AO “IDÉAL” EN MODE LINÉAIRE

AO “IDÉAL” EN MODE LINÉAIRE - corrigé du TP3

2. Montage “générateur de courant”

2.1. Étude de base

• On se limite ici au cas (idéal) où on dispose de quatre résistances

R

rigoureusement égales.

AOidlin_corTP3_Im/AOidlin_corTP3_Im1.jpg

V_e=R \:I_e+ε+R .(I_e-I+I_s)≈R .(2 \,I_e-I+I_s)

;

ε=R .(I_e-I)+R .(I_e-I+I_s)≈0

; donc

2 \,I_e+I_s≈2 \,I

; ainsi

V_e≈R \:I

• En attende de données fournies par les étudiants...

2.2. Limite supérieure de $R_c$

• En se limitant encore au cas (idéal) où on dispose de quatre résistances

R

rigoureusement égales :

V_s=2 \,R .(I_e-I+I_s) = 2 \,V_{-} ≈ 2 \,V_{+}

; donc

V_s=R \:I_s

Pour éviter la saturation, il faut que

V_s<A

(tension d’alimentation) ; mais, quand le courant débité par la sortie n’est pas négligeable, il faut de plus que

V_s<A-ρ \:I_s

(contrainte plus forte) où

ρ≈300 \:\mathrm{Ω}

est la résistance de sortie en mode saturé.

Ceci impose :

V_s=R \:I_s<A-ρ \:I_s

; donc

\displaystyle I_s<\frac{A}{R+ρ}

; ainsi

\displaystyle V_s=R \:I_s<A \: \frac{R}{R+ρ}

;

\displaystyle V_{+}≈V_{-}=\frac{V_s}{2}<\frac{A \:R}{2 \,(R+ρ)}

;

\displaystyle V_{+}≈R_c \:I=R_c \, \frac{V_e}{R}

; donc

\displaystyle R_c<\frac{A \:R^2}{2 \,V_e.(R+ρ)}

Par exemple :

◊	pour $R=10 \:\mathrm{kΩ}≫ρ$ ; $A=15 \:\mathrm{V}$ ; $V_e=7,5 \:\mathrm{V}≪A$ ; on obtient : $R_c<9700 \:\mathrm{Ω}≈R$ ;
◊	pour $R=1 \:\mathrm{kΩ}$ ; $A=15 \:\mathrm{V}$ ; $V_e=12 \:\mathrm{V}$ ; on obtient : $R_c<480 \:\mathrm{Ω}≪R$ .

2.3. Limite inférieure de $R$ et/ou $R_c$

• Un autre problème se pose si on impose

V_e

(qui sert à régler le courant

I

) à l'aide d'un générateur de tension de résistance non nulle (généralement : un GBF). Dans ce cas, la variation de

R_c

provoque une variation de

I_e

qui provoque une variation de

V_e=E-r \:I_e

, ce qui provoque une variation de

I

.

Pour éviter cela, supposons qu'on veuille limiter les variations de

V_e

à un proportion

α

(par exemple

1 \:%

) ; alors il faut imposer

\displaystyle I_e<\frac{α \:V_e}{r}

.

Puisque

\displaystyle I_e=\frac{V_e-R_c \:I}{R}

avec

\displaystyle I=\frac{V_e}{R}

ceci donne :

\displaystyle R_c>R .\left(1-\frac{α \:R}{r}\right)

.

• Si on veut éviter qu'il y ait une limite inférieure sur

R_c

(ce qui est quasi-indispensable pour un générateur de courant), il faut que la limite théorique soit négative ou nulle, donc

\displaystyle R>\frac{r}{α}

.

Par exemple, pour

r=50 \:\mathrm{Ω}

α=1 \:%

on doit utiliser

R>5 \:\mathrm{kΩ}

2.4. Incertitude sur le courant généré

• La propagation des incertitudes lors de l'estimation de l'expression théorique

\displaystyle I_e=\frac{V_e}{R}

doit se faire en tenant compte du fait que les résistances ne sont pas rigoureusement égales :

R_1≠R_2≠R_3≠R_4

.

