RÉGIME SINUSOÏDAL - QUADRIPÔLES - exercices



A. EXERCICES DE BASE

I. Impédance itérative

1.     a) Dans le montage ci-dessous, calculer RR en fonction de r1r_1 et r2r_2 pour que le courant débité par le générateur soit le même que s'il était branché uniquement sur la résistance RR (résistance itérative).

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im2.jpg

        b) La résistance RR étant supposée choisie comme indiqué dans la question précédente, quel est le rapport d'affaiblissement en puissance, c'est-à-dire le rapport entre  P1=U1I1P_1=U_1\: I_1  et  P0=U0I0P_0=U_0 \: I_0 ?

2.     • On considère une ligne constituée de l'assemblage d'un nombre indéterminé d'éléments analogues à celui de la question précédente, mais alimentée en tension sinusoïdale :  u0(t)=U02cos(ωt)u_0 (t)=U_0 \: \sqrt{2} \; \cos(ω \,t)  avec la pulsation  ω=1000rad.s−1ω=1000\: \mathrm{rad.s^{-1}}  et la valeur efficace  U0=100VU_0=100 \:\mathrm{V} .

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im3.jpg

        • L'impédance Z_1\underline{Z}_1 correspond ici à un condensateur de capacité  C=10μFC=10 \:\mathrm{μF}  et l'impédance Z_2\underline{Z}_2 correspond à une bobine d'inductance  L=25mHL=25 \:\mathrm{mH}  et de résistance  r=25Ωr=25 \:\mathrm{Ω} .

        a) Quelle impédance de charge Z_\underline{Z} faut-il brancher à l'extrémité de la ligne pour que l'impédance d'entrée soit indépendante de la longueur de la ligne (impédance itérative) ?
        ◊ remarque : compte tenu des données, il existe une relation entre LL , CC et ωω qui permet de simplifier ; on trouve alors deux valeurs dont une seule est acceptable.

        b) Si on veut réaliser cette impédance à l'aide d'une capacité C0C_0 et d'une résistance r0r_0 en série, quelles valeurs de C0C_0 et r0r_0 faut-il choisir ?


II. Adaptation d'impédances

        • On dispose d'une source de tension sinusoïdale, de pulsation ωω ,  de f.e.m. efficace EE et de résistance RR ; on désire transférer le maximum de puissance dans une “charge” de résistance R′R'.

1.     • Dans les cas où  R′>RR'>R ,  on réalise le montage ci-après ; déterminer les valeurs de LL et CC qui rendent maximum la puissance transférée.

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im4.jpg

2.     a) Dans les cas où  R′<RR'<R ,  on réalise le montage ci-après ; déterminer les valeurs de LL et CC qui rendent maximum la puissance transférée.

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im5.jpg

        b) Quel est l'intérêt de n'utiliser que des éléments “réactifs” pour cette adaptation d'impédances ?


III. Fonction de transfert

1.     • Déterminer la fonction de transfert  H_(ω)=u_su_e\displaystyle \underline{H}(ω)=\frac{\underline{u}_s}{\underline{u}_e}   pour le circuit suivant (avec la sortie “à vide”, c'est-à-dire  is=0i_s=0 ).

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im6.jpg

2.     • Exprimer  H_\underline{H}  en fonction de ωω ,  ω0=1rC\displaystyle ω_0=\frac{1}{r \,C}  et  α=rr+R\displaystyle α=\frac{r}{r+R} .

3.     • Tracer les diagrammes de Bode de  H(ω)=|H_(ω)|H(ω)=\left|\underline{H}(ω)\right|  et  ϕ(ω)=arg(H_(ω))ϕ(ω)=\arg(\underline{H}(ω))  en fonction de  x=ωω0\displaystyle x=\frac{ω}{ω_0}   ;  déterminer l'extremum  ϕmϕ_m  de  ϕ(ω)ϕ(ω) ,  ainsi que la valeur ωmω_m correspondante.


IV. Combinaison de fonctions de transfert

1.     • Déterminer la fonction de transfert  H_(ω)=u_su_e\displaystyle \underline{H}(ω)=\frac{\underline{u}_s}{\underline{u}_e}   pour le circuit suivant (avec la sortie “à vide”, c'est-à-dire  is=0i_s=0 ).

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im6.jpg

2.     • Montrer que H_\underline{H} peut s'exprimer comme le quotient  H_=H_1H_2\displaystyle \underline{H}=\frac{\underline{H}_1}{\underline{H}_2}  de deux expressions simples, en fonction de ωω ,  ω1=1rC\displaystyle ω_1=\frac{1}{r \,C}  et  ω2=1(r+R)C\displaystyle ω_2=\frac{1}{(r+R) \,C} .

