RÉGIMES TRANSITOIRES - CIRCUITS RL ET RC

RÉGIMES TRANSITOIRES - CIRCUITS RL ET RC - exercices

A. EXERCICES DE BASE

I. Établissement et rupture d'un courant

1. • On considère le circuit ci-contre.
• À l'instant

t=0

on ferme l'interrupteur

K

; déterminer les courants

i_1

dans la résistance

R

i_2

dans la bobine d'inductance

L

et de résistance

r

2. • Au bout d'un temps très long, on ouvre l'interrupteur

K

. Calculer le courant circulant dans la bobine, ainsi que la tension

u_{AB}

; montrer que pendant un intervalle de temps assez bref,

u_{AB}

peut dans certaines conditions être très supérieure à

E

II. Associations d'inductances ou de capacités

1. • Justifier que les inductances s'ajoutent en série.

2. • Justifier que les capacités s'ajoutent en parallèle.

III. Réponse à un échelon de courant

• On considère un générateur de courant parfait, de courant “de court-circuit” :

i_c (t)=0

pour

t<0

puis

i_c (t)=I

pour

t≥0

(échelon de courant).

1. • On branche le générateur en série avec un montage “RL” parallèle (la résistance de la bobine est supposée négligeable : inductance parfaite).
a) Quelle est la relation entre

i

i'

i_c

?
b) Écrire l'équation différentielle régissant l'évolution de

i(t)

. Sans aucun calcul, indiquer quelle est “normalement” la valeur de

i

pour

t=0

c) Exprimer

i(t)

i'(t)

pour

t<0

et pour

t≥0

. Quelle est la constante de temps

τ

qui apparaît ?
d) Tracer l'allure des graphes représentant

i(t)

i'(t)

2. • On branche ce générateur en série avec un montage “RC” parallèle.
a) Quelle est la relation entre

i

i'

i_c

? Quelle est la relation entre

q

C

R

i'

? Quelle est la relation entre

i

q

?
b) Écrire l'équation différentielle régissant l'évolution de

q(t)

. Sans aucun calcul, indiquer quelle est “normalement” la valeur de

q

pour

t=0

c) Exprimer

q(t)

i(t)

i'(t)

pour

t<0

et pour

t≥0

. Quelle est la constante de temps

τ

qui apparaît ?
d) Tracer l'allure des graphes représentant

q(t)

i(t)

i'(t)

IV. Réponse à une “impulsion” de tension

• Une “impulsion” de tension correspond au signal généré par une source de tension parfaite de f.e.m. :

e(t)=0

pour

t<0

; puis

e(t)=E

(constant) pour

0≤t≤ε

; puis

e(t)=0

pour

t>ε

.
• La durée

ε

est très inférieure aux constantes de temps des circuits étudiés, mais nettement supérieure aux durées caractéristiques de l'ARQS.

1. • On branche un générateur d'impulsion de tension en série avec un montage “RC” série :

a) Quelle est la condition sur

ε

R

C

pour qu'on puisse considérer le signal

e(t)

comme une impulsion de tension ?
b) Exprimer

i(t)

q(t)

pour

t<0

0≤ t≤ε

t>ε

. Tracer l'allure des graphes correspondants.
c) Montrer que, si

e(t)

peut être considéré comme une impulsion de tension, alors

i(t)

q(t)

ne dépendent que du produit

E \:ε

.

2. • On branche le générateur en série avec un montage “RL” série (la résistance de la bobine est supposée négligeable : inductance parfaite) :

a) Quelle est la condition sur

ε

R

L

pour qu'on puisse considérer le signal

e(t)

comme une impulsion de tension ?
b) Exprimer

i(t)

pour

t<0

0≤t≤ε

t>ε

. Tracer l'allure du graphe correspondant.
c) Montrer que, si

e(t)

peut être considéré comme une impulsion de tension, alors

i(t)

ne dépend que du produit

E \:ε

V. Réponse à une “impulsion” de courant

• Une “impulsion” de courant est le signal généré par une source de courant parfaite dont le courant “de court-circuit” est :

i_c (t)=0

pour

t<0

; puis

i_c (t)=I_c

(constant) pour

0≤t≤ε

; puis

i_c (t)=0

pour

t>ε

.
• La durée

ε

est très inférieure aux constantes de temps des circuits étudiés, mais nettement supérieure aux durées caractéristiques de l'ARQS.

