M. V - DYNAMIQUE - OSCILLATIONS FORCÉES

Équation du mouvement

• On considère un pendule à ressort vertical avec amortissement visqueux, mis en oscillations forcées (de pulsation

ω

quelconque) par un mouvement sinusoïdal permanent du support :

z_A=z_{A0}+Z_{Am} \; \cos(ω \,t)

.

En posant

\displaystyle ω_0^{\:2}=\frac{k}{m}

\displaystyle α=\frac{λ}{2 \,m}

et en prenant pour origine la position d’équilibre obtenue pour

z_A=z_{A0}

l’équation du mouvement peut s’écrire :

$\ddot{z}+2 \,α \:\dot{z}+ω_0^{\:2} \: z=ω_0^{\:2} \: Z_{Am} \; \cos(ω \,t)$ .

◊ remarque : l'effet du fluide est décrit par

m′=m+m_e

\displaystyle \overset{→}{g}{}′=\overset{→}{g} \:\frac{m-m_d}{m+m_e}

(avec

m_d

pour le fluide “déplacé” et

m_e

pour le fluide “oscillant”).

• D’une façon analogue à ce qui a été étudié en électricité, la solution générale de cette équation est la somme :

d’un régime transitoire amorti, solution de l’équation homogène ;
d’oscillations forcées, solution particulière de l’équation complète.

Bien que le régime transitoire soit moins vite amorti en mécanique qu’en électricité, on se limite ici à l’étude du régime forcé qu’on cherche sous la forme :

z=Z_m \; \cos(ω \,t+ϕ)

; donc en notations complexes :

$\underline{z}=Z_m \: \mathrm{e}^{\mathrm{j}\,(ω\,t+ϕ)} =\underline{Z}_m \: \mathrm{e}^{\mathrm{j}ω\,t}$ avec $\underline{Z}_m=Z_m \: \mathrm{e}^{\mathrm{j}ϕ}$ .

◊ remarque : l’amplitude

Z_m

n'est pas une impédance… (l’analogie électromécanique permet de définir des “impédances” en mécanique ; par exemple

λ

).

◊ remarque : l’analogue électromécanique de

z

est la charge

q=C \:u_C

du condensateur ; les résultats sont donc un peu différents de ceux obtenus pour le courant

\displaystyle i=\frac{u_R}{R}

dans un circuit “RLC” (il faudrait utiliser la variable

\dot{z}

).

• L’équation

\ddot{z}+2 \,α \:\dot{z}+ω_0^{\:2} \: z=ω_0^{\:2} \: Z_{Am} \; \cos(ω \,t)

correspond à l’équation complexe

\left(-ω^2+2 \,\mathrm{j} α \:ω+ω_0^{\:2} \right) \:\underline{Z}_m \: \mathrm{e}^{\mathrm{j}ω\,t}=ω_0^{\:2} \: Z_{Am} \: \mathrm{e}^{\mathrm{j}ω\:t}

d’où on déduit par identification :

\displaystyle \underline{Z}_m=\frac{Z_{Am} \: ω_0^{\:2}}{ω_0^{\:2}-ω^2+2 \,\mathrm{j} α \:ω}

c'est-à-dire :

$\displaystyle Z_m=\frac{Z_{Am} \: ω_0^{\:2}}{\sqrt{\left(ω_0^{\:2}-ω^2 \right)^2+(2 \,α \:ω)^2}}$ et $\displaystyle \sin(ϕ)=-\frac{2 \,α \:ω}{\sqrt{\left(ω_0^{\:2}-ω^2 \right)^2+(2 \,α \:ω)^2}}$ .

Amplitude du mouvement et résonance

• La variation de

Z_m (ω)

donne une résonance si l’amortissement n’est pas trop grand, mais avec un maximum pour

ω_r≠ω_0

.

En fait :

\displaystyle \frac{dZ_m}{dω}=\frac{2 \,Z_{Am} \: ω_0^{\:2} \: ω .\left(ω_0^{\:2}-ω^2-2 \,α^2 \right)}{\left[\left(ω_0^{\:2}-ω^2 \right)^2+(2 \,α \:ω)^2 \right]^{3/2}}

s’annule :

pour $ω=0$ : tangente horizontale avec $Z_m (0)=Z_{Am}$ ;
pour $ω=ω_r=\sqrt{ω_0^{\:2}-2 \,α^2}$ : résonance si et seulement si $\displaystyle α<\frac{ω_0}{\sqrt{2}}$ (la limite critique n'est pas la même que pour les régimes transitoires) avec un extremum $\displaystyle Z_{mM}=Z_m (ω_r)=\frac{Z_{Am} \: ω_0^{\:2}}{2 \,α \:\sqrt{ω_0^{\:2}-α^2} }=\frac{Z_{Am} \: ω_0^{\:2}}{\sqrt{ω_0^{\:4}-ω_r^{\:4}}}$ .

• On peut définir la “bande passante” comme la largeur de la courbe de résonance pour

\displaystyle Z_m=\frac{Z_{mM}}{\sqrt{2}}

On obtient ainsi :

ω^4-2 \,ω^2 \:ω_r^{\:2}+2 \,ω_r^{\:4}-ω_0^{\:4}=0

ω^2=ω_r^{\:2}±\sqrt{ω_0^{\:4}-ω_r^{\:4}}

.

