RÉGIMES TRANSITOIRES - mesures et commentaires du TP2




1. Circuit “RLC”

1.1. Régime pseudo-périodique

• On réalise le montage avec  C=1,03±0,01μFC=\text{1,03}±\text{0,01} \:\mathrm{μF}  ;  L=97,2±1,2mHL=\text{97,2}±\text{1,2} \:\mathrm{mH}  ;  r=11,8±0,3Ωr=\text{11,8}±\text{0,3} \:\mathrm{Ω}  et  r′=50±2Ωr'=50±2 \:\mathrm{Ω} .  On s'intéresse ici à l'influence de la résistance.

• Pour  R′=20,0±0,1ΩR'=\text{20,0}±\text{0,1} \:\mathrm{Ω}  (R=81,8±2,4ΩR=\text{81,8}±\text{2,4} \:\mathrm{Ω})  on observe un régime pseudo-périodique.

◊ remarque : on choisit R′R' assez faible pour obtenir le régime souhaité, mais une valeur trop petite causerait des incertitudes trop grandes sur la mesure de i(t)i(t).

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Les courbes théoriques pour  u(t)=uC(t)u(t)=u_C (t)  et  uR′(t)=R′i(t)u_{R'} (t)=R' \:i(t)  (en rouge) sont comparées aux mesures ; les écarts sont inférieurs aux incertitudes expérimentales (non représentées car cela gênerait la lisibilité des graphiques).

• La succession des extremums relatifs permet d'estimer la pseudo-période, tant pour u(t)u(t) que pour i(t)i(t).

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On obtient ainsi  T=2,023±0,015msT=\text{2,023}±\text{0,015} \:\mathrm{ms}  tout à fait compatible avec la théorie :  Tth=2,006±0,023msT_{th}=\text{2,006}±\text{0,023} \:\mathrm{ms} .

• On peut aussi vérifier la décroissance logarithmique des extremums (par rapport à l'asymptote  u(t)=E′u(t)=E'  pour le condensateur).

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On obtient un coefficient d'amortissement  α=446±35rad.s−1α=446±35 \:\mathrm{rad.s^{-1}}  tout à fait compatible avec la valeur théorique  α=R2L=421±18rad.s−1\displaystyle α=\frac{R}{2 \,L}=421±18 \:\mathrm{rad.s^{-1}} .

1.2. Régime critique

• En observant la courbe sur l'écran de l'oscilloscope, on essaye d'ajuster R′R' pour atteindre visuellement juste la limite de disparition des pseudo-périodes ; le réglage semble optimum pour  R′=510±5ΩR'=510±5 \:\mathrm{Ω} .

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• Cela correspond à  R=571,8±7,3ΩR=\text{571,8}±\text{7,3} \:\mathrm{Ω}  ;  les courbes théoriques associées, tracées en rouge sur la partie de gauche, montrent un bon accord.

Par contre, la théorie prévoit  Rc=614,4±12,9ΩR_c=\text{614,4}±\text{12,9} \:\mathrm{Ω}  ;  l'écart est plus du double de l'incertitude. Effectivement les courbes théoriques associées pour le régime critique, tracées en vert sur la partie de droite, montrent un écart modéré mais net. Ceci correspond à un effet relativement bien connu : le contrôle visuel conduit généralement à une légère sous-estimation de la limite critique lorsque le dernier reste d'oscillation devient de l'épaisseur du trait (pour aider à s'en rendre compte, un simulateur au format tableur est joint en annexe).

◊ remarque : il aurait été intéressant que les étudiants, prenant conscience de cela, aient refait un enregistrement expérimental correspondant mieux au cas critique... ils ne l'ont pas fait.

1.3. Régime apériodique

• Pour  R′=1494±10ΩR'=1494±10 \:\mathrm{Ω}  (R=1556±12ΩR=1556±12 \:\mathrm{Ω})  on observe un régime apériodique.

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Les courbes théoriques pour  u(t)=uC(t)u(t)=u_C (t)  et  uR′(t)=R′i(t) u_{R'} (t)=R' \:i(t)  (en rouge) sont comparées aux mesures. L'allure générale est satisfaisante, mais les écarts sont supérieurs aux incertitudes expérimentales (non représentées car cela gênerait la lisibilité des graphiques) ; la décroissance semble en pratique plus rapide.