3.     a) Tracer les diagrammes de Bode simplifiés de  Hk(ω)=|H_k(ω)|H_k (ω)=\left|\underline{H}_k (ω)\right|  représentant uniquement les comportements asymptotiques en fonction de  xk=ωωk\displaystyle x_k=\frac{ω}{ω_k}  (avec HkH_k et xkx_k en échelles logarithmiques).
        b) Tracer les diagrammes de Bode simplifiés de  ϕk(ω)=arg(H_k(ω))ϕ_k (ω)=\arg(\underline{H}_k (ω))  représentant uniquement les comportements asymptotiques en fonction de  xk=ωωk\displaystyle x_k=\frac{ω}{ω_k}  (avec xkx_k en échelle logarithmique), ainsi que le comportement pour  ω≈ωkω≈ω_k .

4.     • On considère le cas où  α=rr+R=ω2ω1=0,3\displaystyle α=\frac{r}{r+R}=\frac{ω_2}{ω_1} =\text{0,3} .
        a) Montrer que le diagramme de Bode de  H(ω)=|H_(ω)|H(ω)=\left|\underline{H}(ω)\right|  se déduit simplement des diagrammes correspondants pour HkH_k . Tracer ce diagramme de Bode simplifié, par exemple en fonction de  x=x1x=x_1 .
        b) Montrer que le diagramme de Bode de  ϕ(ω)=arg(H_(ω))ϕ(ω)=\arg(\underline{H}(ω))  se déduit simplement des diagrammes correspondants pour ϕkϕ_k . Tracer ce diagramme de Bode simplifié, par exemple en fonction de  x=x1x=x_1 .
        c) Déterminer l'extremum  ϕmϕ_m  de  ϕ(ω)ϕ(ω) ,  ainsi que la valeur ωmω_m correspondante.


V. Circuit “RLC” et fonction de transfert

1.     • Déterminer la fonction de transfert  H_(ω)=u_su_e\displaystyle \underline{H}(ω)=\frac{\underline{u}_s}{\underline{u}_e}  pour un circuit “RLC”, avec sortie aux bornes de la résistance (sortie “à vide”, c'est-à-dire  is=0i_s=0 ).

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im7.jpg


2.     • Exprimer H_\underline{H} en fonction de  x=ωω0\displaystyle x=\frac{ω}{ω_0}  (avec ω0ω_0 pulsation à la résonance) et du facteur de qualité 𝒬𝒬 . Tracer les diagrammes de Bode de  H(ω)=|H_(ω)|H(ω)=\left|\underline{H}(ω)\right|  et  ϕ(ω)=arg(H_(ω))ϕ(ω)=\arg(\underline{H}(ω)) .

3.     • Exprimer le gain GdBG_{\mathrm{dB}} pour  x≪1x≪1  et  x≫1x≫1 .  Déterminer, en fonction de 𝒬𝒬 et ω0ω_0 , la bande passante à  −3dB-3 \:\mathrm{dB}  en puissance.


VI. Fonctions de transfert

        • On considère un quadripôle branché en entrée sur un générateur (GBF) et en sortie sur une “charge” d'impédance (résistance) RcR_c .

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im1.jpg

1.     • Déterminer le gain (complexe) en tension  H_u=u_su_e\displaystyle \underline{H}_u=\frac{\underline{u}_s}{\underline{u}_e} .

2.     • Déterminer le gain (complexe) en courant  H_i=i_si_e\displaystyle \underline{H}_i=\frac{\underline{i}_s}{\underline{i}_e} .

3.     • Déterminer le gain (réel) en puissance moyenne  HP=PsPe\displaystyle H_P=\frac{P_s}{P_e} .


VII. Filtre et fonction de transfert

        • On considère un quadripôle “en T” branché en sortie sur une “charge” d'impédance Z_c\underline{Z}_c .

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im8.jpg

1.     • Exprimer l'impédance d'entrée Z_e\underline{Z}_e du quadripôle en fonction de Z_c\underline{Z}_c , LL , CC et ωω .

2.     a) Déterminer la valeur particulière Z_it\underline{Z}_{it} (“itérative”) de l'impédance Z_c\underline{Z}_c telle que :  Z_e(Z_c,ω)=Z_c\underline{Z}_e (\underline{Z}_c \,,ω)=\underline{Z}_c .
        b) Montrer qu'il existe une pulsation ω1ω_1 telle que, pour  ω<ω1ω<ω_1 ,  Z_it\underline{Z}_{it} soit purement résistive et telle que, pour  ω>ω1ω>ω_1 ,  Z_it\underline{Z}_{it} soit purement réactive.

