ÉLECTROCINÉTIQUE - LOIS LOCALES - corrigé des exercices



I. Résistance d'une prise de terre

1. • Compte tenu de la symétrie sphérique, la densité de courant j→\overset{→}{j} et le champ électrique E→\overset{→}{E} sont radiaux. Le courant est égal au flux de j→\overset{→}{j} à travers une “section” sphérique de rayon rr quelconque entre R1R_1 et R2R_2 :   I=∬j→∙dS→I=∬ \:\overset{→}{j}∙d\overset{→}{S} .  Mais par symétrie :  j→∙dS→=jrdS\overset{→}{j}∙d\overset{→}{S}=j_r \:dS  est constant sur toute la sphère de rayon rr, donc :  I=jrS=4πr2jr(r)I=j_r \:S=4π \:r^2 \:j_r \left(r\right) .
    • Si on suppose que la décharge n'est “pas trop rapide”, afin de pouvoir supposer le régime quasi-stationnaire (sans accumulation locale de charge), alors  jr(r)=I4πr2j_r \left(r\right)=\frac{I}{4π \:r^2} .
◊ remarque : il s'agit ici d'un problème de courant temporaire dû à la décharge d'une accumulation locale de charge électrique ; pour la symétrie étudiée, il n'est en effet pas possible de construire un circuit fermé avec un éventuel générateur qui entretiendrait le courant.
• On en déduit :  Er(r)=ρI4πr2E_r \left(r\right)=\frac{ρ \:I}{4π \:r^2} .  La tension entre les deux sphères de rayons R1R_1 et R2R_2 peut alors s'écrire :  U=∫E→∙d𝓁→=ρI4π∫R1R2drr2=ρI4π(1R1−1R2)U=∫ \:\overset{→}{E}∙d\overset{→}{𝓁}=\frac{ρ I}{4π} \:∫_{R_1}^{R_2}\,\frac{dr}{r^2} =\frac{ρ I}{4π} \left(\frac{1}{R_1} -\frac{1}{R_2} \right) .
• La résistance équivalente est donc :  R=UI=ρ4π(1R1−1R2)R=\frac{U}{I}=\frac{ρ}{4π} \left(\frac{1}{R_1} -\frac{1}{R_2} \right) .


2. • Quand  R2→∞R_2→∞  (la “prise de terre” est dans la “terre”... de la Terre... qui est beaucoup plus grande que R1R_1) alors :  R→ρ4πR1≈800ΩR→\frac{ρ}{4π \:R_1}≈800 \:\mathrm{Ω} .


II. Conduction non ohmique ; diode en charge d'espace

1.a. • La relation fondamentale de la dynamique de translation, exprimée selon l'axe OxOx, donne algébriquement :  ma=F=qEm \:a=F=q \:E,  c'est-à-dire :  mu˙=−qdVdxm \:\dot{u}=-q \:\frac{dV}{dx} .
• Plus précisément, on considère ici  u˙\dot{u}  comme l'accélération d'un électron, c'est-à-dire la dérivée de u(x(t))u\left(x\left(t\right)\right) calculée en “suivant” l'électron dans son déplacement (sinon, en régime permanent, la vitesse u(x)u\left(x\right) des électrons qui passent en un xx donné ne dépend pas du temps). Ainsi :  u˙=du(x)dxdxdt=ududx=12d(u2)dx\dot{u}=\frac{du\left(x\right)}{dx} \frac{dx}{dt}=u \frac{du}{dx}=\frac{1}{2} \frac{d\left(u^2 \right)}{dx} .
• On obtient donc finalement par intégration :  12mu2=−qV\frac{1}{2} m \:u^2=-q \:V  (compte tenu de  u=0u=0  pour  V=0V=0),  ce qui peut se trouver directement par le théorème de l'énergie cinétique (ou de l'énergie mécanique).


1.b. • La densité de courant est définie algébriquement (selon OxOx) par :  j=nquj=n \:q \:u,  si on considère que uu représente la vitesse “moyenne” (débarrassée des fluctuations dues à l'agitation thermique).


