=m_2 .\left[m_1 \: v_1^{\:2}-2 \,E-m_1\: v'_1{}^2 \right]

c’est-à-dire :

m_1 \: v'_1{}^2.(m_1+m_2 )+2 \,m_1^{\:2} \: v_1 \: v'_1 \; \cos(θ)+m_1 \: v_1^{\:2}.(m_1-m_2 )+2 \,E \:m_2=0

.
• Pour que cette équation sur

v'_1

ait des solutions, il faut que son discriminant soit positif ; ceci peut s’écrire :

m_1 \: v_1^{\:2}.\left[m_1^{\:2} \; \cos^2(θ)-\left(m_1^{\:2}-m_2^{\:2} \right)\right]-2 \,E \:m_2 .(m_1+m_2 )≥0

, donc :

E_{c1}=\frac{1}{2} m_1 \: v_1^{\:2}≥E_0

avec :

\displaystyle E_0=E \, \frac{m_2 .(m_1+m_2 )}{m_2^{\:2}-m_1^{\:2} \; \sin^2(θ) }

.
• La valeur de

θ

la plus favorable correspond à la valeur minimum de

E_0 (θ)

, obtenue pour le maximum du dénominateur (

θ=0

; choc “frontal”) :

\displaystyle E_0=E \: \frac{m_1+m_2}{m_2}

.
◊ remarque : l’énergie minimum pour l’excitation est supérieure à l’énergie d’excitation, car il faut aussi fournir l’énergie cinétique de “recul” de la particule choquée.

Expérience de Rutherford

1.	• Les atomes de la cible étant liés, tout se passe comme si les particules $α$ interagissaient avec des noyaux de masse égale à celle de l’ensemble de la cible : l’effet de recul est négligeable et on peut supposer le noyau cible fixe en $O$ .

2.	• La force d'interaction est centrale, donc de moment nul, donc le moment cinétique est constant et il suffit de calculer à l'instant initial : $\overset{→}{L}_O=-m \:v_0 \: b\: \overset{→}{u}_z$ .

• La force d'interaction dérive d'une énergie potentielle (nulle à l’infini) :

\displaystyle E_p=\frac{K}{r}

avec

\displaystyle K=\frac{2 \,Z \,q_\mathrm{e}^{\:2}}{4π \,ε_0}

où

Z

est le nombre de charge du métal étudié ; l’énergie mécanique est donc constante et il suffit de calculer à l'instant initial (où l'énergie potentielle est nulle) :

E_m=\frac{1}{2} m\: v_0^{\:2}

• La conservation du moment cinétique correspond à :

\overset{→}{L}_O=-m \:v_0 \: b \:\overset{→}{u}_z=-m \:v_1 \: r_m \: \overset{→}{u}_z

où

r_m

est la distance minimum), d'où la vitesse en ce point :

\displaystyle v_1=v_0 \, \frac{b}{r_m}

.
• La conservation de l'énergie mécanique correspond à :

\displaystyle E_m=\frac{1}{2} m \:v_0^{\:2}=\frac{1}{2} m \:v_1^{\:2}+\frac{K}{r_m}

; la distance minimale d’approche est donc :

\displaystyle r_m=\frac{K}{m\:v_0^{\:2}} \, \left(1+\sqrt{1+\left(\frac{m \:v_0 \: b}{K}\right)^2}\right)

.

◊ remarque : il n’est pas possible de mesurer

b

avec précision, mais on peut le relier à la déviation asymptotique

θ_{lim}

; ceci a permis à Rutherford de montrer que la loi coulombienne (selon

\displaystyle E_p=\frac{K}{r}

) reste valable jusqu’à des distances d’approche de l’ordre de

{10}^{-15} \: \mathrm{m}

, c’est-à-dire que la taille des noyaux atomiques est environ

{10}^5

fois plus petite que la taille des atomes.