DYNAMIQUE - ÉNERGIE - exercices



A. EXERCICES DE BASE

Énergie cinétique

        • Un pendule est constitué d’un point matériel MM de masse mm suspendu à un point fixe AA par un fil inextensible, de longueur 𝓁𝓁 et de masse négligeable. On lâche le pendule avec une vitesse initiale nulle, le fil faisant un angle α0α_0 par rapport à la verticale.
        • Une tige horizontale est placée au dessous de AA , à une distance  d<𝓁d<𝓁 ,  de sorte que le fil heurte cette tige lorsque le pendule passe par sa position d’équilibre.

1.     • Montrer que la vitesse de MM se conserve pendant le choc.

2.     • En prenant  α0=π2α_0=\frac{π}{2} ,  déterminer la condition (sur dd et 𝓁𝓁 ) pour que le fil s’enroule autour de la tige en restant tendu.


Énergie potentielle

        • Deux particules “ponctuelles” AA et BB exercent d’une sur l’autre des forces  F→A→B\overset{→}{F}_{A→B}  et  F→B→A\overset{→}{F}_{B→A}  opposées dont les normes sont :  F=αrn\displaystyle F=\frac{α}{r^n}   où αα est une constante positive, nn est un nombre entier et  r=ABr=AB .

1.     • Écrire les expressions de  F→A→B\overset{→}{F}_{A→B}  et  F→B→A\overset{→}{F}_{B→A}  dans le cas où ces forces sont répulsives.

2.     • Quelle est l’énergie potentielle correspondant à cette interaction ?


Énergie cinétique et équation du mouvement

        • Un pendule simple est constitué d’une masse “ponctuelle” mm reliée à un point fixe OO par un fil sans masse, de longueur constante 𝓁𝓁 , qu’on suppose en permanence rester tendu. Le mouvement s’effectue dans un plan vertical et on repère la position par l’angle θθ avec la verticale.
        • Montrer que le théorème de l’énergie cinétique conduit à une “intégrale première” du mouvement : conservation de la quantité “énergie”.
        • En dérivant cette quantité par rapport au temps, montrer qu’on obtient l’équation du mouvement.


Types de mouvement d’un pendule

        • Un pendule simple est constitué d’une masse “ponctuelle” mm reliée à un point fixe OO par un fil sans masse, de longueur constante 𝓁𝓁 . Le point MM étant dans sa position d’équilibre, on lui communique une vitesse initiale horizontale v0v_0 .
        • Montrer que, suivant la valeur de v0v_0 , trois types de mouvement sont possibles ; préciser les valeurs limites de v0v_0 correspondantes.


Énergie et limite de trajectoire

1.     • Une charge électrique qq est fixée à l’origine OO . À une distance LL de OO , on lance une particule de charge −q-q et de masse mm , le long de l'axe OxOx et dans le sens de l’éloignement. Quelle vitesse initiale v0v_0 doit-on lui communiquer pour qu’elle échappe à l’attraction de la charge placée en OO ?
        ◊ rappel : selon la loi de Coulomb, les forces (réciproques) d'interaction entre deux charge qq et q’q\text{’} séparées par une distance rr ont pour norme  14πε0|qq’|r2\displaystyle \frac{1}{4π \:ε_0} \, \frac{\left| \,q \:q\text{’} \right|}{r^2} .

2.     • On lance ensuite une autre particule de charge qq et de masse mm , le long de OxOx et dans le sens du rapprochement. Montrer qu’elle ne peut pas atteindre OO et calculer la distance minimale d’approche.


Énergie potentielle et stabilité d’un équilibre

        • Une particule “ponctuelle” de masse mm , située en AA , est repérée par  OA⟶=ru→r\overset{⟶}{OA}=r \;\overset{→}{u}_r  (avec u→r\overset{→}{u}_r vecteur unitaire radial). Cette particule est soumise à deux forces :  F→1=−K1ru→r\overset{→}{F}_1=-K_1 \: r \;\overset{→}{u}_r   et   F→2=K2u→rr2\displaystyle \overset{→}{F}_2=K_2 \, \frac{\overset{→}{u}_r}{r^2}    où K1K_1 et K2K_2 sont des constantes positives. On néglige la pesanteur.

1.     • Exprimer la force totale F→\overset{→}{F} que subit la particule. Calculer la distance d’équilibre r0r_0 de cette particule.

2.     • Montrer que F→\overset{→}{F} dérive d’une énergie potentielle Ep(r)E_p (r) ; exprimer EpE_p en posant  Ep(r0)=32K1K223E_p (r_0)=\frac{3}{2} \; \sqrt[3]{K_1 K_2^{\:2}\,} .
        • Déterminer, d'après de Ep(r)E_p (r) , si l’équilibre pour  r=r0r=r_0  est stable, instable ou indifférent :



B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT

Énergie mécanique et équation du mouvement

1.     • Un point matériel MM , de masse mm , est mobile sans frottement sur un rail dont la forme est supposée connue, déterminée par les expressions des coordonnées cartésiennes  {x(q),y(q),z(q)}\{x(q)\,,y(q)\,,z(q)\} .
        • Ce point est soumis à des forces dérivant (au total) d’une énergie potentielle  Ep(x,y,z)E_p(x \,,y \,,z)  dont l’expression est supposée connue. On se propose d’étudier le mouvement par une méthode basée sur l’énergie, mais dans un cas où le point MM est repéré par un paramètre de position quelconque, noté q q .
        a) Montrer que l’expression de l’énergie cinétique peut se mettre sous la forme :  Ec=12𝔪(q)q˙2E_c=\frac{1}{2} 𝔪(q) \:\dot{q}^2  où 𝔪(q)𝔪(q) est un coefficient d’inertie généralisé, dépendant du paramètre de position qq .
        b) En déduire les expressions correspondantes de l’énergie potentielle et de l’énergie mécanique.
        c) Montrer qu’en dérivant l’expression de l’énergie mécanique on peut retrouver une équation différentielle du mouvement correspondant au principe fondamental de la dynamique. Commenter.
        ☞ indication : on peut remarquer que  dq˙dq=q̈q˙\displaystyle \frac{d\dot{q}}{dq}=\frac{\ddot{q}}{\dot{q}} .
        d) Montrer que la recherche des positions d’équilibre se ramène à l’étude des dérivées de l’énergie potentielle.

