DYNAMIQUE - COMPLÉMENTS SUR LES CHOCS - exercices


Choc élastique et détermination de la masse du neutron

        • On considère deux particules “ponctuelles” de masses m1m_1 et m2m_2 . Initialement, la particule de masse m1m_1 est animée d'une vitesse v→1\overset{→}{v}_1 dirigée suivant l'axe OxOx d'un repère orthonormé lié à un référentiel galiléen. Elle vient percuter la particule de masse m2m_2 initialement immobile en OO . On suppose que le choc est élastique et on désigne par θ1θ_1 et θ2θ_2 les angles par rapport à OxOx des vitesses v→1′\overset{→}{v}{}'_1 et v→2′\overset{→}{v}{}'_2 après le choc.

1.     • En écrivant la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique, établir les équations permettant de calculer v1′v'_1 , v2′v'_2 et θ2θ_2 en fonction de v1v_1 , θ1θ_1 , m1m_1 et m2m_2 .

2.     a) On suppose maintenant que  θ1=0θ_1=0 .  Exprimer v1′v'_1 et v2′v'_2 en fonction de v1v_1 , m1m_1 et m2m_2 .
        b) Soient Ec1E_{c1} l'énergie cinétique de la première particule avant le choc et Ec2′E'_{c2} celle de la deuxième particule après le choc, calculer Ec1E_{c1} en fonction de m1m_1 et v1v_1 puis calculer Ec2′E'_{c2} en fonction de Ec1E_{c1} , m1m_1 et m2m_2 . Examiner les cas particuliers suivants :  m1=m2m_1=m_2  ;  m1≪m2m_1≪m_2  ;  m1≫m2m_1≫m_2 .  Dans ce dernier cas, que peut-on dire du rapport  v2′v1′\displaystyle \frac{v'_2}{v'_1} ?
        c) Application : avec des neutrons de masse mm et de vitesse v→\overset{→}{v} on bombarde des cibles contenant des atomes d'hydrogène ou d'azote au repos (l'agitation thermique est donc supposée négligeable). On mesure les vitesses vp′v'_{\mathrm{p}} et vN′v'_{\mathrm{N}} pour les protons (noyaux d'atomes H\mathrm{H} ) et les noyaux d'atomes N\mathrm{N} émis avec  θ2=0θ_2=0 .  Montrer qu'on peut déduire de ces mesures une valeur approchée de la masse du neutron. Comparer cette masse à celle du proton, sachant que  mNmp≈14\displaystyle \frac{m_{\mathrm{N}}}{m_{\mathrm{p}}} ≈14  et que l'expérience a donné  vp′vN′≈7,5\displaystyle \frac{v'_{\mathrm{p}}}{v'_{\mathrm{N}}}≈7,5 .


Choc inélastique et référentiel du centre de masse

        • On considère un système isolé constitué d'un neutron (de masse mm , représenté par un point AA ) et d'un noyau d'atome “lourd” (de masse MM , représenté par un point BB ). Dans le référentiel ℛℛ du laboratoire, supposé galiléen, AA est animé d'une vitesse initiale v→A\overset{→}{v}_A et entre en collision avec BB initialement immobile.
        • Après le choc, il se forme une particule unique (nouveau noyau atomique), de masse  m+Mm+M ,  représentée par un point matériel CC dont la vitesse est v→C′\overset{→}{v}{}'_C .

1.     • Montrer que cette collision ne conserve pas l'énergie cinétique du système ; calculer sa variation algébrique WW en fonction de mm , MM et de l'énergie cinétique initiale de AA , notée Ec0E_{c0} .

2.     • On considère le choc dans le référentiel ℛ′ℛ' du centre de masse du système : référentiel barycentrique dont l'origine est le centre de masse GG et dont les axes ont des directions fixes par rapport au référentiel de Copernic (directions déterminées par rapport à des étoiles très lointaines).
        a) Montrer que ℛ′ℛ' est galiléen.
        b) Calculer dans ℛ′ℛ' l'énergie cinétique de CC (après le choc).
        c) Calculer dans ℛ′ℛ' l'énergie cinétique Ec*E_c^* du système “ A+BA+B ” (avant le choc). L'exprimer en fonction de Ec0E_{c0} et la comparer à WW .


