EC.VII - RÉGIME SINUSOÏDAL

EC.VII - RÉGIME SINUSOÏDAL - ADAPTATIONS

1. Puissance en régime sinusoïdal permanent

1.1. Puissance moyenne et valeurs efficaces

• La puissance instantanée reçue par un dipôle est :

p(t)=u_{AB} (t) \:i(t)

(convention “récepteur”).

◊ remarque : la notation complexe est ici moins pratique car elle s'applique surtout aux opérations linéaires :

\mathrm{Re}(\underline{u} \:\underline{i})≠\mathrm{Re}(\underline{u}) \:\mathrm{Re}(\underline{i})

On obtient ainsi en régime sinusoïdal :

p(t)=U_m \: \cos(ω \,t+ϕ) \; I_m \: \cos(ω \,t)

=\frac{1}{2}\, U_m \: I_m \: [\cos(ϕ)+\cos(2 \,ω \,t+ϕ)]

Ceci donne une variation sinusoïdale autour de la puissance moyenne :

P=〈 p 〉 =\frac{1}{2} \, U_m \: I_m \: \cos(ϕ)

• Pour un dipôle linéaire, sans f.e.m., la relation

U_m=Z \:I_m

correspond à :

P=\frac{1}{2} \, Z \:I_m^{\:2} \: \cos(ϕ)=\frac{1}{2} \,R \:I_m^{\:2}

Ainsi, en moyenne, les inductances et capacités (réactances) restituent à certains moments autant d'énergie qu'elles consomment à d'autres moments.

• Pour retrouver une expression analogue à celle utilisée en régime continu, on définit les “valeurs efficaces” :

\displaystyle I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}

\displaystyle U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}

.

Ainsi on obtient :

P=U\: I \: \cos(ϕ)

, où le coefficient “

\cos(ϕ)

” est appelé “facteur de puissance” ; pour un dipôle linéaire :

P=Z \:I^2 \: \cos(ϕ)=R \:I^2

◊ remarque :

I

U

ne sont pas des valeurs “continues” mais des moyennes quadratiques (on note

I_{eff}

U_{eff}

s'il y a un risque d'ambiguïté) :

\displaystyle I=\sqrt{\frac{1}{T} \, ∫_0^T [i(t)]^2 \: dt}

;

\displaystyle U=\sqrt{\frac{1}{T} \, ∫_0^T [u(t)]^2 \: dt}

;

ainsi le facteur

\sqrt{2}

provient de

〈 \sin^2(ω \,t) 〉=〈 \cos^2(ω \,t) 〉=\frac{1}{2}

pour les sinusoïdes ; ce coefficient dépend de la forme du signal et il faut par exemple utiliser

\sqrt{3}

pour des signaux triangulaires.

◊ remarque : les réseaux de distribution d'énergie électrique imposent à leurs clients la condition

\cos(ϕ)>\text{0,9}

afin de faire circuler, pour

P

U

fixés, un courant

\displaystyle I=\frac{P}{U \:\cos(ϕ)}

le plus faible possible : ceci limite les pertes par effet Joule dans les lignes de transport.

◊ remarque : on peut utiliser la grandeur complexe :

\underline{P}=\underline{U} \: \underline{I}^{*}=U \:I \:\mathrm{e}^{\mathrm{j}ϕ}

, mais cette quantité (“produit scalaire” des représentants complexes

\underline{U}

\underline{I}

) ne respecte pas la convention usuelle :

◊	ce n'est pas un représentant de $P$ , puisque $P≠\left\|\, \underline{P} \,\right\|$ ;
◊	ce n'est pas un représentant de $p(t)$ , puisque $\mathrm{Re}(\underline{P})=P$ ne représente pas les variations de $p(t)$ .

1.2. Adaptation d’impédance

• Le facteur de puissance influence le choix des dipôles intervenant dans les circuits si on veut obtenir une "bonne adaptation".