Cela pourrait être dû (au moins en partie) aux parasites radio à 50Hz50 \:\mathrm{Hz} : le montage utilise une “masse flottante” et la périodicité est ici voisine de 20ms20 \:\mathrm{ms} . Cela semble toutefois très improbable vu la faiblesse des écarts observés dans les parties asymptotiques, en particulier aux bornes de la résistance (dans ces conditions les résistances “font antenne”).

• On peut alors vérifier la décroissance exponentielle e−λt\mathrm{e}^{-λ \,t} en omettant le début, où intervient le terme e−μt\mathrm{e}^{-μ \,t} , ainsi que la fin, où les incertitudes sont trop grandes. On obtient ainsi une modélisation satisfaisante avec  λ=798±9s−1λ=798±9 \:\mathrm{s^{-1}}  ;  l'écart avec la valeur théorique  λ=650±13s−1λ=650±13 \:\mathrm{s^{-1}}  est toutefois loin d'être négligeable : il correspondrait à  R=1294±25ΩR=1294±25 \:\mathrm{Ω}  (R′=1232±26ΩR'=1232±26 \:\mathrm{Ω} ).

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• On peut ensuite vérifier la décroissance du terme exponentiel e−μt\mathrm{e}^{-μ \,t} du début, par différence au terme e−λt\mathrm{e}^{-λ \,t} ajusté (ici encore, on met à part les derniers points du début, où les incertitudes sont trop grandes).

Pour les variations de u(t)u(t) aux bornes du condensateur, ce terme est en proportion trop petit : on le calcule par combinaison de termes nettement plus grands ; ainsi on ne peut que vérifier la compatibilité de l'ordre de grandeur avec la détermination d'après i(t)i(t).

On obtient ainsi une modélisation satisfaisante avec  μ=19590±490s−1μ=19590±490 \:\mathrm{s^{-1}}  ;  l'écart avec la valeur théorique  μ=15356±337s−1μ=15356±337 \:\mathrm{s^{-1}}  est loin d'être négligeable : il correspondrait à  R=1854±55ΩR=1854±55 \:\mathrm{Ω}  (R′=1792±55ΩR'=1792±55 \:\mathrm{Ω} ).

Il est intéressant de remarquer que l'ajustement de μμ surestime RR, contrairement au précédent pour λλ qui sous-estimait ; on peut donc penser qu'il ne s'agit pas d'une erreur de mesure de cette résistance, mais d'un biais systématique non évident.

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1.4. Influence de la capacité

• Certains groupes ont de même étudié l'influence de CC, mais ils n'ont pas transmis leurs résultats.


2. Simulation d'un frottement solide

• On suppose que la tension aux bornes du couple de diodes peut être modélisée par une constante en valeur absolue et opposée au sens de mouvement des charges :  ud=sgn(i)Usu_d=\mathrm{sgn}(i) \;U_s ,  avec  Us≈0,6VU_s≈\text{0,6} \:\mathrm{V} .

◊ remarque : quand les diodes sont bloquées, la tension a une valeur intermédiaire dans l'intervalle ±Us±U_s mais cela importe peu car le circuit est alors statique (courant nul).

• En seconde approximation, on peut tenir compte d'une (faible) résistance des diodes quand elles sont passantes, mais cela ne fait qu'augmenter un peu l'inévitable résistance du reste du circuit.

◊ remarque : en troisième approximation, modéliser avec la caractéristique réelle des diodes est compliqué.

• Dans un premier temps, on peut négliger la résistance. L'équation décrivant le circuit peut s'écrire :  LCü+u=e−sgn(u˙)UsL \:C \:\ddot{u}+u=e-\mathrm{sgn}(\dot{u}) \;U_s .

On suppose que la valeur initiale est  u=U0>0u=U_0>0  (constante asymptotique du créneau précédent) et que le générateur passe à une valeur constante EE inférieure, tendant à décharger le condensateur (u˙<0\dot{u}<0) . L'inductance impose la continuité du courant  i=Cu˙i=C \:\dot{u}  donc  u˙(0)=0\dot{u}(0)=0  mais ensuite l'équation décrivant le circuit peut s'écrire :  LCü+u=E+UsL \:C \:\ddot{u}+u=E+U_s  ou encore :  ü+ω02u=ω02(E+Us)\ddot{u}+ω_0^{\:2} \:u=ω_0^{\:2} \; (E+U_s ) .