Dans le cas général (en régime non saturé) on peut écrire :

\displaystyle V_{+}=\frac{\frac{V_e}{R_1} +\frac{V_s}{R_2}}{\frac{1}{R_1} +\frac{1}{R_2} +\frac{1}{R_c}}

;

\displaystyle V_{-}=\frac{\frac{V_s}{R_3}}{\frac{1}{R_3} +\frac{1}{R_4}}

;

V_{+}=V_{-}

permet d'éliminer

V_s

;

\displaystyle I=\frac{V_{+}}{R_c} =\frac{V_e \:R_2 \:R_4}{R_1 \:R_2 \:R_4-R_c.(R_1 \:R_3-R_2 \:R_4 )}

Ceci montre en particulier qu'on n'obtient un montage générateur de courant (dont le courant débité ne dépend pas de

R_c

) que si on choisit des résistances telles que

R_1 \: R_3=R_2 \: R_4

(et en particulier si ces résistances sont égales).

• Étant donné qu'on utilise les mêmes instruments pour les différentes mesures, on choisit ici d'ajouter les incertitudes linéairement pour tenir compte d'éventuelles corrélations.

Ainsi :

\displaystyle ∆I=\left|\frac{∂I}{∂V_e}\right| \, ∆V_e+\left|\frac{∂I}{∂R_1}\right| \, ∆R_1+\left|\frac{∂I}{∂R_2}\right| \, ∆R_2+\left|\frac{∂I}{∂R_3}\right| \, ∆R_3+\left|\frac{∂I}{∂R_4}\right| \, ∆R_4+\left|\frac{∂I}{∂R_c}\right| \, ∆R_c

; expression dans laquelle on substitue ensuite :

R=R_1≈R_2≈R_3≈R_4

∆R=∆R_1=∆R_2=∆R_3=∆R_4

.

On obtient respectivement :

\displaystyle \left|\frac{∂I}{∂V_e}\right|=\left|\frac{R_2 \: R_4}{R_1 \: R_2 \: R_4-R_c.(R_1 \: R_3-R_2 \: R_4 )}\right|≈\frac{1}{R}

;

\displaystyle \left|\frac{∂I}{∂R_1}\right|=\left|\frac{V_e \: R_2 \: R_4.(R_2 \: R_4-R_c \: R_3)}{\left(R_1 \: R_2 \: R_4-R_c.(R_1 \: R_3-R_2 \: R_4 )\right)^2} \right|≈\frac{\left|V_e.(R-R_c )\right|}{R^3}

;

\displaystyle \left|\frac{∂I}{∂R_2}\right|=\left|\frac{-V_e \: R_1 \: R_3 \: R_4 \:R_c}{\left(R_1 \: R_2 \: R_4-R_c.(R_1 \: R_3-R_2 \: R_4 )\right)^2} \right|≈\frac{\left|V_e \right| \: R_c}{R^3}

;

\displaystyle \left|\frac{∂I}{∂R_3}\right|=\left|\frac{V_e \: R_1 \: R_2 \: R_4 \:R_c}{\left(R_1 \: R_2 \: R_4-R_c.(R_1 \: R_3-R_2 \: R_4 )\right)^2} \right|≈\frac{\left|V_e \right| \: R_c}{R^3}

;

\displaystyle \left|\frac{∂I}{∂R_4}\right|=\left|\frac{-V_e \: R_1 \: R_2 \: R_3 \:R_c}{\left(R_1 \: R_2 \: R_4-R_c.(R_1 \: R_3-R_2 \: R_4 )\right)^2} \right|≈\frac{\left|V_e \right| \: R_c}{R^3}

;

\displaystyle \left|\frac{∂I}{∂R_c}\right|=\left|\frac{V_e \: R_2 \: R_4.(R_1 \: R_3-R_2 \: R_4 )}{\left(R_1 \: R_2 \: R_4-R_c.(R_1 \: R_3-R_2 \: R_4 )\right)^2}\right|≈0

