DYNAMIQUE - RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS

DYNAMIQUE - RÉFÉRENTIELS NON GALILÉENS - corrigé des exercices

Force d’inertie d’entraînement

a.	• Le plateau, en translation verticale sinusoïdale, a une accélération non nulle par rapport au sol ; dans la mesure où on peut considérer que le référentiel lié au sol est galiléen, celui lié au plateau est forcément non galiléen.

b.	• Le plateau a une accélération d’entraînement (algébrique) : $a_e=\ddot{z}=-ω^2 \: A \; \cos(ω \,t)$ . ◊ remarque : en translation, l’accélération d’entraînement est la même en tout point du référentiel et il n'y a pas d'accélération complémentaire. • Par rapport au référentiel $ℛ'$ du plateau, le principe fondamental de la dynamique peut s’écrire (algébriquement, selon l’axe $Oz$ vertical) : $m \:a'=-P+R+f_e$ où $f_e=-m \:a_e=m \:ω^2 \: A \; \cos(ω \,t)$ et où $R$ est la réaction du plateau. • Tant que le point reste au contact du plateau : $a'=0$ et $R=m \:g-m \:ω^2 \: A \; \cos(ω \,t)≥0$ ; on en déduit : $\displaystyle \frac{g}{ω^2 \: A}≥\cos(ω \,t)$ . Pour que cette relation soit vérifiée à tout instant $t$ , donc même quand le cosinus est maximum, il faut que : $\displaystyle \frac{g}{ω^2 \: A}≥1$ , c’est-à-dire : $\displaystyle ω≤ω_1=\sqrt{\frac{g}{A}}$ .

c.	• On obtient : $ω_1=14 \:\mathrm{rad.s^{-1}}$ ; cela correspond à une fréquence $\displaystyle N_1=\frac{ω_1}{2π}≈2\text{,}2 \:\mathrm{Hz}$ dont l'ordre de grandeur est facile à vérifier expérimentalement.

Moment cinétique par rapport à un référentiel non galiléen

• Par rapport à

ℛ'

non galiléen, le principe fondamental de la dynamique s’écrit :

m \;\overset{→}{a}{}'=\overset{→}{P}+\overset{→}{T}+\overset{→}{f}_e

avec :

le poids $\overset{→}{P}=m \;\overset{→}{g}$ ;
la tension du fil $\overset{→}{T}=-T \;\overset{→}{u}_r$ ;
la force d’inertie d’entraînement $\overset{→}{f}_e=-m \;\overset{→}{a}_e$ .

◊ remarque : pour une translation, la force d’inertie complémentaire est nulle.
• L’équilibre “relatif” (

\overset{→}{a}{}'=\overset{→}{0}

par rapport à

ℛ'

) correspond à :

\overset{→}{P}+\overset{→}{T}+\overset{→}{f}_e=\overset{→}{0}

. La projection de cette équation sur la direction de

\overset{→}{u}_α

perpendiculaire à

\overset{→}{u}_r

donne :

P \; \sin(α)-m \:a_e \; \cos(α)=0

d’où on déduit :

\displaystyle \tan(α)=\frac{a_e}{g}

• Mais on peut aussi considérer la dynamique de rotation :

\displaystyle \frac{\,d\overset{→}{L}_{O'}}{dt\;}= \overset{→}{ℳ}_{O'}\left(\overset{→}{P}\right)+\overset{→}{ℳ}_{O'} \left(\overset{→}{T}\right) +\overset{→}{ℳ}_{O'}\left(\overset{→}{f}_e\right)

qui à l’équilibre donne :

𝓁 \;\overset{→}{u}_r × \left(-m \:g \;\overset{→}{u}_z-T \;\overset{→}{u}_r-m \:a_e \; \overset{→}{u}_x \right)=\overset{→}{0}

;

-m \:𝓁 \;\overset{→}{u}_y .[g \;\sin(α)-a_e \; \cos(α) ]=\overset{→}{0}

et donc de même :

\displaystyle \tan(α)=\frac{a_e}{g}

• L’étude pour

θ

quelconque est plus simple avec la rotation :

\overset{→}{L}_{O'}=\overset{⟶}{O\text{’}M} × m \;\overset{→}{v}=m \:𝓁^2 \; \overset{→}{u}_r × \dot{\overset{→}{u}}_r

où le mouvement de rotation donne :

