RÉGIMES TRANSITOIRES - CIRCUITS RL ET RC - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE

I. Établissement et rupture d'un courant

1.

• Lorsqu’on ferme l’interrupteur, il apparaît des courants $i_1$ et $i_2$ tels que :  $\displaystyle E=R \:i_1=r \:i_2+L \:\frac{di_2}{dt}$ . • La première relation donne  $\displaystyle i_1=\frac{E}{R}$ .  La seconde peut s’écrire  $\displaystyle \frac{di_2}{dt}+\frac{r}{L}\:i_2=\frac{E}{L}$  ;  les solutions sont de la forme :  $\displaystyle i_2=\frac{E}{r}+A \:\mathrm{e}^{-t/τ_2 }$ avec  $\displaystyle τ_2=\frac{L}{r}$  ;  les conditions initiales (courant raisonnablement nul) imposent :  $\displaystyle i_2=\frac{E}{r} \:(1-\mathrm{e}^{-t/τ_2 } )$ .

2.

• Après un temps assez long  ($t≫τ_2$),  on peut supposer que la limite est atteinte :  $\displaystyle i_2≈\frac{E}{r}$  ;  on ouvre alors l’interrupteur : • Les courants $i_1$ et $i_2$ sont alors tels que :  $i_1=-i_2$  et  $\displaystyle u_{AB}=-R \:i_2=r \:i_2+L \:\frac{di_2}{dt}$ .  Cette équation peut s’écrire  $\displaystyle \frac{di_2}{dt}+\frac{r+R}{L} \:i_2=0$  ;  les solutions sont de la forme :  $i_2=A \:\mathrm{e}^{-t/τ_1 }$  avec  $\displaystyle τ_1=\frac{L}{r+R}$  ;  les conditions initiales imposent :  $\displaystyle i_2=\frac{E}{r} \:\mathrm{e}^{-t/τ_1 }$ . • On en déduit la tension :  $\displaystyle u_{AB}=-R \:i_2=-\frac{R}{r} \:E \:\mathrm{e}^{-t/τ_1 }$ .  Cette tension est d’autant plus rapidement décroissante que la résistance $R$ est grande, dans la mesure où  $\displaystyle τ_1=\frac{L}{r+R}$  est d’autant plus petit ; mais la valeur initiale :  $\displaystyle u_{AB} (0)=-\frac{R}{r} \:E$  peut être alors très supérieure à $E$ si  $R≫r$ .

II. Associations d'inductances ou de capacités

III. Réponse à un échelon de courant

1.a.	• La loi des nœuds impose :  $i_c=i+i'$ .
1.b.	• La loi des mailles impose :  $\displaystyle R \:i'=L \:\frac{di}{dt}$ . • La combinaison des équations précédentes donne :  $\displaystyle \frac{di}{dt}+\frac{R}{L} \:i=\frac{R}{L} \:i_c$ . • Puisque l'énoncé n'indique aucune manipulation ayant pu faire apparaître un courant dans le circuit pour  $t<0$,  le courant y est normalement nul (il n'y a que des dipôles récepteurs).
1.c.	• Pour  $t<0$,  la solution de l'équation différentielle est de la forme :  $i=A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  avec une constante de temps :  $\displaystyle τ=\frac{L}{R}$ .  La situation étant invariante pour tout  $t<0$,  la seule solution possible est :  $i=0$ .  On en déduit par conséquent :  $\displaystyle i'=\frac{L}{R} \:\frac{dq}{dt}=0$ . • Pour  $t≥0$,  la solution de l'équation différentielle est de la forme :  $i=I+A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  et les conditions initiales imposent :  $i=I.(1-\mathrm{e}^{-t/τ} )$ .  On en déduit alors :  $\displaystyle i'=\frac{L}{R} \:\frac{dq}{dt}=I \:\mathrm{e}^{-t/τ}$ .
1.d.	• L'allure des variations du courant i est la suivante : • L'allure des variations du courant  $\displaystyle i'=\frac{L}{R} \:\frac{dq}{dt}$  est la suivante :