(conforme au fait que

I

ne dépend pas de

R_c

• Ceci donne donc au total :

\displaystyle ∆I=\frac{1}{R} \, ∆V_e+\frac{\left|V_e \right|}{R^3} \: \left(\left|R-R_c \right|+3 \,R_c \right) \, ∆R

qui diffère du résultat obtenu en dérivant l'expression simplifiée :

\displaystyle ∆I≈\frac{1}{R} \, ∆V_e+\frac{\left|V_e \right|}{R^2} \, ∆R

; cette approximation revient à substituer

R_c=0

(logique puisque

I

n'en dépend pas) dans l'incertitude complète, mais elle néglige l'effet des incertitudes sur les différences des quatre résistances.

Plus précisément :

◊	pour $R_c>R$ cela augmenterait l'effet de $∆R$ d'un facteur $\displaystyle \frac{4 \,R_c}{R}-1≥3$ très gênant, mais la partie (2.2) montre que ce cas est interdit car il correspond à un régime saturé ;
◊	pour $R_c<R$ cela augmente l'effet de $∆R$ d'un facteur $\displaystyle 1+\frac{2 \,R_c}{R}≤3$ qui peut ne pas être négligeable pour les plus grandes valeurs de $R_c$ .

3. Montage “dérivateur”

• On peut raisonner avec le courant dans la branche RC et

v_{-}=v_{+}=0

. La charge du condensateur est :

q=C \:v_e

et le courant est

\displaystyle i=-\frac{v_s}{R}=\frac{dq}{dt}

. Ainsi

\displaystyle v_s=-R \,C \:\frac{dv_e}{dt}

.

• On réalise le montage avec

R=2000±12 \:\mathrm{Ω}

;

C=\text{0,955}±\text{0,014} \:\mathrm{µF}

; signaux triangulaires de fréquence

N=\text{163,72}±\text{0,84} \:\mathrm{Hz}

.

Pour calculer la dérivée expérimentale, on peut considérer

\displaystyle \dot{v}(t_n)≈\frac{v(t_{n+1})-v(t_{n-1})}{t_{n+1}-t_{n-1}}

; cela révèle la présence de petits parasites de haute fréquence dont la dérivée est grande (cette difficulté, liée aux incertitudes de mesure, est analogue à l'effet des parasites radio indiqué par le protocole du TP).

• Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour compenser ce défaut. Un filtrage trop simple des variations rapides est délicat pour cette forme de signal : en calculant une “dérivée moyenne” sur un intervalle plus grand, on déforme les portions de courbe où la variation est réellement rapide (début et fin de créneaux). Il faut alors régler “à la main” les largeurs d'intervalles en fonction des variations : ce n'est en pratique possible que pour un signal assez simple.

On constate que le circuit dérivateur n'est pas parfait (on remarque un “retard aux variations rapides” au début de chaque créneau) mais qu'il est dans l'ensemble tout à fait efficace.

◊ remarque : le “défaut” signalé du montage a aussi pour effet d'ajouter en sortie un petite contribution proportionnelle (de signe contraire) à l'entrée ; ainsi une pente supérieure (algébriquement) de

v_s

pour le créneau haut et inférieure pour le créneau bas.

• Une autre méthode, adaptée à ce cas particulier, peut consister à ajuster sur les dents de scie

v_e

une série de segments de droites, ou mieux : des développement limités polynomiaux. La dérivée théorique des polynômes ajustés est alors simple ; le résultat est comparable, mais la méthode ne peut ici encore s'appliquer qu'à un signal simple.

• Une autre méthode encore peut inversement consister à intégrer

v_s

pour retrouver

v_e

. On utilise pour cela l'approximation :

\displaystyle ∫ v_s (t) \: dt≈∑\, \left[v_s (t_n ) \: \left(t_{n+1}-t_n \right)\right]

.