\dot{\overset{→}{u}}_r=\overset{→}{ω} × \overset{→}{u}_r

avec

\overset{→}{ω}=\dot{θ} \; \overset{→}{u}_y

; on en déduit :

\overset{→}{L}_{O'}=m \:𝓁^2 \: \dot{θ} \;\overset{→}{u}_y

.
• L’équation du mouvement est alors :

m \:𝓁^2 \: \ddot{θ}=-m \:𝓁 .[g \;\sin(θ)-a_e \; \cos(θ) ]

. Mais puisqu’on étudie les oscillations au voisinage de

θ=α

, on peut utiliser la propriété de l’équilibre “relatif” :

\displaystyle \tan(α)=\frac{a_e}{g}

qui donne :

\displaystyle 𝓁 \:\ddot{θ}=-\frac{g}{\cos(α)} \: [\sin(θ) \: \cos(α)-\sin(α) \: \cos(θ) ]=-\frac{g}{\cos(α)} \: \sin(θ-α)

.
• On peut alors poser

β=θ-α

pour simplifier les notations ; on obtient ainsi :

\ddot{β}+ω^2 \; \sin(β)=0

avec

\displaystyle ω^2=\frac{g}{𝓁 \;\cos(α)}=\frac{\sqrt{g^2+a_e^{\:2}}}{𝓁}

. Pour les petites oscillations on a donc :

\ddot{β}+ω^2 \; β≈0

dont les solutions sont de la forme :

β=B \; \cos(ω \,t+ϕ)

où

B

ϕ

sont des constantes d’intégration (déterminées d’après les conditions initiales) et avec une période :

\displaystyle T=\frac{2π}{ω}

.
◊ remarque : il est important de comprendre qu'en fait pour un passager du train tout se passe comme si le poids était

\overset{→}{P}{}'=\overset{→}{P}+\overset{→}{f}_e

(incliné) avec une pesanteur

\overset{→}{g}{}'=\overset{→}{g}-\overset{→}{a}_e

telle que

g'=\sqrt{g^2+a_e^{\:2}}

Mouvement par rapport à un référentiel non galiléen

• On considère le mouvement par rapport au référentiel tournant

ℛ'

. Les forces d’inertie sont dans le plan horizontal puisqu’elles sont perpendiculaires à

\overset{→}{ω}

\overset{→}{f}_c=-2 \,m\; \overset{→}{ω} × \overset{→}{v}{}'

\overset{→}{f}_e=-m\; \overset{→}{ω} × \left(\overset{→}{ω} × \overset{⟶}{OM} \right)

(pour

\overset{→}{ω}

constant). Par suite la composante verticale de la réaction de la circonférence compense le poids (ce sont les deux seules forces verticales et le mouvement est imposé dans le plan horizontal) ; on peut donc se limiter à une étude dans le plan horizontal en notant

\overset{→}{F}

la composante horizontale de la réaction.

• En coordonnées polaires de centre

C

, les forces sont :

$\overset{→}{F}=F_r \; \overset{→}{u}{}'_r$ (perpendiculaire à la circonférence) ;
$\overset{→}{f}_c=-2 \,m \;\overset{→}{ω} × (R \:\dot{α} \; \overset{→}{u}_α )=2 \,m \:R \:ω \:\dot{α} \; \overset{→}{u}{}'_r$ ;
$\overset{→}{f}_e=m \:ω^2 \; \overset{⟶}{OM}=m \:R \:ω^2 \: \left[-\sin(α) \; \overset{→}{u}_α+\{1+\cos(α) \} \; \overset{→}{u}{}'_r \right]$ .

• Le principe fondamental de la dynamique s’écrit :

$m\; \overset{→}{a}{}'=\overset{→}{F}+\overset{→}{f}_e+\overset{→}{f}_c$ avec : $\overset{→}{a}{}'=R \:\ddot{α}\; \overset{→}{u}_α-R \:\dot{α}^2 \; \overset{→}{u}{}'_r$ .