2.a.	• La loi des nœuds impose :  $i_c=i+i'$ . • La loi des mailles impose :  $\displaystyle R \:i'=\frac{q}{C}$ . • La charge du condensateur impose :   $\displaystyle i=\frac{dq}{dt}$ .
2.b.	• La combinaison des équations précédentes donne :  $\displaystyle\frac{dq}{dt}+\frac{q}{R \:C}=i_c$ .  Pour  $t<0$,  cela correspond à :  $\displaystyle\frac{dq}{dt}+\frac{q}{R \:C}=0$  ;  pour  $t ≥ 0$,  cela correspond à :  $\displaystyle\frac{dq}{dt}+\frac{q}{R \:C}=I$ . • Puisque l'énoncé n'indique aucune manipulation ayant pu faire apparaître une charge du condensateur pour  $t<0$,  la charge y est normalement nulle (il n'y a que des dipôles récepteurs).
2.c.	• Pour  $t<0$,  la solution de l'équation différentielle est de la forme :  $q=A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  avec une constante de temps :  $τ=R\: C$ .  La situation étant invariante pour tout  $t<0$,  la seule solution possible est :  $q=0$ .  On en déduit par conséquent :  $\displaystyle i'=\frac{q}{τ}=0$  et  $\displaystyle i=\frac{dq}{dt}=0$ . • Pour  $t≥0$,  la solution de l'équation différentielle est de la forme :  $q=I \:τ+A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  et les conditions initiales imposent :  $q=I \:τ .(1-\mathrm{e}^{-t/τ} )$ .  On en déduit :  $\displaystyle i'=\frac{q}{τ}=I .(1-\mathrm{e}^{-t/τ} )$   et   $\displaystyle i=\frac{dq}{dt}=I \:\mathrm{e}^{-t/τ}$ .
2.d.	• L'allure des variations de la charge $q$ est la suivante (et les variations de  $\displaystyle i'=\frac{q}{τ}$  sont semblables, à un coefficient de proportionnalité près). • L'allure des variations du courant  $\displaystyle i=\frac{dq}{dt}$  est la suivante.

IV. Réponse à une “impulsion” de tension

1.a.	• Pour considérer le signal comme une impulsion de tension, il faut :  $ε≪τ$  où  $τ=R \:C$  est la constante de temps caractéristique du circuit RC.
1.b.	• Pour  $t<0$,  la loi des mailles  $\displaystyle R \:i+\frac{q}{C}=0$  donne l'équation différentielle :  $\displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{q}{R \:C}=0$ .  L'invariance du système pour tout  $t<0$  correspond à :  $q=0$  et  $i=0$ . • Pour  $0≤t≤ε$,  l'équation différentielle s'écrit :  $\displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{q}{R \:C}=\frac{E}{R}$ .   Les solutions sont de la forme :  $q=C \:E+A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  et les conditions initiales imposent :  $q=C \:E .(1-\mathrm{e}^{-t/τ} )$ .  Ainsi :  $\displaystyle i=\frac{dq}{dt}=\frac{E}{R} \:\mathrm{e}^{-t/τ}$ . • Pour  $t>ε$,  l'équation différentielle :  $\displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{q}{R \:C}=0$   a des solutions de la forme :  $q=A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  et les conditions initiales imposent :  $q=C \:E .(\mathrm{e}^{ε/τ}-1) \:\mathrm{e}^{-t/τ}$ .  Ainsi :  $\displaystyle i=\frac{dq}{dt}=\frac{E}{R} .(1-\mathrm{e}^{ε/τ} ) \:\mathrm{e}^{-t/τ}$ . • L'allure des variations de la charge est la suivante. • L'allure des variations du courant est la suivante.
1.c.	• Pour  $0≤t≤ε$,  la limite  $ε≪τ$  correspond à :  $\displaystyle q≈\frac{E}{R} \:t$   et  $\displaystyle i≈\frac{E}{R}$ . • Pour  $t>ε$,  la limite  $ε≪τ$  correspond à :  $\displaystyle q≈\frac{E \:ε}{R} \:\mathrm{e}^{-t/τ}≈\frac{E \:ε}{R}$  sur des durées d'un l'ordre de grandeur nettement inférieur à $τ$ ; par suite :  $\displaystyle i≈-\frac{E \:ε}{R \:τ} \:\mathrm{e}^{-t/τ}≈0$  ( $\displaystyle |i|≪\frac{E}{R}$ ) . • L'allure des variations de la charge est la suivante. • L'allure des variations du courant est la suivante.