Compte tenu des conditions initiales, la solution peut s'écrire :  u=(U0−(E+Us))cos(ω0t)+(E+Us)u=\left(U_0-(E+U_s )\right)\; \cos(ω_0 \:t)+(E+U_s ) .  Ceci nécessite toutefois une amplitude  Um0=U0−(E+Us)>0U_{m0}=U_0-(E+U_s )>0  c'est-à-dire  E<U0−UsE<U_0-U_s .

À la fin d'une demi oscillation, un extremum est atteint avec  u˙=0\dot{u}=0  et  u=2(E+Us)−U0=U1u=2 \,(E+U_s )-U_0=U_1 .

Ensuite l'équation peut s'écrire :  ü+ω02u=ω02(E−Us)\ddot{u}+ω_0^{\:2} \:u=ω_0^{\:2} \: (E-U_s )  et si  Um1=(E−Us)−U1>0U_{m1}=(E-U_s )-U_1>0  c'est-à-dire  E>U1+UsE>U_1+ U_s  la solution est :  u=Um1cos(ω0t)+(E−Us)u=U_{m1} \; \cos(ω_0 \:t)+(E-U_s )  avec  Um1=Um0−2UsU_{m1}=U_{m0}-2 \,U_s .

À la fin de la deuxième demi oscillation, un extremum est atteint avec  u˙=0\dot{u}=0  et  u=2(E−Us)−U1=U2u=2 \,(E-U_s )-U_1=U_2 .

L'oscillation continue alors à condition que  E<U2−UsE<U_2-U_s  et ainsi de suite. L'amplitude de la troisième demi-oscillation est  Um2=U2−(E+Us)=Um0−4UsU_{m2}=U_2-(E+U_s )=U_{m0}-4 \,U_s .  L'amplitude décroît de  4Us4 \,U_s  par pseudo-période, c'est-à-dire que les extremums sont respectivement alignés sur deux droites.

Dès qu'un extremum intervient dans l'intervalle  E±UsE±U_s  les diodes restent bloquées et les oscillations cessent.

• Un premier groupe, utilisant du matériel ancien, obtient une courbe d'allure convenable.

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On y mesure  T0=0,822±0,004msT_0=\text{0,822}±\text{0,004} \:\mathrm{ms}  ;  avec  L=49±2mHL=49±2 \:\mathrm{mH}  et  C=300±15nFC=300±15 \:\mathrm{nF} ,  la comparaison avec la valeur théorique  T0=2πLC=0,760±0,032msT_0=2π \:\sqrt{L \:C}=\text{0,760}±\text{0,032} \:\mathrm{ms}  semble une première approximation acceptable.

Les pentes de variation des minimums et des maximums sont comparables  (≈4,26±0,32V.ms−1≈\text{4,26}±\text{0,32} \:\mathrm{V.ms^{-1}})  mais tout de même différentes ; on préfère prendre une référence à l'intersection des droites et considérer l'ensemble des écarts en valeur absolue, ce qui donne :  ≈4,27±0,23V.ms−1≈\text{4,27}±\text{0,23} \:\mathrm{V.ms^{-1}}  donc  Us≈0,88±0,05VU_s≈\text{0,88}±\text{0,05} \:\mathrm{V} .  Compte tenu de la caractéristique réelle des diodes (résistance et/ou seuil “arrondi”), le seuil expérimental semble en pratique d'autant plus élevé que le courant moyen est important dans le montage étudié ; la valeur obtenue semble tout à fait raisonnable.

En réalité, les extremums ne varient pas de façon tout à fait affine, mais encore moins en exponentielle ; un approfondissement serait utile avec des mesures plus précises.

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• Un autre groupe, utilisant du matériel plus récent, effectue en plus une mesure de la tension aux bornes des diodes. On y constate que  Us≈0,6VU_s≈\text{0,6} \:\mathrm{V}  mais que le seuil est supérieur quand les oscillations sont plus importantes ; pour une description en seconde approximation, ceci caractérise la présence d'une résistance des diodes (supplément de tension selon la loi d'Ohm).

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Pour  C=50±2nFC=50±2 \:\mathrm{nF}  ;  L=97±4mHL=97±4 \:\mathrm{mH}  ;  r′=12,0±0,5Ωr'=\text{12,0}±\text{0,5} \:\mathrm{Ω}  ;  r=50±2Ωr=50±2 \:\mathrm{Ω}  (générateur) et  rd≈1Ωr_d≈1 \:\mathrm{Ω}  à  5Ω5 \:\mathrm{Ω}  (selon le domaine d'utilisation), la résistance du circuit est  R≈65±5ΩR≈65±5 \:\mathrm{Ω}  ;  il est souhaitable de proposer une modélisation ne négligeant pas cet effet.