• La projection sur

\overset{→}{u}{}'_r

donne

F_r

; celle sur

\overset{→}{u}_α

donne l’équation différentielle du mouvement :

m \:R \:\ddot{α} =-m \:ω^2 \: R \; \sin(α)

. L'équation obtenue est analogue à celle du pendule pesant :

\ddot{α} + ω^2 \; \sin(α)=0

Chute par rapport à un référentiel tournant

• On peut chercher à résoudre le problème par rapport à

ℛ'

, où la relation fondamentale de la dynamique s’écrit :

m\;\overset{→}{a}{}'=\overset{→}{P}+\overset{→}{f}_e+\overset{→}{f}_c

avec une force d’inertie d’entraînement :

\overset{→}{f}_e=-m \;\overset{→}{ω} × \left(\overset{→}{ω} × \overset{⟶}{OM} \right)

(compte tenu du fait que

\overset{→}{ω}

est constante) et une force d’inertie complémentaire :

\overset{→}{f}_c=-2 \,m \;\overset{→}{ω} × \overset{→}{v}{}'

.
• Cette équation est compliquée, mais sa projection verticale est simple car les forces d’inertie sont horizontales (perpendiculaires à

\overset{→}{ω}=ω \;\overset{→}{u}_z

) :

m \:\ddot{z}=-m \:g

d’où

\dot{z}=-g \:t

z=-\frac{1}{2} g \:t^2

(d’après les conditions initiales). Ainsi le niveau du plancher

z=-h

est atteint à l’instant :

\displaystyle t_0=\sqrt{\frac{2 \,h}{g}}

.
• Mais puisque l’énoncé de la question (5) suggère de ne pas chercher à résoudre les équations par rapport à

ℛ'

, on peut résoudre le problème par rapport à

ℛ

m\; \overset{→}{a}=\overset{→}{P}

avec une vitesse initiale horizontale

\overset{→}{v}_0=b \:ω \;\overset{→}{u}{}'_y=b \:ω\; \overset{→}{u}_y

(en utilisant un repère fixe dont les axes

Ox

Oy

coïncident avec

Ox'

Oy'

à l’instant initial, instant du lâcher).
• Le mouvement est donc parabolique par rapport à

ℛ

, avec une accélération verticale

\ddot{z}=-g

, donc on retrouve le résultat précédent.

• En résolvant par rapport à

ℛ

on obtient :

\ddot{x}=0

;

\dot{x}=0

;

x=b

(le mouvement se fait dans le plan déterminé par

A

\overset{→}{P}

\overset{→}{v}_0

). On obtient de même :

\ddot{y}=0

puis

\dot{y}=b \:ω

puis

y=b \:ω \:t

.
• Avec

t=t_0

à l’instant où le plancher est atteint, le changement de coordonnées correspond à :

$x'=x_0=x \; \cos(ω \,t_0 )+y \; \sin(ω \,t_0 )=b .[\cos(ω \,t_0 )+ω \:t_0 \; \sin(ω \,t_0 ) ]$ ;
$y'=y_0=-x \; \sin(ω \,t_0 )+y \; \cos(ω \,t_0 )=b .[-\sin(ω \,t_0 )+ω \:t_0 \; \cos(ω \,t_0 ) ]$ .

• Pour le plomb

M

, immobile par rapport à

ℛ'

\overset{→}{T}+\overset{→}{P}+\overset{→}{f}_e=\overset{→}{0}

et le fil est donc parallèle à

\overset{→}{P}{}'=\overset{→}{P}+\overset{→}{f}_e

. Or, la force d’inertie est radiale (en coordonnées cylindriques) :

\overset{→}{f}_e=-m \;\overset{→}{ω} × \left(\overset{→}{ω} × \overset{⟶}{OM} \right)=m \:ω^2 \; \overset{⟶}{HM}

(où

H

est le centre du plancher, projeté de

M

sur l’axe), donc

\overset{→}{T}

est dans le plan vertical passant par l’axe et contenant

A

, par suite

M

est aussi dans ce plan. Ceci correspond donc à :

y'_0=0

.
• Dans ce plan, l’angle

α

du fil (c’est-à-dire de

\overset{→}{T}

) avec la verticale est tel que :

\displaystyle \tan(α)=\frac{f_e}{P}=\frac{ω^2 \: x'_0}{g}

; or

\displaystyle \tan(α)=\frac{x'_0-b}{h}

donc :

\displaystyle x'_0=\frac{b}{1-\frac{ω^2 \: h}{g}}

• On obtient :

$\displaystyle x_0-x'_0=b .\left[\cos(ω \,t_0 )+ω \:t_0 \; \sin(ω \,t_0 )-\frac{1}{1-\frac{ω^2 \: h}{g}}\right]$ ; $y_0-y'_0=b .[-\sin(ω \,t_0 )+ω \:t_0 \; \cos(ω \,t_0 ) ]$ .