2.a.	• Pour considérer le signal comme une impulsion de tension, il faut :  $ε≪τ$  où  $\displaystyle τ=\frac{L}{R}$  est la constante de temps caractéristique du circuit RL.
2.b.	• Pour  $t<0$,  la loi des mailles conduit à l'équation différentielle :  $\displaystyle R \:i+L \:\frac{di}{dt}=0$ .  L'invariance du système pour tout  $t<0$  correspond à :  $i=0$ . • Pour  $0≤t≤ε$,  l'équation différentielle :  $\displaystyle \frac{di}{dt}+\frac{R}{L} \:i=\frac{E}{L}$  a pour solutions :  $\displaystyle i=\frac{E}{R}+A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  et les conditions initiales imposent :  $\displaystyle i=\frac{E}{R} \:(1-\mathrm{e}^{-t/τ} )$ . • Pour  $t>ε$,  l'équation différentielle s'écrit :  $\displaystyle \frac{di}{dt}+\frac{R}{L} \:i=0$ .  Les solutions sont de la forme :  $i=A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  et les conditions initiales imposent :  $\displaystyle i=\frac{E}{R} \:(1-\mathrm{e}^{ε/τ} ) \:\mathrm{e}^{-t/τ}$ . • L'allure des variations du courant est la suivante.
2.c.	• Pour  $0≤t≤ε$,  la limite  $ε≪τ$  correspond à :  $\displaystyle i≈\frac{E}{L} \:t$ . • Pour  $t>ε$,  la limite   $ε≪τ$  donne :  $\displaystyle i≈\frac{E \,ε}{L} \:\mathrm{e}^{-t/τ}≈\frac{E \,ε}{L}$  pour des durées nettement inférieures à $τ$. • L'allure des variations du courant est la suivante.

V. Réponse à une “impulsion” de courant

1.a.	• Pour considérer le signal comme une impulsion de courant, il faut :   $ε≪τ$  où  $τ=R \,C$  est la constante de temps caractéristique du circuit RC.
1.b.	• Pour  $t<0$,  $I_c=0$  implique  $i'=-i$  et la loi des mailles  $\displaystyle R \:i+\frac{q}{C}=0$  donne l'équation différentielle :  $\displaystyle\frac{dq}{dt}+\frac{q}{R \,C}=0$ .  L'invariance du système pour tout  $t<0$  correspond à :  $q=0$  et  $i=0$ . • Pour  $0≤t≤ε$,  la loi des nœuds donne  $I_c=i+i'$  avec  $\displaystyle i=\frac{dq}{dt}$  et  $\displaystyle R \:i'=\frac{q}{C}$  ;  l'équation différentielle s'écrit donc :  $\displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{q}{R \,C}=I_c$ .  Les solutions sont de la forme :  $q=R \,C \,I_c+A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  et les conditions initiales imposent :  $q=R \,C \,I_c .(1-\mathrm{e}^{-t/τ} )$ .  On en déduit alors :  $\displaystyle i=\frac{dq}{dt}=I_c \:\mathrm{e}^{-t/τ}$ . • Pour  $t>ε$,  l'équation différentielle :  $\displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{q}{R \,C}=0$   a des solutions de la forme :   $q=A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  et les conditions initiales imposent :  $q=R \,C \,I_c .(\mathrm{e}^{ε/τ}-1) \:\mathrm{e}^{-t/τ}$ .  On en déduit :  $\displaystyle i=\frac{dq}{dt}=I_c .(1-\mathrm{e}^{ε/τ} ) \:\mathrm{e}^{-t/τ}$ . • L'allure des variations de la charge est la suivante. • L'allure des variations du courant est la suivante.
1.c.	• Pour  $0≤t≤ε$,  la limite  $ε≪τ$  correspond à :  $q≈I_c \:t$  et  $i≈I_c$ . • Pour  $t>ε$,  la limite  $ε≪τ$  correspond à :  $q≈I_c \:ε \:\mathrm{e}^{-t/τ} ≈I_c \:ε$  sur des durées d'un l'ordre de grandeur nettement inférieur à $τ$ ; par suite :  $\displaystyle i≈-\frac{I_c \:ε}{τ} \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  ( $|i|≪I_c$ ). • L'allure des variations de la charge est la suivante. • L'allure des variations du courant est la suivante.

