ÉLECTROCINÉTIQUE - ASSOCIATION DE DIPÔLES

ÉLECTROCINÉTIQUE - ASSOCIATION DE DIPÔLES - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE

I. Association de résistances

1.a.	• La résistance de la branche de droite est $3r$ , donc l’assemblage des deux branches en parallèle a une résistance $R_1$ telle que : $\frac{1}{R_1} =\frac{1}{r}+\frac{1}{3 \,r}=\frac{4}{3 \,r}$ c’est-à-dire : $R_1=\frac{3}{4} r$ .

1.b.	• La maille de droite du second montage est identique au premier montage, sa résistance est donc $R_1$ . • Le second montage est donc équivalent au suivant, dont la branche de droite a pour résistance $2 \,r+R_1=\frac{11}{4} r$ . • L'ensemble a donc une résistance $R_2$ telle que : $\frac{1}{R_2} =\frac{1}{r}+\frac{4}{11 \,r}=\frac{15}{11 \,r}$ c’est-à-dire : $R_2=\frac{11}{15} r$ .

2.a.	• Pour $n+1$ branches en parallèle, la résistance de l’ensemble des $n$ branches à droite est $2 \,r+R_n$ donc l’assemblage des $n+1$ branches a une résistance $R_{n+1}$ telle que : $\frac{1}{R_{n+1}} =\frac{1}{r}+\frac{1}{2 \,r+R_n}$ c’est-à-dire : $R_{n+1}=\frac{2\,r+R_n}{3 \,r+R_n} \:r$ . • Si la limite $R$ pour $n→∞$ existe, elle est telle que : $R=\frac{2 \,r+R}{3 \,r+R} \:r$ c’est-à-dire : $R^2+ 2 \,r\,R -2 \,r^2=0$ d’où on déduit : $R=\left(\sqrt{3}-1\right) \:r≈0,73205 \:r$ .

2.b.	• On constate que $R_1=0,75 \:r$ ; $R_2≈0,733 \:r$ ; $R_3≈0,73205 \:r$ ; ce qui montre que la suite est très rapidement convergente.

II. Électrolyseur

• L'énoncé indique

E>0

donc le schéma du générateur correspond à la convention de signe “usuelle”. Puisque l'électrolyseur est un dipôle passif, le générateur impose dans les branches de droite un courant du haut vers le bas, ce qui correspond à

I≥0

.
◊ remarque : le courant peut être nul si la tension imposée entre ses bornes est insuffisante pour provoquer l'électrolyse.

2.	• Avec les notations de Thévenin, on peut utiliser le schéma équivalent suivant (où on a aussi schématisé le montage du rhéostat) :

• La loi de Millmann donne ainsi (s'il y a électrolyse) :

U_{AB}=\frac{\frac{E}{R-x}+\frac{E'}{R'}}{\frac{1}{R-x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{R'}}=\frac{R' E+(R-x) \:E'}{R \:R'+(R-x) \:x} \;x

.
• Mais par ailleurs :

U_{AB}=E'+R' \:I

, donc (tant que cette relation correspond à une valeur positive) :

I=\frac{U_{AB}-E'}{R'}=\frac{x \:E-R \:E'}{R \:R'+(R-x) \:x}

.
• La relation précédente est valable pour

x≥x_0=\frac{R E'}{E}=4 \:\mathrm{Ω}

; pour

0<x<x_0

on obtient

I=0

.
• On obtient finalement le graphique suivant :

III. Générateurs en opposition

• Puisque l’interrupteur est ouvert :

I=I_2=\frac{E_2}{R+r_2}=0,60 \:\mathrm{A}

(loi de Pouillet).
◊ remarque : on a alors

I_1=0

et la tension aux bornes de l’interrupteur prend automatiquement la valeur :

U=E_2-r_2 \,I-E_1=R \:I-E_1=\left(\frac{R}{R+r_2}-α\right) \:E_2=± 6,0 \:\mathrm{V}

(selon

α

• Quand l’interrupteur est fermé, on peut par exemple utiliser la loi de Millmann pour calculer la tension aux bornes de

R

R \:I=\frac{\frac{E_1}{r_1} +\frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} +\frac{1}{R}+\frac{1}{r_2}}

et donc

I=\frac{E_1 \,r_2+E_2 \,r_1}{R.\left(r_1+r_2 \right)+r_1 \:r_2}

. On obtient ainsi :

I'=0,596 \:\mathrm{A}≈0,60 \:\mathrm{A}

I''=0,601 \:\mathrm{A}≈0,60 \:\mathrm{A}

(compte tenu de la précision des données).
• On peut ensuite calculer

I_2

par la loi des mailles :

I_2=\frac{E_2-R \:I}{r_2} =\frac{E_2.(R+r_1 )-E_1 \,R}{R.(r_1+r_2 )+r_1 \,r_2}

. On obtient ainsi :

I_2'=1,78 \:\mathrm{A}

I_2''=-0,59 \:\mathrm{A}

.
• On constate donc que :

◊	du point de vue du courant dans $R$ , la f.e.m. $E_1$ importe peu car $r_2≪r_1$ et l’effet de $E_2$ reste prépondérant (c’est lui qui impose la tension aux bornes de $R$ ) ;
◊	du point de vue du courant imposé dans le générateur ( $2$ ), c’est au contraire la comparaison des effets de $E_1$ et $E_2$ qui importe, par l’intermédiaire de la quantité : $E_2.(R+r_1 )-E_1 \,R$ .