1. • On branche un générateur d'impulsion de courant en série avec un montage “RC” parallèle :

a) Quelle est la condition sur

ε

R

C

pour qu'on puisse considérer le signal

i_c (t)

comme une impulsion de courant ?
b) Exprimer

i(t)

q(t)

pour

t<0

0≤t≤ε

t>ε

. Tracer l'allure des graphes correspondants.
c) Montrer que, si

i_c (t)

peut être considéré comme une impulsion de courant, alors

i(t)

q(t)

ne dépendent que du produit

I_c \:ε

. Quelle est l'interprétation physique de ce produit ?

2. • On branche le générateur en série avec un montage “RL” parallèle (la résistance de la bobine est supposée négligeable : inductance parfaite) :

a) Quelle est la condition sur

ε

R

L

pour qu'on puisse considérer le signal

i_c (t)

comme une impulsion de courant ?
b) Exprimer

i(t)

i'(t)

pour

t<0

0≤t≤ε

t>ε

. Tracer l'allure des graphes correspondants.
c) Montrer que, si

i_c (t)

peut être considéré comme une impulsion de courant, alors

i(t)

i'(t)

ne dépendent que du produit

I_c \:ε

.
d) Reprendre les calculs en attribuant à la bobine une résistance

r

(en série avec

L

)
e) Que deviennent les résultats dans la limite

R→∞

(si on débranche

R

) ?

VI. Oscillations de relaxation d'un tube à gaz

• On applique entres les bornes

A

B

du montage suivant une tension échelon,

u(t)=0

pour

t<0

u(t)=E

pour

t≥0

• Un interrupteur

K

permet de brancher un tube à gaz (par exemple une lampe au néon) en dérivation aux bornes du condensateur. Ce tube se comporte comme une résistance infinie tant que la tension entre ses bornes est inférieure à une valeur

V_0

(telle que

V_0<E

) ; il se comporte comme une résistance nulle dès que la tension atteint

V_0

. Ceci a pour effet de décharger “instantanément” le condensateur en produisant dans le tube un éclair très bref.

1. • L'interrupteur

K

est ouvert ; déterminer pour

t≥0

la tension

v(t)

entre les bornes du condensateur (on pose :

τ=R\:C

).

2. • L'interrupteur

K

est fermé ; montrer que la tension

v(t)

subit des oscillations. Décrire l'allure de la variation de

v(t)

et calculer la fréquence

f

des oscillations.
Données :

R=1000 \:\mathrm{Ω}

;

C=1,0 \:\mathrm{μF}

;

E=24 \:\mathrm{V}

;

V_0=5,0 \:\mathrm{V}

B. EXERCICE D’APPROFONDISSEMENT

VII. Bilan énergétique d'un régime transitoire

• On considère un condensateur plan, de capacité

C

, dont chaque armature a une surface

S

; la distance

e

entre les armatures est réglable, elle est initialement

e=e_1

. Ce condensateur est placé en série dans un circuit avec un générateur de f.e.m.

E

(et de résistance interne négligeable) et une résistance

R

.

1. • Montrer que la capacité d’un condensateur plan peut s’écrire :

\displaystyle C=\frac{ε_0 \:S}{e}

.

2. • Calculer les travaux mécaniques respectifs (

W_{ma}

W_{mb}

) fournis par un opérateur qui fait passer la distance

e

de la valeur

e_1

e_2>e_1

:
        a) en opérant très lentement (quasi-réversible) ;
        b) en opérant très rapidement.

3.   • Calculer la charge qui traverse le circuit entre l'état d'équilibre initial et l'état d'équilibre final. En déduire le travail

W_G

fourni par le générateur.

4. • Montrer que, pour la transformation très lente, la quantité de chaleur dissipée par effet Joule est arbitrairement très petite. Pour la transformation rapide, calculer

i(t)

et déterminer l'énergie

W_J

dissipée par effet Joule.

5. • Faire un bilan énergétique pour chacune des deux transformations.