Le calcul exact est ensuite compliqué, mais pour

\displaystyle X=\frac{α}{ω_r}

petit :

$ω^2=ω_r^{\:2}.\left(1±2 \,X \:\sqrt{1+X^2}\right)$ ; $ω≈ω_r .\left(1±X-\frac{1}{2} X^2±X^3\:⋯\right)$ ;
$∆ω≈2 \,α .\left(1+X^2\:⋯\right)$ .

• On peut alors définir le “facteur de qualité” :

\displaystyle 𝒬=\frac{ω_r}{∆ω}≈\frac{ω_0}{2 \,α}=\frac{\sqrt{k \:m}}{λ}

(résonance plus “aiguë” si l’amortissement est faible).

On peut en outre noter que

\displaystyle \frac{Z_{mM}}{Z_{Am}} =\frac{ω_0^{\:2}}{2 \,α \:\sqrt{ω_0^{\:2}-α^2}}≈𝒬

pour

α

petit.

Déphasage

• Le déphasage varie (entre

0

-π

) de façon analogue à celle obtenue en électricité pour l’intensité du courant dans un circuit RLC (entre

-\frac{π}{2}

\frac{π}{2}

) :

déphasage $ϕ=-\frac{π}{2}$ pour $ω=ω_0$ quel que soit $α$ ;
bande passante $∆ω=2 \,α$ limitée (pour tout $α$ ) par $ϕ=-\frac{π}{4}$ et $-\frac{3π}{4}$ .

📖 exercices n° I et II

Puissance

• La puissance mécanique d'une force

\overset{→}{f}

est :

𝒫=\overset{→}{f}∙\overset{→}{v}

; pour un mouvement rectiligne, l'expression algébrique

𝒫=f.v

est l'analogue mécanique de la puissance instantanée électrique

p(t)=u(t) \:i(t)

.

◊ remarque : si on utilise en électricité le “produit scalaire complexe” pour noter la puissance moyenne :

\underline{P}=\underline{U}.\underline{I}^*

on peut être tenté de considérer qu'il s'agit de l'analogue logique du produit scalaire envisagé précédemment ; cette pseudo-analogie est toutefois “bâtarde” car les puissances considérées (instantanée et moyenne) sont des grandeurs différentes.

• Pour calculer la puissance moyenne reçue par le système, on peut considérer que c'est celle fournie par le moteur qui actionne le support :

$f_A (t)=k .(z_A-z-𝓁_0)$

$=k .\left[z_{A0}+Z_{Am} \; \cos(ω \,t)-z_{eq}-Z_m \; \cos(ω \,t+ϕ)-𝓁_0\right]$ ;

$v_A (t)=\dot{z}_A=-ω \:Z_{Am} \; \sin(ω \,t)$ ;
$𝒫(t)=f_A .v_A=\frac{1}{2} k \:ω \:Z_{Am} \: Z_m .\left[\sin(2 \,ω \,t+ϕ)-\sin(ϕ) \right]$

$-\frac{1}{2} k \:ω \:Z_{Am}^{\:2} \; \sin(2 \,ω \,t)-m \:g \:ω \:Z_{Am} \; \sin(ω \,t)$ ;

$\displaystyle P=〈 𝒫(t) 〉=-\frac{1}{2} k \:ω \:Z_{Am} \: Z_m \; \sin(ϕ)=\frac{k \:α \:Z_{Am}^{\:2} \: ω_0^{\:2} \: ω^2)}{\left(ω_0^{\:2}-ω^2 \right)^2+(2 \,α \:ω)^2}$ .

◊ remarque : on considère ici que le ressort “fait partie” du système décrit par un point matériel ; son énergie cinétique est négligeable ; son énergie potentielle élastique est considérée comme propriété du “point”.

◊ remarque : avec les valeurs efficaces

P=F_{Aℯ𝒻𝒻} \: V_{Aℯ𝒻𝒻} \; \cos(ϕ_A )

où le déphasage entre

f_A

v_A

est

ϕ_A≠ϕ

.

• On peut aussi considérer que cette puissance est celle fournie par le ressort à

M

, ou dissipée par les frottements (équivalant à l'effet Joule en électricité) :

$v(t)=\dot{z}=-ω \:Z_m \; \sin(ω \,t+ϕ)$ ;
$f(t)=-λ \:\dot{z}=λ \:ω \:Z_m \; \sin(ω \,t+ϕ)$ ;
$P(t)=-f.v=-λ \:ω \:Z_m^{\:2} \; \sin^2(ω \,t+ϕ)$ ;
$\displaystyle P=〈 𝒫(t) 〉=-\frac{1}{2} λ \:ω^2 \: Z_m^{\:2}=\frac{k \:α \:Z_{Am}^{\:2} \: ω_0^{\:2} \: ω^2}{\left(ω_0^{\:2}-ω^2 \right)^2+(2 \,α \:ω)^2}=\frac{P_0 \: x^2}{\left(1-x^2 \right)^2+4 \:α^2 \: x^2}$ .

Ceci correspond ici encore à une courbe de résonance :