1.c. • D'après le théorème de Gauss, appliqué à une “tranche” de surface SS et d'épaisseur dxdx :

 dΦ=[E(x+dx)−E(x)]S=dQintε0=nqε0SdxdΦ=\left[E\left(x+dx\right)-E\left(x\right)\right]\:S=\frac{dQ_{int}}{ε_0} =\frac{n \:q}{ε_0} S \:dx .
• Par suite :  dEdx=nqε0\frac{dE}{dx}=\frac{n \:q}{ε_0}   ;  mais avec  E=−dVdxE=-\frac{dV}{dx}  cela donne :  d2Vdx2=−nqε0\frac{d^2 V}{{dx}^2} =-\frac{n \:q}{ε_0}  .


2. • En régime permanent, le courant  I=|jS|I=\left| \,j \:S \,\right|  (compté ici en valeur absolue) est indépendant de xx ; il en est donc de même pour jj. En éliminant alors  nn  et  uu  dans les trois équations précédentes et en posant pour simplifier  e=|qe|e=\left|q_e \right|  et  A=ISε0m2eA=\frac{I}{S \:ε_0} \sqrt{\frac{m}{2e}}  on obtient :  d2Vdx2=−jε0m2eV=AV\frac{d^2 V}{{dx}^2} =-\frac{j}{ε_0} \sqrt{\frac{m}{2e \:V}}=\frac{A}{\sqrt{V}} .


3. • Pour intégrer l'équation précédente, on peut chercher la solution sous la forme :  V=V0xβV=V_0 \:x^β.  On obtient ainsi :  V0β.(β−1)xβ−2=AV0x−β/2V_0 \:β .\left(β-1\right) \:x^{β-2}=\frac{A}{\sqrt{V_0}} x^{-β/2}  ;  par suite :  β=43β=\frac{4}{3}  et  V0=(9A4)2/3V_0=\left(\frac{9A}{4}\right)^{2/3}.
• En reportant la condition limite  Va=V0Lβ=(3L2)4/3A2/3V_a=V_0 \:L^β=\left(\frac{3L}{2}\right)^{4/3} A^{2/3}  on obtient inversement :  I=KVaαI=K \:V_a^{\:\,α}   avec  α=32α=\frac{3}{2}    et  K=Sε02em(23L)2=3,64.10−8A.V−3/2K=S \:ε_0 \:\sqrt{\frac{2e}{m} } \:\left(\frac{2}{3L}\right)^2=3,64.{10}^{-8} \:\mathrm{A.V^{-3/2}}.


4. • La résistivité ρρ d'un conducteur ohmique de même forme serait telle que  I=GVaI=G \:V_a  avec  G=SρLG=\frac{S}{ρ \:L}  ;  par comparaison :  ρ=SKLVaρ=\frac{S}{K \:L \:\sqrt{V_a}} .  Ceci montre que la diode en charge d'espace se comporte comme un conducteur dont la “résistivité” diminue quand la tension augmente.
◊ remarque :  pour  Va≈1VV_a≈1 \:\mathrm{V},  on obtient  ρ≈34.103Ω.mρ≈34.{10}^3 \:\mathrm{Ω.m}  (conducteur assez médiocre) ; pour  Va≈10kVV_a≈10 \:\mathrm{kV},  on obtient  ρ≈340Ω.mρ≈340 \:\mathrm{Ω.m}  (conducteur relativement bon).


III. Interprétation de l'effet Joule

1.a. • La probabilité de l'événement contraire est le complémentaire à 1 de l'événement considéré ; en particulier, si la probabilité d'un choc (plus précisément : au moins un choc) est  dtτ\frac{dt}{τ} ,  alors la probabilité de l'absence de choc est :  1−dtτ1-\frac{dt}{τ} .


1.b. • La quantité  π(t+dt)π\left(t+dt\right)  est la probabilité pour que d'une part il n'y ait pas eu de choc entre 00 et tt, puis que d'autre part il n'y ait pas de choc entre  tt  et  t+dtt+dt  ;  cela correspond donc au produit des deux probabilités :  π(t+dt)=π(t).(1−dtτ)π\left(t+dt\right)=π\left(t\right) .\left(1-\frac{dt}{τ}\right) .