Pour un générateur de f.e.m. efficace

\underline{E}=E

(référence des phases) et d'impédance

\underline{Z}

, branché sur un “circuit utile” d'impédance

\underline{Z}'

, comment ajuster

\underline{Z}'

pour que la puissance reçue par

\underline{Z}'

soit maximum ?

L'impédance du circuit total en série est

\underline{Z}+\underline{Z}'

et le courant est :

\displaystyle \underline{I}=\frac{E}{\underline{Z}+\underline{Z}'}

. La tension aux bornes du circuit utile est :

\underline{U}=\underline{Z}' \:\underline{I}

et la puissance moyenne reçue par le circuit utile est :

P=R' \:I^2

avec

R'=\mathrm{Re}(\underline{Z}')

.

Pour ajuster

\underline{Z}'

, on doit ajuster deux paramètres réels indépendants ; on peut par exemple poser :

\underline{Z}=R+\mathrm{j} \,S

\underline{Z}'=R'+\mathrm{j} \,S'

puis ajuster

R'

S'

.

Pour

\underline{Z}

R'

fixés, la puissance

\displaystyle P=R' \:I^2=\frac{E^2 \: R'}{\left(R+R'\right)^2+\left(S+S'\right)^2}

est maximum pour

S'=-S

. Dans ces conditions (pour

S'=-S

fixé),

\displaystyle P=\frac{E^2 \: R'}{\left(R+R'\right)^2}

est maximum pour

R'=R

(et

\displaystyle P_{max}=\frac{E^2}{4 \,R}

).

◊ remarque : pour un générateur donné, l'adaptation n'est que médiocre : l'effet Joule dans le générateur est aussi grand que la puissance utile ; si on a le choix du générateur, il faut choisir

R

plus faible et

E

plus grande.

◊ remarque : inversement, il est utile de transporter l'énergie électrique avec de plus faibles courants (

I'≪I

) dans des lignes à plus haute tension (

U'≫U

) ; pour une même puissance

P≈U \:I≈U' \:I'

consommée par l'utilisateur, la puissance

P'=r \:{I'}^2

perdue dans les lignes est d'autant plus faible (mais cela se limite au transport car les hautes tensions sont dangereuses, donc il faut utiliser des transformateurs en régime sinusoïdal).

📖 exercice n° I.

2. Influence de la fréquence ; circuit “RLC” série

2.1. Résonance en courant (étude du résistor)

• On considère un circuit “RLC” série soumis à une f.e.m.

e(t)

sinusoïdale :

\underline{e}(t)=\underline{E}_m \: \mathrm{e}^{\mathrm{j}ωt}

, où

\underline{E}_m=E_m \: \mathrm{e}^{\mathrm{j}ϕ}

Après amortissement d'un régime transitoire, le courant est :

\underline{i}(t)=\underline{I}_m \: \mathrm{e}^{\mathrm{j}ωt}

, où

\underline{I}_m=I_m \: \mathrm{e}^{\mathrm{j}ψ}

On convient ici de choisir l'origine des temps telle que

ψ=0

(référence des phases), donc

\underline{I}_m=I_m

réel.

• On en déduit :

\displaystyle \underline{i}(t)=\frac{\underline{e}(t)}{\underline{Z}}

avec

\displaystyle \underline{Z}=R+\mathrm{j} \:\left(L \:ω-\frac{1}{C \:ω}\right)

; donc :

\displaystyle I_m=\frac{E_m}{Z}

avec

\displaystyle Z=\left|\,Z\,\right|=\sqrt{R^2+\left(L \,ω-\frac{1}{C \,ω}\right)^2}

\displaystyle ϕ=\arg(\underline{Z})=\arctan⁡\left(\frac{L \,ω-\frac{1}{C \,ω}}{R}\right)

.

• Qualitativement, on constate qu'à basse fréquence :

\displaystyle Z≈\frac{1}{C \,ω}≫R

; le condensateur gène le passage du courant continu : c'est le régime capacitif.

À haute fréquence :

Z≈L \,ω≫R

; la bobine gène les variations rapides du courant à cause des variations de flux magnétique : c'est le régime inductif.