• On reprend donc un modèle avec résistance. L'équation s'écrit :  LCü+RCu˙+u=e−sgn(u˙)UsL \:C \:\ddot{u}+R \:C \:\dot{u}+u=e-\mathrm{sgn}(\dot{u}) \;U_s .

On suppose que la valeur initiale est  u=U0>0u=U_0>0  (constante asymptotique du créneau précédent) et que le générateur passe à une valeur constante EE inférieure, tendant à décharger le condensateur (u˙<0\dot{u}<0) . L'inductance impose la continuité du courant  i=Cu˙i=C \:\dot{u}  donc  u˙(0)=0\dot{u}(0)=0  mais ensuite l'équation décrivant le circuit peut s'écrire :  LCü+RCu˙+u=E+UsL \:C \:\ddot{u}+R \:C \:\dot{u}+u=E+U_s  ou encore :  ü+2αu˙+ω02u=ω02(E+Us)\ddot{u}+2 \,α \:\dot{u}+ω_0^{\:2}\:u=ω_0^{\:2} \: (E+U_s )  avec  α=R2L\displaystyle α=\frac{R}{2 \,L} .

Compte tenu des conditions initiales, la solution peut s'écrire  (avec  ω=ω02−α2ω=\sqrt{ω_0^{\:2}-α^2} ) :

 u=(U0−(E+Us))e−αt[cos(ωt)+αωsin(ωt)]+(E+Us)\displaystyle u=\left(U_0-(E+U_s )\right) \; \mathrm{e}^{-α \,t} \: \left[\cos(ω \:t)+\frac{α}{ω} \: \sin(ω \:t) \right]+(E+U_s ) .

Ceci nécessite toutefois une amplitude  Um0=U0−(E+Us)>0U_{m0}=U_0-(E+U_s )>0  c'est-à-dire  E<U0−UsE<U_0-U_s .

À la fin d'une demi oscillation, un extremum est atteint avec  u˙=0\dot{u}=0  et  u=(1+k)(E+Us)−kU0=U1u=(1+k) (E+U_s )-k \:U_0=U_1 ,  en notant  k=e−αT/2k=\mathrm{e}^{-α \,T/2} .

◊ remarque : l'effet du terme  sin(ωt)\sin(ω \:t)  est de compenser l'effet de l'exponentielle pour imposer  u˙(0)=0\dot{u}(0)=0 .

Ensuite l'équation peut s'écrire :  ü+2αu˙+ω02u=ω02(E−Us)\ddot{u}+2 \,α \:\dot{u}+ω_0^{\:2} \:u=ω_0^{\:2}\: (E-U_s )  et si  Um1=(E−Us)−U1>0U_{m1}=(E-U_s )-U_1>0  c'est-à-dire  E>U1+UsE>U_1+ U_s  la solution est :  u=Um1e−ωt[cos(ωt)+αωsin(ωt)]+(E−Us)\displaystyle u=U_{m1} \: \mathrm{e}^{-ω \:t} \: \left[\cos(ω \:t)+\frac{α}{ω} \:\sin(ω \:t) \right]+(E-U_s )  avec  Um1=kUm0−2UsU_{m1}=k \:U_{m0}-2 \,U_s .

À la fin de la deuxième demi oscillation, un extremum est atteint avec  u=(1+k)(E−Us)−kU1=U2u=(1+k) (E-U_s )-k \:U_1=U_2 .

L'oscillation continue alors à condition que  E<U2−UsE<U_2-U_s  et ainsi de suite. L'amplitude de la troisième demi-oscillation est  Um2=U2−(E+Us)=kUm1−2UsU_{m2}=U_2-(E+U_s )=k \:U_{m1}-2 \,U_s .  Par récurrence, en fonction du nombre n de demi-oscillations, l'amplitude décroît selon :  Umn=knUm0−2Us∑0n−1ki=knUm0−2Us1−kn1−k\displaystyle U_{mn}=k^n \:U_{m0}-2 \,U_s \: ∑_0^{n-1} k^i =k^n \:U_{m0}-2 \,U_s \, \frac{1-k^n}{1-k} ,  ce qui peut aussi s'écrire  Umn+a=kn(Um0+a)U_{mn}+a=k^n \:(U_{m0}+a)  en notant  a=2Us1−k\displaystyle a=\frac{2 \,U_s}{1-k} .