B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT

IV. Association de résistances

• La “symétrie” par rotation d'un tiers de tour autour de

AD

montre que les courants dans les trois arêtes issues de

A

sont égaux ; or leur somme est

I

(loi des nœuds en

A

), donc ces courants sont égaux à

\frac{I}{3}

. Il en est de même pour les courants dans les trois arêtes issues de

D

• La symétrie par rapport au plan passant par

A

D

B

montre que les courants dans les deux arêtes issues de

B

, autres que

AB

, sont égaux ; or leur somme est

\frac{I}{3}

(loi des nœuds en

B

), donc ces courants sont égaux à

\frac{I}{6}

. La symétrie par rotation utilisée précédemment montre alors que les courants dans les six arêtes “intermédiaires” correspondantes sont de même égaux à

\frac{I}{6}

.
• La loi d'Ohm et la loi des tensions donnent alors :

U_{AD}=U_{AB}+U_{BC}+U_{CD}=r \, \frac{I}{3}+r \,\frac{I}{6}+r \, \frac{I}{3}=\frac{5}{6} \,r \:I

. La résistance équivalente de l'ensemble est

R

telle que :

U_{AD}=R \:I

c'est-à-dire :

R=\frac{5}{6} \,r

V. Association de résistances

1.	• Les couples de points symétriques $(B,D)$ , $(B',D')$ et $(B'',D'')$ sont reliés de façon symétrique, donc le réseau est globalement symétrique par rapport au plan considéré.

2.	• Les points symétriques considérés sont aux mêmes potentiels ; on peut les court-circuiter sans modifier la répartition des courants.

• En “aplatissant” le réseau “diagonalement” (

D

D'

D''

sont respectivement confondus avec

B

B'

B''

) et, en remplaçant chaque paire de résistances

r

en parallèle par une résistance

\frac{r}{2}

, on obtient le réseau équivalent suivant, qui peut encore se simplifier par des associations en série :

• Dans un tel réseau, on peut continuer à simplifier par des équivalences triangle-étoile (triangles

A'B'B''

BB'C'

) ; mais, compte tenu de la symétrie centrale et en utilisant la loi des nœuds, on peut limiter le nombre de courants inconnus à deux (nombre de mailles indépendantes).
• En écrivant la loi des mailles, par exemple pour les deux mailles de gauche, on obtient :

r \:I_1+\frac{r}{2} \, (2 \,I_1+I_2-I)-\frac{r}{2} \:I_2-\frac{r}{2} \,(I-I_1 )=0

;

\frac{r}{2} \,I_2+\frac{r}{2} \,(2 \,I_1+I_2-I)-\frac{3 \,r}{2} \,(I-I_1-I_2 )=0

• De la première équation, on déduit :

I_1=\frac{2}{5} \,I

; en reportant dans la seconde, on obtient :

I_2=\frac{2}{5} \,I

.
• Ainsi :

U_{AB}=r\:I_1+\frac{3 r}{2} \,(I-I_1-I_2 )+\frac{r}{2} \,(I-I_1 )=r \:I

, d'où la résistance équivalente :

R=r

VI. Ligne souterraine et résistance itérative

1.	• L’assemblage de $r_2$ et $R+r_1$ en parallèle équivaut à : $r'=\frac{(R+r_1 ) \:r_2}{R+r_1+r_2}$ . L’ensemble a donc une résistance de valeur $R$ si et seulement si : $R=r_1+r'$ c’est-à-dire : $(R-r_1 )(R+r_1+r_2 )=(R+r_1 ) \:r_2$ d’où on déduit : $R=\sqrt{(r_1+2 \,r_2 ) \:r_1}$ .

• Dans les conditions précédentes :

U_0=R \:I_0

U_1=R \:I_1

.
• D’après la loi des mailles :

U_0=r_1 \:I_0+r_1 \:I_1+U_1

donc (en divisant par

I_0

) :

R=r_1.(1+α) + R \:α

et par conséquent :

r_1=R \:\frac{1-α}{1+α}≈820 \:\mathrm{Ω}

.
• Compte tenu de la relation initiale :

r_2=\frac{R^2-r_1^{\:2}}{2 \,r_1}=\frac{2 \,α \,R}{1-α^2}≈200 \:\mathrm{Ω}

3.	• D’après ce qui précède, avec $n$ cellules on obtient : $α=\frac{U_1}{U_0} =\frac{U_2}{U_1} =\frac{U_3}{U_2} \:⋯$ et par suite : $\frac{U_n}{U_0} =α^n$ .