1.c. • La relation précédente peut s'écrire sous la forme :  dπ(t)=π(t+dt)−π(t)=−π(t)dtτdπ\left(t\right)=π\left(t+dt\right)-π\left(t\right)=-π\left(t\right) \frac{dt}{τ} .
• On peut l'intégrer en :  ln⁡[π(t)]=−tτ+Cste \ln⁡\left[π\left(t\right)\right]=-\frac{t}{τ}+Cste ,  mais à l'instant initial  π(0)=1π\left(0\right)=1,  donc  π(t)=e−t/τπ\left(t\right)=\mathrm{e}^{-t/τ} .


2. • La probabilité pour qu'il n'y ait pas de choc entre 00 et tt, puis qu'il y en ait un entre  t t  et  t+dtt+dt  correspond au produit des deux probabilités :  π(t)dtτπ(t) \:\frac{dt}{τ} .
◊ remarque : on peut vérifier que  ∫0∞π(t)dtτ=∫0∞e−t/τdtτ=1 ∫_0^∞ π\left(t\right) \frac{dt}{τ}=∫_0^∞ \mathrm{e}^{-t/τ} \:\frac{dt}{τ}=1 .
• La valeur moyenne de la durée entre deux chocs est donc :  t1=⟨t⟩=∫0∞tπ(t)dtτ=∫0∞te−t/τdtτt_1=\left⟨t\right⟩=∫_0^∞ t \:π\left(t\right) \:\frac{dt}{τ}=∫_0^∞ t \:\mathrm{e}^{-t/τ} \:\frac{dt}{τ} .  On peut intégrer par parties, ou bien poser  α=1τα=\frac{1}{τ}  et dériver :

 t1=α∫0∞te−αtdt=−α∂∂α(∫0∞e−αtdt)=−α∂∂α(1α)=1α=τt_1=α\: ∫_0^∞ t \:\mathrm{e}^{-αt} \:dt=-α \:\frac{∂}{∂α} \left(∫_0^∞ \mathrm{e}^{-αt} \:dt\right)=-α \:\frac{∂}{∂α} \left(\frac{1}{α}\right)=\frac{1}{α}=τ .


3.a. • Le principe fondamental de la dynamique peut s'écrire :  ma→=−eE→m \:\overset{→}{a}=-e \:\overset{→}{E} .
• On en déduit par intégration :  v→=v0→−emE→t\overset{→}{v}=\overset{→}{v_0}-\frac{e}{m} \overset{→}{E} \:t .
• Ceci donne en moyenne :  ⟨v→⟩=⟨v0→⟩−emE→⟨t⟩=−emE→τ\left⟨\overset{→}{v}\right⟩=\left⟨\overset{→}{v_0}\right⟩-\frac{e}{m} \overset{→}{E} \:\left⟨t\right⟩=-\frac{e}{m} \overset{→}{E} \: τ .


3.b. • On obtient : j→=ρ⟨v→⟩\overset{→}{j}=ρ \:\left⟨\overset{→}{v}\right⟩  avec  ρ=−neρ=-n \:e  (charge volumique des électrons), c'est-à-dire :  j→=ne2τmE→\overset{→}{j}=\frac{n \:e^2 \:τ}{m}\: \overset{→}{E} .


3.c. • La conductivité γγ est telle que :  j→=γE→\overset{→}{j}=γ \:\overset{→}{E}  ;  par conséquent :  γ=ne2τmγ=\frac{n \:e^2 \:τ}{m} .


4.a. • L'accroissement d'énergie cinétique entre deux chocs peut s'écrire :

 ∆ℰc=12m.(v2−v02)=12m.(v→−v0→+2v0→).(v→−v0→)=(eEt)22m−etv0→∙E→∆ℰ_c=\frac{1}{2} m .\left(v^2-v_0^{\:2} \right)=\frac{1}{2} m .\left(\overset{→}{v}-\overset{→}{v_0}+2 \overset{→}{v_0} \right) .\left(\overset{→}{v}-\overset{→}{v_0} \right)=\frac{\left(e \:E \:t\right)^2}{2m} -e \:t \:\overset{→}{v_0}∙\overset{→}{E} .
• Le caractère aléatoire de v0→\overset{→}{v_0} impose  ⟨v0→∙E→⟩=⟨v0→⟩∙E→=0 \left⟨\overset{→}{v_0}∙\overset{→}{E} \right⟩=\left⟨\overset{→}{v_0} \right⟩∙\overset{→}{E}=0  ;  on peut de même raisonnablement supposer (bien que la démonstration statistique ne soit pas si simple) que  tv0→t \:\overset{→}{v_0}  est aléatoire, donnant ainsi  ⟨tv0→∙E→⟩=0 \left⟨t \:\overset{→}{v_0}∙\overset{→}{E} \right⟩=0.
• Ceci donne en moyenne :  ⟨∆ℰc⟩=(eE)22m⟨t2⟩\left⟨∆ℰ_c \right⟩=\frac{\left(e \:E\right)^2}{2m} \left⟨t^2 \right⟩.
◊ remarque : on obtient  ⟨∆ℰc⟩=⟨12m.(v→−v0→)2⟩\left⟨∆ℰ_c \right⟩=\left⟨\frac{1}{2} m .\left(\overset{→}{v}-\overset{→}{v_0} \right)^2\right⟩  mais ce n'est pas évident a priori.
• La moyenne correspond à :