Dès qu'un extremum intervient dans l'intervalle  E±UsE±U_s  les diodes restent bloquées et les oscillations cessent.

• On peut alors déterminer  T=0,438±0,003msT=\text{0,438}±\text{0,003} \:\mathrm{ms}  ;  les valeurs théoriques donnent  α=R2L=334±26s−1\displaystyle α=\frac{R}{2 \,L}=334±26 \:\mathrm{s^{-1}}  ;  ω0=1LC=(14,4±0,8).103rad.s−1\displaystyle ω_0=\frac{1}{\sqrt{L \:C}}=(\text{14,4}±\text{0,8}).{10}^3 \:\mathrm{rad.s^{-1}}  ;  ω=ω02−α2≈ω0ω=\sqrt{ω_0^{\:2}-α^2}≈ω_0  (on a volontairement minimisé l'effet de RR) ;  T≈T0=0,438±0,024msT≈T_0=\text{0,438}±\text{0,024} \:\mathrm{ms}  (parfaitement compatible).

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En utilisant la même méthode que pour l'exemple précédent, la décroissance de l'amplitude des oscillations présente les mêmes caractéristiques : variation plutôt affine mais pas exactement.

Pour décrire plus précisément cette décroissance de l'amplitude des oscillations, le plus simple est d'étudier l'évolution de l'amplitude par l'écart entre deux extremums successifs :  ΔUn=|Un+1−Un|=(1+k)UmnΔU_n=\left|U_{n+1}-U_n \right|=(1+k) \:U_{mn} .  La variation suit la loi  ΔUn+a′=kn(ΔU0+a′)ΔU_n+a'=k^n \:(ΔU_0+a')  avec  a′=2Us1+k1−k\displaystyle a'=2\,U_s \,\frac{1+k}{1-k} .

La loi  ln(ΔUn+a′ΔU0+a′)=ln(Xn)=nln(k)\displaystyle \ln\left(\frac{ΔU_n+a'}{ΔU_0+a'}\right)=\ln(X_n)=n \; \ln(k)  est une variation linéaire, mais la difficulté est que la valeur kk cherchée intervient à la fois dans la pente (par  ln(k)=−αT2\displaystyle \ln(k)=-α \,\frac{T}{2} )  et dans le décalage a′a' .

On peut tester le modèle théorique, qui donne  ln(k)=−αT2=−0,073±0,006\displaystyle \ln(k)=-α \, \frac{T}{2}=-\text{0,073}±\text{0,006}  et pour lequel l'estimation  Us=0,60±0,03V U_s=\text{0,60}±\text{0,03} \:\mathrm{V}  (dans la partie où le courant est faible) donne  a′=2Us1+k1−k=33±4V\displaystyle a'=2\,U_s \,\frac{1+k}{1-k}=33±4 \:\mathrm{V} .

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On obtient effectivement une variation linéaire, donc le principe de la modélisation est bon, mais la pente correspond à  ln(k)=−0,090±0,012\ln(k)=-\text{0,090}±\text{0,012}  seulement à peu près compatible.

Inversement, on peut ajuster  a′=20,4±4,5Va'=\text{20,4}±\text{4,5} \:\mathrm{V}  pour que la pente soit cohérente :  ln(k)=−0,118±0,012\ln(k)=-\text{0,118}±\text{0,012} .  Ceci correspond alors à  α=540±80s−1α=540±80 \:\mathrm{s^{-1}}  puis  R≈105±18ΩR≈105±18 \:\mathrm{Ω}  ;  seule une erreur dans la détermination de la résistance de la bobine semblerait pouvoir justifier cela (mesure sur une bobine semblable mais différente de celle utilisée ; la résistance des diodes ne peut pas être aussi grande, celle des générateurs est standardisée à 50Ω50\:\mathrm{Ω}).

◊ remarque : on pourrait aussi vérifier l'invariance de la pulsation en fonction de l'amortissement ; pour cela, il serait possible de doubler l'amortissement en remplaçant chaque diode par un assemblage de deux diodes en série ; aucun groupe n'a fourni de mesures correspondantes.