Désintégration d'une particule et référentiel du centre de masse

        • Dans le référentiel ℛℛ du laboratoire, considéré comme galiléen, une particule AA , isolée, de masse MM , se déplace à la vitesse V→0\overset{→}{V}_0 . À l'instant t0t_0 elle se désintègre en deux particules BB et CC , de masses m1m_1 et m2m_2 avec  m1+m2=Mm_1+m_2=M , qui n'interagissent pas entre elles et qui sont animées de vitesses V→1\overset{→}{V}_1 et  V→2\overset{→}{V}_2 .

1.     • Écrire l'équation qui relie V→0\overset{→}{V}_0 , V→1\overset{→}{V}_1 et  V→2\overset{→}{V}_2 .

2.     • Calculer, en fonction de m1m_1 , m2m_2 , V→1\overset{→}{V}_1 et  V→2\overset{→}{V}_2 , la variation ∆Ec∆E_c de l'énergie cinétique du système lors de la désintégration. Que peut-on dire de l'énergie totale du système (justifier) ?

3.     • On raisonne dans le référentiel ℛ′ℛ' du centre de masse : référentiel barycentrique dont l'origine est le centre de masse GG et dont les axes ont des directions fixes par rapport au référentiel de Copernic (directions déterminées par rapport à des étoiles très lointaines).
        a) Montrer que ce référentiel est galiléen.
        b) En notant WW la différence entre l'énergie interne de la particule AA et la somme des énergies internes de BB et CC , calculer les normes p1p_1 et p2p_2 des quantités de mouvement de BB et CC dans ℛ′ℛ' . Que peut-on dire de la "disposition" relative des vecteurs p→1\overset{→}{p}_1 et p→2\overset{→}{p}_2 ? Comparer WW et la variation ∆Ec∆E_c calculée à la question 2.


Choc inélastique et énergie de seuil

        • Une particule de masse m1m_1 (par exemple un électron), de vitesse v→1\overset{→}{v}_1 , entre en collision avec une particule de masse m2m_2 (par exemple un atome), initialement immobile (dans un référentiel ℛℛ galiléen).
        • Sous l'effet du choc, la seconde particule passe de l'état d'énergie fondamental à un niveau excité, d'énergie d’excitation EE .

1.     • Exprimer les conservations de la quantité de mouvement et de l'énergie totale du système, en désignant par v→1′\overset{→}{v}{}'_1 et v→2′\overset{→}{v}{}'_2 les vitesses des deux particules après le choc.

2.     • On pose  θ=(v→1;v→1′)^ θ=\widehat{\left(\overset{→}{v}_1\,;\overset{→}{v}{}'_1\right)}  ;  montrer que v1′v'_1 est déterminée par une équation du second degré dans laquelle θθ intervient comme paramètre. En déduire que, pour que le choc puisse se produire en provoquant le passage au niveau excité, il faut que l'énergie cinétique de la particule incidente soit supérieure à un certain seuil E0E_0 . Exprimer E0E_0 pour la valeur de θθ la plus favorable.


Expérience de Rutherford

        • L’expérience de Rutherford consiste à bombarder une mince feuille de métal (donc essentiellement les noyaux de ses atomes) par des particules αα (noyaux d’atomes d’hélium, de masse mm , avec  Zα=2Z_α=2 ).

1.     • Justifier que tout se passe comme si les particules αα interagissaient avec des noyaux de masse égale à celle de l’ensemble de la cible.

dynChocs_ex_Im/dynChocs_ex_Im1.jpg

2.     • En supposant un noyau cible fixe en OO et en supposant connues les conditions initiales v→0\overset{→}{v}_0 et bb (paramètre d'impact), exprimer le moment cinétique L→O\overset{→}{L}_O (à un instant quelconque du mouvement).

3.     • Exprimer de façon analogue l’énergie potentielle et l'énergie mécanique (à un instant quelconque).

4.     • D'après les lois de conservation, en déduire la distance minimale d'approche  rm=OSr_m=OS .