• Avec les développements limités :

$\cos(ϕ)≈1-\frac{1}{2} ϕ^2+\frac{1}{24} ϕ^4$ et $\sin(ϕ)≈ϕ-\frac{1}{6} ϕ^3$ (où $\displaystyle ϕ=ω \,\sqrt{\frac{2 \,h}{g}}$ ) ;
$\displaystyle \frac{1}{1-ψ}≈1+ψ+ψ^2$ (où $\displaystyle ψ=\frac{ω^2 \: h}{g}=\frac{1}{2} ϕ^2$ ) ;

on obtient (après simplification) :

\displaystyle x_0-x'_0≈-\frac{3}{2} b .\left(\frac{ω^2 \: h}{g}\right)^2

;

\displaystyle y_0-y'_0≈-\frac{2 \,\sqrt{2}}{3} \, b .\left(\frac{ω^2 \: h}{g}\right)^{3/2}

• En utilisant les calculs déjà effectués, complétés par :

\overset{→}{f}_c=-2 \,m \;\overset{→}{ω} × \overset{→}{v}{}'=2 \,m \:ω .\left(\dot{y}{}' \;\overset{→}{u}{}'_x-\dot{x}{}' \;\overset{→}{u}{}'_y \right)

, on obtient :

m \:\ddot{x}{}'=m \:ω^2 \: x'+2 \,m \:ω \:\dot{y}{}'

;

m \:\ddot{y}{}'=m \:ω^2 \: y'-2 \,m \:ω \:\dot{x}{}'

;

m \:\ddot{z}{}'=-m \:g

(déjà utilisé).
◊ remarque : le système d'équations couplées :

\ddot{x}{}'-2 \,ω \:\dot{y}{}'-ω^2 \: x'=0

\ddot{y}{}'+2 \,ω \:\dot{x}{}'- ω^2 \: y'=0

n'est pas évident à résoudre (une “simple” substitution aboutit à une équation différentielle d’ordre quatre) ; c'est tout de même possible à l'aide du calcul matriciel ou de l'utilisation de la variable complexe

Z=x'+\mathrm{i} \:y'

(aboutissant à l'équation différentielle

\ddot{Z}+2 \,\mathrm{i} \:ω \:\dot{Z}-ω^2 \: Z=0

Force d’inertie complémentaire (“de Coriolis”)

• La vitesse angulaire de rotation de la Terre peut s’écrire

\overset{→}{ω}=ω \;\overset{→}{u}_z

avec

ω=7\text{,}27.{10}^{-5} \; \mathrm{rad.s^{-1}}

. La vitesse relative du train peut s’écrire :

\overset{→}{v}{}'=v' \;\overset{→}{u}_θ

avec

v'=66\text{,}7 \;\mathrm{m.s^{-1}}

. La force d’inertie complémentaire est par suite :

\overset{→}{f}_c=-2 \,m \;\overset{→}{ω} × \overset{→}{v}{}'=-2 \,m \:ω \:v' \;\overset{→}{u}_z × \overset{→}{u}_θ=-2 \,m \:ω \:v' \; \sin(λ) \; \overset{→}{u}_ϕ

; c’est donc une force horizontale orientée vers l’ouest.
• Pour que la réaction soit rigoureusement perpendiculaire au plan des rails, il faudrait incliner ce dernier d’un angle

α

tel que :

\displaystyle \tan(α)=\frac{f_c}{P}=2 \frac{ω \:v'}{g} \, \sin(λ)=8\text{,}1.{10}^{-4}

c’est-à-dire :

α=8\text{,}1.{10}^{-4} \; \mathrm{rad}

.
◊ remarque : ceci est négligeable car le moindre vent latéral cause un effet très nettement supérieur.

Principe et précision de l’expérience d’Eotvos

• Par rapport à le référentiel terrestre, non galiléen, les deux corps constituant le pendule sont soumis (chacun) à une force d’inertie d’entraînement de la forme :

$\overset{→}{f}_e=m^{{}^{(}{}'{}^{)}}\: ω^2 \; \overset{⟶}{HM}=m^{{}^{(}{}'{}^{)}} \: ω^2 \: R \; \cos(λ) \; \overset{→}{u}{}'_x$ .

◊ remarque : les distances

HM

sont égales pour les deux corps car le levier est perpendiculaire au plan du méridien, qui correspond au plan du dessin).
• Les forces de gravitation se compensent et n’interviennent pas dans le bilan.