2.     • On se limite à un mouvement un plan vertical (Oxz)(Oxz) où le paramètre de position est l'abscisse curviligne  ss  correspondant à la distance parcourue sur le rail depuis l'origine. La forme du rail est supposée déterminée par l’expression  z(x)z(x) .  L’énergie potentielle se limite à celle de la pesanteur. On se propose de chercher s’il est possible de choisir la forme du rail de telle façon que l’équation différentielle du mouvement, par rapport à la variable ss , soit celle d’un oscillateur harmonique (de raideur notée kk ).
        a) Quelle est l'expression du coefficient d'inertie 𝔪(s)𝔪(s) correspondant ?
        b) En dérivant par rapport au temps l’expression de l’énergie mécanique, montrer qu’on obtient une équation différentielle du mouvement décrit par  s(t)s(t) .
        c) Dans le cas de l'oscillateur harmonique par rapport à ss , montrer que l'intégration de l'équation donne :  z(s)=k2mgs2\displaystyle z(s)=\frac{k}{2 \,m \:g} \, s^2 .
        d) Établir l'équation différentielle concernant  x(s)x(s) :  dx=ds1−(ksmg)2\displaystyle dx=ds \;\sqrt{1-\left(\frac{k \:s}{m \:g}\right)^2\,} .
        e) En posant  ksmg=sin(θ2)\displaystyle \frac{k \:s}{m \:g}=\sin\left(\frac{θ}{2}\right) ,  montrer que l'intégration donne :  x(s(θ))=mg4k(θ+sin(θ))\displaystyle x(s(θ))=\frac{m \:g}{4 \,k} \, (θ+\sin(θ) ) .
        f) À quelle forme de courbe cela correspond-il ?


Énergie mécanique et équation du mouvement

1.     • Un point matériel MM , de masse mm , est mobile sans frottement sur un rail dont la forme est supposée connue, déterminée par les expressions des coordonnées cartésiennes  {x,z(x)}\{x \,,z(x)\}  dans un plan vertical.
        • Ce point n'est soumis qu'à des forces conservatives, décrites par l'énergie potentielle  Ep=mgzE_p=m \:g \:z .  On se propose d’étudier le mouvement par une méthode basée sur l’énergie.
        a) Montrer que l’expression de l’énergie cinétique peut se mettre sous la forme :  Ec=12𝔪(x)x˙2E_c=\frac{1}{2} 𝔪(x) \:\dot{x}^2  où 𝔪(x)𝔪(x) est un coefficient d’inertie généralisé, dépendant du paramètre de position xx .
        b) En déduire les expressions correspondantes de l’énergie potentielle et de l’énergie mécanique.
        c) Montrer qu’en dérivant l’expression de l’énergie mécanique on peut retrouver une équation différentielle du mouvement correspondant au principe fondamental de la dynamique :
dzdxd2zdx2x˙2+(1+(dzdx)2)ẍ+gdzdx=0\displaystyle \frac{dz}{dx} \, \frac{d^2 z}{{dx}^2} \: \dot{x}^2+\left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^2 \right) \: \ddot{x}+g \: \frac{dz}{dx}=0 .
        ☞ indication : on peut remarquer que  dx˙dx=ẍx˙\displaystyle \frac{d\dot{x}}{dx}=\frac{\ddot{x}}{\dot{x}} .

2.     • On se propose de chercher s’il est possible de choisir la forme du rail de telle façon que l’équation différentielle du mouvement, par rapport à la variable xx , soit celle d’un oscillateur harmonique (de raideur notée kk ).
        a) L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique impose une expression de ẍ\ddot{x} en fonction de xx . En substituant par ailleurs  x˙2\dot{x}^2  déduit de l’expression de EmE_m (dont la valeur constante se déduit des conditions initiales), montrer qu’on obtient une équation différentielle sur l’expression  z(x)z(x)  de la forme du rail.
        b) Les solutions de cette équation différentielle compliquée peuvent être recherchées à l’aide d’un logiciel de calcul formel. Le logiciel Maple donne :  −(1+(dzdx)2)km(x2+C)+2Emm(dzdx)2+2gz=0\displaystyle -\left(1+\left(\frac{dz}{dx}\right)^2 \right) \, \frac{k}{m} \: (x^2+C)+2 \, \frac{E_m}{m} \left(\frac{dz}{dx}\right)^2+2 \,g \:z=0 .  Quelle valeur peut ont proposer pour la constante d’intégration CC ?
        c) Peut-on intégrer l’équation différentielle ainsi obtenue ?
        d) Une variante de la méthode envisagée en (2.a) consiste à substituer  x˙\dot{x}  en fonction de xx (compte tenu de la forme sinusoïdale connue pour l’oscillateur harmonique). Montrer qu’on obtient ainsi une autre équation différentielle sur l’expression  z(x)z(x)  de la forme du rail.
        e) Peut-on intégrer l’équation différentielle ainsi obtenue ?