Aux fréquences moyennes :

Z≈R

est minimum et

\displaystyle I_m=\frac{E_m}{Z}

est maximum : c'est le régime résistif.

On observe ainsi une “résonance” pour

\displaystyle ω=ω_0=\frac{1}{\sqrt{L \,C}}

(pulsation propre) et cette résonance est d'autant plus amortie que

R

est grand :

\displaystyle I_{m_M}=\frac{E_m}{R}

• De même pour la phase, on observe un “saut de phase” pour

ω=ω_0

(avec

ϕ=0

à la résonance) et ce saut est d'autant plus amorti que

R

est grand.

À basse fréquence :

\displaystyle \tan⁡(ϕ)≈-\frac{1}{R \,C \,ω}<0

;

i

est en avance sur

e

car il faut le temps de charger le condensateur.

À haute fréquence :

\displaystyle \tan⁡(ϕ)≈\frac{L \,ω}{R}>0

;

e

est en avance sur

i

car la bobine s'oppose aux variations du courant.

Enfin à la résonance :

\tan⁡(ϕ)≈0

;

e

est en phase avec

i

(régime résistif).

• Les variations de

\underline{Z}

et les régimes qui en découlent peuvent être représentés par des “diagrammes de Fresnel”, qui décrivent

\underline{Z}

dans le plan complexe (on peut également tracer un diagramme de Fresnel pour les tensions, cela revient à tout multiplier par

I_m

• On peut caractériser l'acuité de la résonance par la “bande passante”, définie comme l'intervalle de fréquence où :

\displaystyle \left|L \,ω-\frac{1}{C \,ω}\right|≤R

(régime résistif). Ceci correspond aux valeurs de

ω

telles que :

\displaystyle \frac{I_{m_M}}{\sqrt{2}}≤I_m (ω)≤I_{m_M}

, mais aussi telles que :

-\frac{π}{4}≤ϕ≤\frac{π}{4}

.
La résolution de l'inéquation conduit à la bande passante :

\displaystyle ∆ω=\frac{R}{L}

, d'autant plus large que l'amortissement est grand.

◊ remarque : on repère aussi l'acuité de la résonance par le “facteur de qualité”, ou “facteur de surtension” :

\displaystyle Q=\frac{ω_0}{∆ω}=\frac{L \,ω_0}{R}=\frac{1}{R \,C \,ω_0}

.

◊ remarque : on a supposé que

R

L

C

sont des constantes (indépendantes de la fréquence) ; le principal défaut de ce modèle trop simple est que le champ magnétique variable dans une bobine réelle fait nettement varier

R(ω)

(“effet de peau” et courants induits dans le noyau s'il y en a un).

2.2. Résonance en charge (étude du condensateur)

• On peut également étudier la résonance en tension

u=u_C

aux bornes du condensateur (dont la charge est l'analogue de l'amplitude de mouvement pour les systèmes mécaniques).

Les différences essentielles pour les variations de

U_m

sont :

◊	que la fréquence de résonance dépend de $R$ : elle est d'autant inférieure à la fréquence propre que la résistance est grande ; elle tend vers zéro pour une valeur “critique” $\displaystyle R=R_c=\sqrt{\frac{2 \,L}{C}}$ (différente de celle des régimes transitoires) ; il n'y a pas de maximum $U_{m_M}$ pour $R≥R_c$ ;
◊	que $U_m$ ne tend pas vers zéro mais vers $E_m$ quand la fréquence tend vers zéro ; le facteur de surtension (d'où son nom) est alors égal à $\displaystyle Q=\frac{U_{m_M}}{E_m}$ .

La différence essentielle pour les variations de la phase

ϕ'

u_C (t)

par rapport à

e(t)

est que cette phase varie de

0

-π

(alors que la phase

ϕ

i(t)

par rapport à

e(t)

varie de

\frac{π}{2}

-\frac{π}{2}

).

📖 exercice n° II.