4.	• Par comparaison avec ce qui précède, en remplaçant $r_1←\frac{ρ}{2} dx$ et $r_2←\frac{1}{k \:dx}$ (d’où $r_2≫r_1$ puisque $dx$ est infinitésimal), la condition est : $R^2=\frac{ρ}{k} \frac{dx}{dx}$ et donc $R=\sqrt{\frac{ρ}{k}}=410 \:\mathrm{Ω}$ .

• En posant :

α=\frac{U(x+dx)}{U(x)}

, on obtient :

dU=U(x+dx)-U(x)=(α-1) \:U(x)

.
• En inversant l’expression de

r_1

, on obtient par ailleurs :

α=\frac{R-r_1}{R+r_1}

; en remplaçant

r_1←\frac{ρ}{2} dx

on obtient donc :

α≈ 1-\frac{ρ}{R} dx

(en limitant au premier ordre puisque

dx

est infinitésimal).
• Ceci donne :

\frac{dU}{U}=α-1=-\frac{ρ}{R} dx=-\sqrt{ρ \,k} \;dx

et donc :

U(x)=U(0) \:\mathrm{e}^{-\sqrt{ρ \,k} \;x}

. Finalement, on aboutit donc à :

β=\frac{U(L)}{U(0)} =\mathrm{e}^{-\sqrt{ρ \,k} \;L}=0,988

VII. Équivalence triangle-étoile

1.a.

• Compte tenu de la loi des nœuds, il suffit de deux des courant pour décrire le système, par exemple

I_1

I_2

; on en déduit alors :

I_3=-I_1-I_2

1.b.

• D’après la loi des mailles, il suffit de deux des tensions pour décrire le système, par exemple

U_{AB}

U_{BC}

; on en déduit alors :

U_{AC}=U_{AB}+U_{BC}

1.c.

• Pour caractériser le tripôle, il est nécessaire et suffisant de savoir calculer les courants qui circulent quand on impose des tensions données, c'est à dire de connaître deux relations donnant deux courants en fonction de deux tensions (ou réciproquement).

2.a.

• Le montage en triangle peut être décrit par les relations :

I_1=G_3 \:U_{AB}+G_2 \:U_{AC}=(G_2+G_3 ) \:U_{AB}+G_2 \:U_{BC}

;

I_2=-G_3\:U_{AB}+G_1 \:U_{BC}

2.b.

• L'inversion donne :

	$U_{AB}=\frac{G_1 \:I_1-G_2 \:I_2}{G_1 \:G_2+G_2 \:G_3+G_3 \:G_1}$ ; $U_{BC}=\frac{G_3 \:I_1+(G_2+G_3 ) \:I_2}{G_1 \:G_2+G_2 \:G_3+G_3 \:G_1}$ ;
	$U_{AB}=\frac{R_2 \:R_3 \:I_1-R_1 \:R_3 \:I_2}{R_1+R_2+R_3}$ ; $U_{BC}=\frac{R_2 \:R_3 \:I_1+R_1.(R_2+R_3 ) \:I_2}{R_1+R_2+R_3}$ .

2.c.

• Le montage en étoile peut être décrit par les relations :

U_{AB}=R'_1 \:I_1-R'_2 \:I_2

;

U_{BC}=R'_2 \:I_2-R'_3 \:I_3=R'_3 \:I_1+ (R'_2+R'_3 ) \:I_2

2.d.

• Par comparaison :

R'_1=\frac{R_2 \:R_3}{R_1+R_2+R_3}

et de même pour

R'_2

R'_3

par permutation des indices.

VIII. Équivalence triangle-étoile

• Le pont de Wheatstone considéré est électriquement symétrique par rapport au milieu de la branche

DF

car il comporte la même résistance

R

dans les branches

AD

FB

, ainsi que la même résistance

R'

dans les branches

AF

DB

.
• On en déduit que le même courant (noté

I

) circule dans les branches

AD

FB

, puis que le même courant (noté

I'

) circule dans les branches

AF

DB

. La loi des nœuds donne les autres courants.
◊ remarque : la symétrie retourne les courants, mais retourne aussi le générateur puisqu'elle intervertit

A

B

, donc elle redonne bien le même sens du courant quand on remet le générateur dans le sens initial.

2.	• L'équivalence triangle-étoile donne le schéma ci-contre.

3.a.

• La loi de Millmann donne alors :

U_{AP}=\frac{2E.(R'+R)^2}{(R'+2\,R)(3 \,R'+R)}

3.b.

• On en déduit :

I=\frac{U_{AP}}{2 \,R} \;\frac{R'+2 \,R}{R'+R}=\frac{E}{R} \;\frac{R'+R}{3 \,R'+R}

;

I'=U_{AP} \frac{R'+2 \,R}{(R'+R)^2} =\frac{2 \,E}{3 \,R'+R}

◊ remarque : ceci permet de connaitre

I - I'

I + I'

puis toutes les tensions dans le circuit.