• La force de Newton entre deux points matériels $P_1$ et $P_2$ (masses $m_1$ et $m_2$ ) :

$\displaystyle \overset{→}{f}_{1→2}=-𝒢 \: \frac{m_1 \, m_2}{r^2} \: \overset{→}{u}_r$  (avec  $\displaystyle \overset{→}{u}_r=\frac{\overset{⟶}{P_1 P_2}}{r}$  et  $𝒢=6\text{,}672.{10}^{-11} \; \mathrm{N.m^2.kg^{-2}}$ )

est analogue à la loi coulombienne entre deux charges $q_1$ et $q_2$ :

$\displaystyle \overset{→}{f}_{1→2}=\frac{1}{4π \,ε_0} \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \: \overset{→}{u}_r$  (avec  $\displaystyle \frac{1}{4π \,ε_0}=9.{10}^9 \; \mathrm{N.m^2.C^{-2}}$ ).

On peut associer à la force électrostatique un “champ électrostatique” causé par $q_1$ en $P_2$ :  $\displaystyle \overset{→}{ℰ}(P_2 )=\frac{\overset{→}{f}_{1→2}}{q_2} =\frac{1}{4π \,ε_0} \, \frac{q_1}{r^2} \: \overset{→}{u}_r$  ;
on définit de même un “champ gravitationnel” causé par $m_1$ en $P_2$ :  $\displaystyle \overset{→}{g}(P_2 )=\frac{\overset{→}{f}_{1→2}}{m_2} =-𝒢 \: \frac{m_1}{r^2} \: \overset{→}{u}_r$ .

• Les forces en $\displaystyle \frac{1}{r^2}$ dérivent d’une énergie potentielle en $\displaystyle \frac{1}{r}$ :

$\displaystyle E_p=-𝒢 \: \frac{m_1\, m_2}{r}$  pour la loi newtonienne ;
$\displaystyle E_p=\frac{1}{4π \,ε_0} \frac{q_1 \, q_2}{r}$  pour la loi coulombienne.

Les champs en $\displaystyle \frac{1}{r^2}$ dérivent d’un potentiel en $\displaystyle \frac{1}{r}$ :

$\displaystyle V(P_2)=\frac{1}{4π\, ε_0} \frac{q_1}{r}$  (en $\mathrm{volts}$ ), tel que :  $\overset{→}{ℰ}=-\overset{→}{∇}V$  ;
$\displaystyle 𝒱(P_2)=-𝒢 \: \frac{m_1}{r}$  (en $\mathrm{m^2.s^{-2}}$ ),  tel que :  $\overset{→}{g}=-\overset{→}{∇}𝒱$ .

• En repérant la trajectoire par l’équation  $r=r(θ)$  obtenue par élimination du temps $t$ , en utilisant la variable  $\displaystyle 𝓊=\frac{1}{r}$  et en substituant  $\dot{θ}=C \:𝓊^2$ ,  on peut réexprimer la vitesse (“première formule de Binet”) :

$\displaystyle \overset{→}{v}=\dot{r} \: \overset{→}{u}_r+r \:\dot{θ} \: \overset{→}{u}_θ=C.\left[-\frac{d𝓊}{dθ} \: \overset{→}{u}_r+𝓊 \:\overset{→}{u}_θ \right]$ .

• D’une façon analogue, compte tenu du fait que l’accélération centrale a une composante orthoradiale nulle :  $\overset{→}{a}=(\ddot{r}-r \:\dot{θ}^2 \,) \: \overset{→}{u}_r$ .   En utilisant les mêmes notations que précédemment,  on obtient la “deuxième formule de Binet” :

$\displaystyle \overset{→}{a}=-C^2 \: 𝓊^2.\left[ \frac{d^2 𝓊}{{dθ}^2} +u\,\right] \: \overset{→}{u}_r$ .

La solution est :  $\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{𝒢 \:M}{C^2} +A \: \cos(θ)=\frac{1}{𝓅} \: [1+ℯ \;\cos(θ) ]$   où  $ℯ$  et  $\displaystyle 𝓅=\frac{C^2}{𝒢 \:M}$  sont nommés “excentricité” et “paramètre” de la trajectoire.

• Pour le mouvement des planètes, on vérifie les deux premières lois de Kepler : mouvement elliptique (donc plan) et selon la loi des aires.

La loi des aires :  $\displaystyle C=r^2 \: \dot{θ}=2 \;\dot{S}=\frac{2π \:𝒶\: 𝒷}{T}$  donne alors la troisième loi de Kepler, qui relie le demi-grand-axe de l’ellipse à la période :  $\displaystyle \frac{𝒶^3}{T^2} =\frac{𝒢 \:M)}{4 \,π^2}$ .

☞ remarque : la troisième loi de Kepler se retrouve facilement dans le cas circulaire  ( $ℯ=0$ ,  ce qui n’est pas trop particulier car  $ℯ≪1$  pour la plupart des planètes) :  $\displaystyle m\: a = m \:ω^2 \: R =\frac{𝒢 \:M \:m}{R^2}$   d’où  $\displaystyle \frac{R^3}{T^2} =\frac{𝒢 \:M}{4 \,π^2}$ .

☞ remarque : pour une ellipse  $\displaystyle E_m=-\frac{𝒢 \:M \:m}{2 \,𝒶}$ ,  ce qui se retrouve facilement dans le cas circulaire :  $\displaystyle E_p=-\frac{𝒢 \:M \:m}{R}$  et  $\displaystyle\frac{ m \:v^2}{R}=\frac{𝒢 \:M \:m}{R^2}$   donc :  $\displaystyle E_c=\frac{𝒢 \:M \:m}{2 \,R}$  et  $\displaystyle E_m=-\frac{𝒢 \:M \:m}{2 \,R}$ .