On retrouve alors l'inconvénient associé au montage intégrateur : le moindre décalage continu (associé aux incertitudes de mesure) est intégré et “incline” le graphique d'une pente correspondante. Cela peut être compensé en ajustant “à la main” la (très faible) constante qu'il faut ajouter au signal pour éliminer l'inclinaison. Le décalage ainsi ajusté est ici

≈\text{1,5} \:\mathrm{mV}

pour des signaux d'amplitude

≈2 \:\mathrm{V}

.

La modélisation semble ainsi satisfaisante ; on y remarque d'une autre façon que précédemment le “retard aux variations rapides” au début de chaque créneau.

L'autre mode de présentation suivant est possible ; on y retrouve le “retard” (décalage entre “aller” et “retour”) et l'écart du modèle est inférieur à

2 \:%

• Le même montage a aussi été testé en signaux sinusoïdaux. Avec la première des méthodes précédentes (et un filtrage simple) on peut conclure à une représentation relativement satisfaisante de la modélisation.

On observe toutefois comme précédemment un léger retard, ainsi qu'une légère oscillation de

v_s

à chaque extremum de

v_e

, caractéristiques du “défaut” déjà commenté.

L'autre présentation montre un écart du modèle de l'ordre de

2 \:%

Dans ce cas on pourrait aussi ajuster des sinusoïdes, puis comparer les amplitudes et les déphasages... le mieux est d'utiliser une méthode efficacement adaptée au cas particulier de signal étudié.

4. Montage “intégrateur”

4.1. Montage de base

• On peut raisonner avec le courant dans la branche RC et

v_{-}=v_{+}=0

. La charge du condensateur est :

q=-C \:v_s

et le courant est

\displaystyle i=\frac{v_e}{R}=\frac{dq}{dt}

. Ainsi

\displaystyle v_e=-R \,C \:\frac{dv_s}{dt}

ou inversement

\displaystyle v_s=-\frac{1}{R \,C} \, ∫ v_e \: dt

.

• En attente de données fournies par les étudiants...

4.2. “Défaut” utile du montage

• Exploitant les analogies associées aux transformations de Laplace et de Fourier, on peut raisonner avec les impédances complexes :

\displaystyle \underline{i}=\frac{\underline{v}_e}{R}=-\frac{\underline{v}_s}{\underline{Z}}

avec

\displaystyle \frac{1}{\underline{Z}}=\mathrm{j} Cω+\frac{1}{R'}

.

Pour les variations raisonnablement rapides (sur des durées caractéristiques plus petites que

τ≈R'C

) on obtient

\displaystyle \frac{1}{\underline{Z}}=\mathrm{j} Cω

caractérisant l'intégration, donc on retrouve le résultat précédent.

Pour les basses fréquences (variations lentes)

\displaystyle \frac{1}{\underline{Z}}=\frac{1}{R'}

\displaystyle v_s≈-\frac{R'}{R} \, v_e

; en particulier un très petit décalage continu de

v_e

est multiplié et ajouté en sortie, mais ce n'est pas trop perturbateur pourvu que

\displaystyle \frac{R'}{R\,}

ne soit pas trop grand.

◊ remarque : une autre façon de décrire cet effet consiste à dire que le signal perturbateur n'est intégré que pendant une durée

≈\tau

, donc la perturbation est

\displaystyle \delta v_s≈-\frac{1}{RC} \:\delta v_e \:\tau ≈ -\frac{R'}{R\,} \:\delta v_e

.

• Le protocole du TP suggère

\displaystyle \frac{R'}{R\,}≈250

; si

v_s

est du même ordre de grandeur que

v_e

(quelques volts) alors des perturbations de l'ordre du millivolt peuvent décaler

v_s

jusqu'à

25 \:%

... mais sans diverger en saturation (ce qui est l'effet principal souhaité).

Le protocole suggère par ailleurs

\displaystyle T=\frac{1}{N}≪τ≈25 \:\mathrm{ms}

; ceci assure que l'intégration s'effectue sans être filtrée sur la durée de la période étudiée.

◊ remarque : expérimentalement, le mieux est d'adopter un compromis en faisant quelques essais.

• En attente de données fournies par les étudiants...