• L’ensemble est soumis à un couple de forces d’inertie dont le moment par rapport à

O

, milieu du levier, est :

$\overset{→}{ℳ}_O=\left(𝓁 \;\overset{→}{u}{}'_y \right) \: \left[m' \:ω^2 \: R \;\cos(λ) \; \overset{→}{u}{}'_x \right]+\left(-𝓁 \;\overset{→}{u}{}'_y \right) \left[m \:ω^2 \: R \;\cos(λ) \; \overset{→}{u}{}'_x \right]=2 \,(m-m') \: ω^2 \: R\: 𝓁 \; \cos(λ) \; \overset{→}{u}{}'_z$ .

• Par rapport à l'axe

Δ

du fil le moment algébrique est :

\widebar{ℳ}_Δ=\overset{→}{ℳ}_O⋅\overset{→}{u}_r=(m-m') \: ω^2 \: R \:𝓁 \; \sin(2 \,λ)

. Sous l’effet d’un tel moment, le fil se tord d’un angle

Δθ

tel que :

\widebar{ℳ}_Δ=C \;Δθ

; la déviation angulaire est donc :

\displaystyle Δθ=(m-m')\:\frac{ω^2 \: R \:𝓁}{C} \, \sin(2\, λ)

• L’angle minimum détectable est :

\displaystyle θ_m=\frac{0\text{,}001 \:\mathrm{m}}{2 \:\mathrm{m}}=5.{10}^{-4} \; \mathrm{rad}

. Mais la rotation du faisceau réfléchi est au total le double de la rotation du miroir, puisque l’angle de réflexion varie autant que l’angle d’incidence ; par suite :

\displaystyle Δθ≤\frac{θ_m}{2}

\displaystyle m-m'≤\frac{C \:θ_m}{2 \,ω^2 \: R \:𝓁 \;\sin(2 \,λ)}

.
• La constante de torsion

C

n’est pas indiquée par l’énoncé, mais l’étude des oscillations permet de montrer que :

\displaystyle m=\frac{J}{2 \,𝓁^2}=\frac{C \:T^2}{8 \,π^2 \: 𝓁^2}

et donc :

\displaystyle \frac{m-m'}{m}≤\frac{4 \,π^2 \: 𝓁 \:θ_m}{ω^2 \: R \:T^2 \; \sin(2 \,λ)}=6\text{,}4.{10}^{-8}

.
◊ remarque : la vitesse angulaire est

ω=2π \;\mathrm{rad.{jour}^{-1}}=7\text{,}3.{10}^{-5} \; \mathrm{rad.s^{-1}}

Oscillation par rapport à un référentiel non galiléen

• Par rapport au référentiel tournant

ℛ'

en coordonnées cylindriques, avec l'origine en bas de la circonférence, la position de l'anneau vérifie :

R^2=r^2+{(R-z)}^2

c'est-à-dire :

z=R-\sqrt{R^2-r^2}

.
◊ remarque : l'expression précédente correspond à la partie inférieure ; de même

z=R+\sqrt{R^2-r^2}

pour la partie supérieure, mais le seul équilibre est alors pour

r=0

et il est évidemment instable.
◊ remarque : on peut aussi repérer par la position angulaire ou l’abscisse curviligne sur le cercle.
• Puisqu'on cherche une condition d'équilibre, correspondant à un mouvement relatif nul, on peut considérer la relation de la dynamique de translation par rapport à

ℛ'

sans force d'inertie complémentaire. En outre, la force d'inertie complémentaire

\overset{→}{f}_c=-2 \,m \overset{→}{ω} × \overset{→}{v}{}'

est perpendiculaire au déplacement par rapport à

ℛ'

et elle ne travaille pas ; elle n’intervient donc généralement pas dans la méthode d'étude du mouvement par l'énergie potentielle.
• La réaction de la circonférence ne travaille pas puisqu'il n'y a pas de frottement ; en particulier elle n'intervient donc pas dans la méthode de recherche des équilibres par l'énergie potentielle.
• Pour une rotation de

ℛ'

avec une vitesse de rotation

\overset{→}{ω}

constante, la force d'inertie d'entraînement est :

\overset{→}{f}_e=-m \;\overset{→}{ω} × \left(\overset{→}{ω} × \overset{⟶}{OM} \right)=m \:ω^2 \: r\; \overset{→}{u}_r

. Or, pour cette force radiale :

\displaystyle \overset{→}{f}_e=-\frac{∂E_{pe}}{∂r} \, \overset{→}{u}_r

avec l'énergie potentielle :

E_{pe}=-\frac{1}{2} m \:ω^2 \: r^2

.
• L'énergie potentielle totale de l'anneau par rapport à

ℛ'

peut donc s’écrire :

$E_p=m \:g \:z-\frac{1}{2} m \:ω^2 \: r^2=m \:g .\left[R-\sqrt{R^2-r^2}\right]-\frac{1}{2} m \:ω^2 \: r^2$ .

