DYNAMIQUE - OSCILLATIONS FORCÉES - exercices

A. EXERCICES DE BASE

Amortissement et puissance dissipée

         • Un oscillateur harmonique amorti, repéré par une position xx , est soumis à des oscillations entretenues par une force selon l'axe OxOx :  F=F0cos(ωt)F=F_0 \: \cos(ω \:t)  où F0F_0 est une constante indépendante de ωω .

1.     • L'amortissement étant supposé faible, déterminer la puissance moyenne  P(ω)=〈p(ω,t)〉P(ω)=〈 p(ω,t) 〉  fournie à l'oscillateur par la force FF (et dissipée par les forces causes de l'amortissement).

2.     • Représenter graphiquement la courbe de résonance en puissance P(ω)P(ω) .


Diagramme de phase

         • Tracer le diagramme de phase (représentant vω0\displaystyle \frac{v}{ω_0} en fonction de xx ) pour un oscillateur harmonique amorti par frottement fluide laminaire, en régime d’oscillations forcées.



B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT

Oscillations d'un pont suspendu

         • Pour décrire les oscillations des ponts suspendus sous l'effet du vent, plusieurs modélisations ont été proposées ; une version parmi les plus simples correspond à l'équation de Van der Pol, qu'on peut écrire sous la forme :  ẍ+αx˙.(x2L2−1)+ω02x=0\displaystyle \ddot{x}+α \:\dot{x} .\left(\frac{x^2}{L^2} -1\right)+ω_0^{\:2} \: x=0  où  αα  et  LL  sont des constantes positives. En pratique, l'intégration ne peut se faire que par des méthodes numériques.

1.     • Tracer un diagramme de phase (représentant  vω0\displaystyle \frac{v}{ω_0}  en fonction de xx ) pour un mouvement partant de  x0L=4\displaystyle \frac{x_0}{L}=4  avec une vitesse initiale nulle. Commenter.

2.     • Tracer un diagramme de phase pour un mouvement partant de  x0L=0,02\displaystyle \frac{x_0}{L}=0\text{,}02  avec une vitesse initiale nulle. Commenter.