2.a.	• Pour considérer le signal comme une impulsion de courant, il faut :  $ε≪τ$  où  $\displaystyle τ=\frac{L}{R}$  est la constante de temps caractéristique du circuit RL.
2.b.	• Pour  $t<0$,  $I_c=0$  implique  $i'=-i$  et la loi des mailles conduit à l'équation différentielle :  $\displaystyle R \:i+L \:\frac{di}{dt}=0$ .  L'invariance du système pour tout  $t<0$  correspond à :  $i=0$ . • Pour  $0≤t≤ε$,  la loi des nœuds donne  $I_c=i+i'$  avec  $\displaystyle R \:i'=L \:\frac{di}{dt}$  ;  l'équation différentielle s'écrit donc :  $\displaystyle \frac{di}{dt}+\frac{R}{L} \:i=\frac{R}{L} \:I_c$ .  Les solutions sont de la forme :  $i=I_c+A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  et les conditions initiales imposent :  $i=I_c .(1-\mathrm{e}^{-t/τ} )$ . • Pour  $t>ε$,  l'équation différentielle s'écrit :  $\displaystyle \frac{di}{dt}+\frac{R}{L} \:i=0$ .  Les solutions sont de la forme :  $i=A \:\mathrm{e}^{-t/τ}$  et les conditions initiales imposent :  $i=I_c .(1-\mathrm{e}^{ε/τ} ) \:\mathrm{e}^{-t/τ}$ . • L'allure des variations du courant est la suivante.
2.c.	• Pour  $0≤t≤ε$,  la limite  $ε≪τ$  correspond à :  $\displaystyle i≈\frac{R \,I_c}{L} \:t$ . • Pour  $t>ε$,  la limite  $ε≪τ$  correspond à :  $\displaystyle i=\frac{R \,I_c \:ε}{L} \:\mathrm{e}^{-t/τ}≈\frac{R \,I_c \:ε}{L}$  sur des durées d'un l'ordre de grandeur nettement inférieur à $τ$. • L'allure des variations du courant est la suivante.

VI. Oscillations de relaxation d'un tube à gaz

1.

• On peut considérer :  $u=R \:i+v$  avec  $\displaystyle i=\frac{dq}{dt}$  et  $\displaystyle v=\frac{q}{C}$ ;  donc :  $\displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{q}{τ}=\frac{u}{R}$ . • Pour  $t<0$ :  $\displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{q}{τ}=0$  et  l’invariance du système conduit à  $q=0$ . • Pour  $t≥0$ :  $\displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{q}{τ}=\frac{E}{R}$  et on obtient :  $q=A \:\mathrm{e}^{-t/τ}+C \,E$  où les conditions initiales donnent :  $A=-C \,E$  ;  par suite :  $q=C \,E .(1-\mathrm{e}^{-t/τ} )$  et   $\displaystyle v=\frac{q}{C}=E .(1-\mathrm{e}^{-t/τ} )$ .

2.

• Si l’interrupteur est fermé, le comportement initial est le même tant que  $v<V_0$  (le tube à gaz se comporte alors comme un interrupteur ouvert). • À l’instant  $\displaystyle T=-τ \;\ln⁡\left(1-\frac{V_0}{E}\right)$  où  $V_0=E .(1-\mathrm{e}^{-T/τ} )$ ,  le condensateur est “instantanément” déchargé, donc $v$ s’annule et le tube à gaz redevient “bloqué” ; ainsi la charge reprend comme initialement. • Ce phénomène se reproduit donc périodiquement, avec une fréquence  $\displaystyle f=\frac{1}{T}=\frac{-1}{τ \;\ln⁡\left(1-\frac{V_0}{E}\right)}=4280 \:\mathrm{Hz}$ .

B. EXERCICE D’APPROFONDISSEMENT

VII. Bilan énergétique d'un régime transitoire

1. • On considère que le champ électrique, noté $\overset{→}{E'}$, est uniforme dans le condensateur plan et nul à l'extérieur. Le théorème de Gauss, appliqué à un cylindre d'axe parallèle au champ, “à cheval” sur une des plaques, conduit à la relation :  $\displaystyle Φ=S \:E'=\frac{q_{int}}{ε_0} =\frac{σ \,S}{ε_0}$   où $σ$ est la densité surfacique de charge sur la plaque (le flux est nul sur la surface latérale et sur la base extérieure au condensateur). Au total, pour la surface $S$ totale des plaques :  $\displaystyle E'=\frac{q_{int}}{S \:ε_0}$ . • La tension aux bornes du condensateur est  $\displaystyle U=E' \,e=\frac{q \:e}{S \,ε_0}=\frac{q}{C}$ ,  donc :  $\displaystyle C=\frac{ε_0 \,S}{e}$ .