• Les positions d'équilibre correspondent à la condition :

\displaystyle \frac{∂E_p}{∂r}=0=-m \:r .\left[ω^2-\frac{g}{\sqrt{R^2-r^2}}\right]

d'où on déduit :

r=0

\displaystyle r=\sqrt{R^2-\left(\frac{g}{ω^2}\right)^2}

(si cette seconde valeur est entre

0

R

, c'est-à-dire si

\displaystyle ω>\sqrt{\frac{g}{R}}

).
◊ remarque : pour la partie supérieure, la condition d'équilibre est :

\displaystyle \frac{∂E_p}{∂r}=0=-m \:r .\left[ω^2+\frac{g}{\sqrt{R^2-r^2}}\right]

d'où on déduit la seule solution :

r=0

.
• L'équilibre pour

r = 0

est stable si :

\displaystyle \frac{∂^2E_p}{{∂r}^2} = K = -m.\left[ω^2 - \frac{g\:R^2}{{(R^2-r^2)}^{3/2}} \right] = m.\left( \frac{g}{R}-ω^2\right) > 0

c'est-à-dire pour :

\displaystyle ω<\sqrt{\frac{g}{R}}

.
◊ remarque : on retrouve que, s'il n'y a pas équilibre stable pour

r=0

, l'équilibre stable correspond à l'autre solution :

\displaystyle r=\sqrt{R^2-\left(\frac{g}{ω^2}\right)^2}

.
◊ remarque : pour la partie supérieure, on vérifie que la condition d'équilibre stable est impossible :

\frac{∂^2 E_p}{{∂r}^2} =K=-m .\left(\frac{g}{R}+ω^2 \right)<0

.
• Si le coefficient

K

est positif (raideur de l'oscillateur), l'énergie potentielle est

E_p ≈\frac{1}{2} K\:r^2

(compte tenu de

E_{p0} = 0

) et la période des petites oscillations est :

\displaystyle T=2π \,\sqrt{\frac{m}{K}}=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{R}-ω^2}}

.
◊ remarque : le calcul de la période suppose que

E_c≈\frac{1}{2} m \:\dot{r} ^2

, ce qui est correct ici pour

r≈0

à l’ordre d’approximation considéré car :

v=\dot{s}=R \:\dot{θ}

r=R \; \sin(θ)≈R \:θ

Marées d'équinoxe

1.a.

• Les forces de marée sont maximales lorsque le point considéré se trouve sur la droite passant par les centres de la Terre et du Soleil. Lorsque la Terre est au voisinage du solstice, l'alignement n'est jamais parfait pour un point situé sur l'équateur à cause de l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre. Les variations sont d'allure sinusoïdale, avec une périodicité d'environ

12 \:\mathrm{h}

◊ remarque : selon la position relative de la Lune (effet prépondérant), cela peut s'y ajouter (Lune en conjonction) ou s'y retrancher (Lune en quadrature).

1.b.

• Lorsque la Terre est au voisinage de l'équinoxe, l'alignement est parfait dans les conditions de la marée haute. Les marées ont donc une amplitude d'autant plus grande si cet effet s'ajoute à celui de la Lune, mais d'autant plus petite si cet effet se retranche.

2.a.

• Lorsque la Terre est au voisinage de l'équinoxe, l'alignement n'est jamais parfait pour un point situé sur le tropique nord. Les variations sont semblables à celles observées à l'équateur lorsque la Terre est au voisinage du solstice.

2.b.

• Lorsque la Terre est au voisinage du solstice, l'alignement est parfait une fois sur deux et encore moins bon une fois sur deux. Les marées ont donc une amplitude d'autant plus grande (ou plus petite) dans les zones où la résonance est plutôt à une marée par jour. Pour un effet moyen comparable, mais moins bien synchronisé, on peut par contre penser qu'elles sont plutôt un peu atténuées dans les zones où la résonance est à deux marées par jour (par différence, ceci peut faire des marées plus grandes aux équinoxes, mais pour d'autres raisons).