DYNAMIQUE - FORCES - exercices

DYNAMIQUE - FORCES - exercices

A. EXERCICES DE BASE

Frottement proportionnel à la vitesse

	• Un point matériel de masse $m$ est lancé sur une droite avec une vitesse initiale $v_0=2\text{,}0 \:\mathrm{m.s^{-1}}$ . La seule force qui lui est appliquée est un frottement $\overset{→}{f}=-k \:\overset{→}{v}$ où $k$ est une constante positive et où $\overset{→}{v}$ désigne sa vitesse. On note par la suite $\displaystyle λ=\frac{k}{m}$ pour simplifier.

1.	a) Exprimer la distance $x(t)$ parcourue en fonction du temps. b) Le point parcourt au total une distance $D=100 \:\mathrm{m}$ ; en déduire $λ$ . ◊ indication : les solutions de l'équation différentielle $\dot{v}=-λ \:v$ sont de la forme $v(t)=A \:\mathrm{e}^{-λt}$ où $A$ est une constante d'intégration dépendant des conditions initiales.

2.	• Calculer la durée $t(𝓁)$ nécessaire pour parcourir une distance $𝓁<D$ . Effectuer le calcul numérique pour $𝓁_1=50 \:\mathrm{m}$ puis pour $𝓁_2=99 \:\mathrm{m}$ .

3.	• Calculer littéralement, puis numériquement dans les deux cas précédents, le travail de la force de frottement lors du parcours de la distance $𝓁$ pour une masse $m=1\text{,}0 \:\mathrm{g}$ .

Frottement proportionnel au carré de la vitesse

	• Un point matériel de masse $m$ est lancé sur une droite avec une vitesse initiale $v_0=2\text{,}0 \:\mathrm{m.s^{-1}}$ . La seule force qui lui est appliquée est un frottement $\overset{→}{f}=-k \:v\;\overset{→}{v}$ où $k$ est une constante positive et où $\overset{→}{v}$ désigne sa vitesse. On note par la suite $\displaystyle λ=\frac{k}{m}$ pour simplifier.

1.	a) Exprimer la vitesse $v(t)$ puis la distance $x(t)$ parcourue en fonction du temps. b) Le point parcourt en $T=50 \:\mathrm{s}$ une distance $D=50 \:\mathrm{m}$ ; en déduire $λ$ . ◊ indication : pour déduire le déplacement de la vitesse, on peut montrer que celle-ci est solution de l'équation à variables séparées $\displaystyle \frac{dv}{v^2} =-λ \:dt$ (qu'on peut intégrer de part et d'autre de l'égalité). ◊ indication : après intégration, la relation $x=x(t)$ obtenue ne peut pas être résolue algébriquement par rapport à $λ$ , mais on peut la résoudre numériquement (par approximations successives).

2.	• Calculer littéralement la durée $t_n$ nécessaire pour parcourir $𝓁_n=n \:D$ avec $n$ entier. Effectuer le calcul numérique pour $𝓁_2=2 \,D$ .

3.	• Calculer littéralement, puis numériquement pour $𝓁_2=2 \,D$ , le travail de la force de frottement lors du parcours de la distance $𝓁_n$ pour $m=1\text{,}0 \:\mathrm{g}$ .

B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT

Calcul d’une réaction

1.	• Dans un plan vertical, on considère un axe $Ox$ horizontal et un axe $Oy$ vertical ascendant. Un point matériel $M$ de masse m peut glisser sans frottement le long d’un rail en forme de portion de parabole d’équation $y=\sqrt{2 \,α \:x\,}$ où $α$ est une constante positive. Tracer l'allure de cette courbe.

2.	a) Pour connaître les aspects cinématiques du mouvement sur cette courbe, calculer l'expression du vecteur $\displaystyle \frac{d\overset{⟶}{OM}}{dx}$ et justifier qu'il est tangent au mouvement. b) En déduire les expressions suivantes du vecteur unitaire tangent $\displaystyle \overset{→}{u}_T=\frac{y \:\overset{→}{u}_x+α \:\overset{→}{u}_y}{\sqrt{y^2+α^2}}$ et du vecteur unitaire normal $\displaystyle \overset{→}{u}_N=\frac{α \:\overset{→}{u}_x-y \:\overset{→}{u}_y}{\sqrt{α^2+y^2}}$ . ◊ indication : pour obtenir un vecteur normal, on peut utiliser l'effet d'une rotation de $-\frac{π}{2}$ sur les vecteurs de base $\overset{→}{u}_x$ et $\overset{→}{u}_y$ . c) Calculer les expressions générales de la vitesse $\dot{\overset{⟶}{OM}}$ et de l'accélération $\ddot{\overset{⟶}{OM}}$ le long de cette courbe.

3.	a) Le point $M$ est lancé en $O$ avec une vitesse initiale de norme $v_0$ . D'après la relation fondamentale de la dynamique, en projetant sur la direction normale au rail, montrer que la réaction $\overset{→}{F}$ exercée par le rail sur $M$ a une composante (algébrique) : $\displaystyle \widebar{F}=m .\left(\frac{α^2}{y^3} \, \dot{x}^2-g\right) \, \frac{y}{\sqrt{α^2+y^2}}$ . b) D'après le théorème de l'énergie mécanique, exprimer $\dot{x}^2$ en fonction de $y$ . c) En déduire l'expression de la composante de la réaction : $\displaystyle \widebar{F}=m \, \frac{α^2 \: v_0^{\:2}-(3 \,α^2+y^2 ) \: g \:y}{(α^2+y^2 )^{3/2}}$ . d) Interpréter l'évolution du signe de cette composante (sens de $\overset{→}{F}$ ) en fonction de la position de $M$ .