 ⟨t2⟩=∫0∞t2e−t/τdtτ=α∫0∞t2e−αtdt=−α∂2∂α2(∫0∞e−αtdt)=α∂2∂α2(1α)=2α2=2τ2\left⟨t^2 \right⟩=∫_0^∞ t^2 \:\mathrm{e}^{-t/τ} \:\frac{dt}{τ}=α\: ∫_0^∞ t^2 \:\mathrm{e}^{-αt} \:dt=-α \:\frac{∂^2}{{∂α}^2} \left(∫_0^∞ \:\mathrm{e}^{-αt} \:dt\right)=α \:\frac{∂^2}{{∂α}^2} \left(\frac{1}{α}\right)=\frac{2}{α^2} =2 \:τ^2 .
• On obtient donc finalement :  ⟨∆ℰc⟩=(eEτ)2m\left⟨∆ℰ_c \right⟩=\frac{\left(e \:E \:τ\right)^2}{m} .


4.b. • La puissance reçue par un électron est :  𝒫1=F→∙v→=−eE→∙(v0→−emE→t)𝒫_1=\overset{→}{F}∙\overset{→}{v}=-e \:\overset{→}{E}∙\left(\overset{→}{v_0}-\frac{e}{m} \overset{→}{E} \:t\right) ,  donc en moyenne :  ⟨𝒫1⟩=(eE)2mτ\left⟨𝒫_1 \right⟩=\frac{\left(e \:E\right)^2}{m} \,τ .
◊ remarque : on obtient :  ⟨𝒫1⟩=⟨∆ℰc⟩τ\left⟨𝒫_1\right⟩=\frac{\left⟨∆ℰ_c\right⟩}{τ}  mais il n'est pas évident a priori que la moyenne du quotient ∆ℰct\frac{∆ℰ_c}{t} est égale au quotient des moyennes.
• La densité volumique de puissance dissipée est par conséquent :  p=n⟨𝒫1⟩=γE2p=n \:\left⟨𝒫_1\right⟩=γ \:E^2.


5. • La densité de courant est :  j=IS=2.106A.m−2j=\frac{I}{S}= 2.{10}^6 \:\mathrm{A.m^{-2}}  ;  la densité volumique des électrons est :  n=𝒩AμM=8,4.1028m−3n=𝒩_A \:\frac{μ}{M}=8,4.{10}^{28} \:\mathrm{m^{-3}}  ;  la durée moyenne entre deux chocs est donc :  τ=mγne2=2,5.10−14sτ=\frac{m \:γ}{n \:e^2}=2,5.{10}^{-14} \:\mathrm{s} .
• La vitesse moyenne du mouvement d'ensemble est donc :  ‖⟨v→⟩‖=jne=1,5.10−4m.s−1\left‖\left⟨\overset{→}{v} \right⟩\right‖=\frac{j}{n \:e}=1,5.{10}^{-4} \:\mathrm{m.s^{-1}}  alors que la vitesse moyenne du mouvement aléatoire est :  ⟨v0⟩=⟨𝓁⟩τ=1,8.106m.s−1\left⟨v_0 \right⟩=\frac{\left⟨𝓁\right⟩}{τ}=1,8.{10}^6 \:\mathrm{m.s^{-1}} .
◊ remarque : la masse des électrons est de l'ordre de 10001000 fois plus petite que celle des atomes et des ions, d'où une vitesse moyenne d'autant plus grande (pour une même énergie cinétique moyenne d'agitation thermique).