3.     • Exprimer la fonction de transfert  H_(ω)=u_su_e\displaystyle \underline{H}(ω)=\frac{\underline{u}_s}{\underline{u}_e}   pour Z_c\underline{Z}_c fixée.

4.     • Pour chaque pulsation ωω ,  on ajuste  Z_c=Z_it(ω)\underline{Z}_c=\underline{Z}_{it} (ω) .  Déterminer la fonction de transfert dans ces conditions ; expliciter le facteur d'amplification  H(ω)=|H_(ω)|H(ω)=\left|\underline{H}(ω)\right|  et le déphasage  ϕ(ω)=arg(H_(ω))ϕ(ω)=\arg(\underline{H}(ω))  dans les cas  ω<ω1ω<ω_1  et  ω>ω1ω>ω_1 .


B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT

VIII. Diode tunnel ; auto-oscillation et amplification

1.     • On place une “diode tunnel” dans le circuit ci-contre.
 sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im9.jpg

        • La caractéristique de la “diode tunnel”, dans le sens “passant”, a l'allure suivante.

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im10.jpg

        • Comment trouver graphiquement les conditions de fonctionnement (U0,I0)(U_0 \,,I_0) du montage ? Déterminer numériquement ces conditions pour  R=145ΩR=145 \:\mathrm{Ω}  et  E=E0=272,5mVE=E_0=\text{272,5} \:\mathrm{mV} .

2.     • En fait, EE ne reste pas rigoureusement égale à E0E_0 mais subit des petites variations autour d'une valeur moyenne E0E_0 :  E(t)=E0+e(t)E(t)=E_0+e(t)  avec  |e|≪E0|\,e|≪E_0 .  Dans ces conditions, le courant dans le circuit subit des petites variations :  I(t)=I0+i(t)I(t)=I_0+i(t)  avec  |i|≪I0|\,i|≪I_0 .
        • L'état électrocinétique du circuit peut alors être décrit comme la superposition d'un régime continu correspondant à E0E_0 (régime de “polarisation”) et d'un régime variable correspondant à e(t)e(t). Montrer, d’après la caractéristique, que pour le régime variable la diode tunnel est équivalente à une résistance négative −ρ-ρ . Quelle est la valeur numérique de ρρ (on supposera dans toute la suite que  ρ>0ρ>0 ) ?

3.     • Représenter un schéma équivalent au circuit pour le régime variable. On note uu la tension uBDu_{BD} aux bornes de la résistance RR ; calculer le rapport  𝒜=ue\displaystyle 𝒜=\frac{u}{e}  en fonction de RR et ρρ . La diode tunnel et la résistance RR étant données, de quelle manière peut-on modifier 𝒜𝒜 ?

4.     • En réalité, la diode tunnel en régime variable n'est pas simplement équivalente à une résistance négative : il faut en plus tenir compte d'une inductance et d'une capacité, selon un schéma équivalent plus correct suivant.

sinQuadr_ex_Im/sinQuadr_ex_Im11.jpg

        • En supposant que les variations décrites par e(t)e(t) sont sinusoïdales, de pulsation ωω , calculer le rapport  𝒜_=u_e_\displaystyle \underline{𝒜}=\frac{\underline{u}}{\underline{e}} .  Que représente l'argument de 𝒜_\underline{𝒜} ?

5.     • Quelles sont, en fonction de ρρ , LL et CC , les valeurs RcR_c et ωcω_c qui rendent  𝒜(ω)=|𝒜_(ω)|𝒜(ω)=\left|\underline{𝒜} (ω)\right|  infini ? À quoi correspond physiquement ce cas ?

6.     a) Calculer 𝒜2𝒜^2 et en donner une expression simplifiée dans le cas où  ρCω<0,1ρ \,Cω<\text{0,1} .  Vérifier qu'il y a dans ce cas amplification. Calculer numériquement la valeur maximale du coefficient d'amplification 𝒜max𝒜_{max} .
        b) On définit la bande passante comme l'intervalle de fréquence tel que  𝒜≥𝒜max2\displaystyle 𝒜≥\frac{𝒜_{max}}{\sqrt{2}}  ;  calculer la largeur de la bande passante. Peut-on utiliser l'expression approchée de 𝒜2𝒜^2 dans cette bande de fréquence ? Tracer la courbe de variation de  𝒜(ω)=|𝒜_(ω)|𝒜(ω)=\left|\underline{𝒜} (ω)\right| .
        Données :  L=6,0.10−10HL=\text{6,0}.{10}^{-10} \: \mathrm{H}  ;  C=5,0pFC=\text{5,0} \:\mathrm{pF} .