E.M.II - THÉORÈME DE GAUSS

1. Flux électrostatique ; théorème de Gauss

1.1. Notion d'angle solide

• De même que la longueur d'un arc de cercle d'angle donné est proportionnelle au rayon, l'aire sphérique délimitée par un cône (non nécessairement régulier) est proportionnelle au carré du rayon.

On peut définir une mesure d'un angle par le rapport

\displaystyle θ=\frac{L}{R}

et de même une mesure d'un “angle solide” (“stérangle” ?) par le rapport

\displaystyle Ω=\frac{S\,}{R^2}

.

L'unité des mesures d'angles est le radian (

\mathrm{rad}

) et celle pour les angles solides est le stéradian (

\mathrm{sr}

).

◊ remarque : l'angle solide complet autour d'un point mesure

4π \:\mathrm{sr}

1.2. Théorème de Gauss

• Le flux

Φ

d'un champ de vecteurs

\overset{→}{E}(M)

à travers une surface

S

est défini par :

\displaystyleΦ=∬_S \overset{→}{E}∙d\overset{→}{S}

où

d\overset{→}{S}

désigne un élément de surface au point

M

S

.

• Les propriétés des charges sont liées au flux

Φ

du champ électrostatique.

Pour une charge ponctuelle :

\displaystyle dΦ=\overset{→}{E}∙d\overset{→}{S}=\frac{q}{4π \,ε_0} \frac{\overset{→}{u}_r∙d\overset{→}{S}}{r^2} =\frac{q}{4π \,ε_0} \: dΩ

où

dΩ

est l’angle solide sous lequel on “voit”

dS

à partir de la position de

q

Ainsi, pour une surface S fermée, le flux sortant se déduit par addition des charges intérieures :

\displaystyle Φ=∬_S \overset{→}{E}∙d\overset{→}{S}=\frac{Q_{int}}{4π \:ε_0} \, ∬ dΩ=\frac{Q_{int}}{ε_0}

(théorème de Gauss).

Pour une charge

q

extérieure, dans tout angle solide les entrées et sorties se compensent (contribution nulle).

Pour chaque

q_i

intérieure, il y a dans chaque

dΩ

une sortie de plus que d'entrées ; la contribution complète au flux est :

\displaystyle Φ_i=∬_S \overset{→}{E}_i∙d\overset{→}{S}=\frac{q_i}{4π \:ε_0} \, ∬ dΩ=\frac{q_i}{ε_0}

et le flux total est

Φ=∑ \,Φ_i

.

• Si les symétries permettent un calcul littéral de

Φ

en fonction du champ, alors on peut déduire ce champ de la charge intérieure :

\displaystyle Q_{int}=∭_𝒱 ρ \:dτ

où

𝒱

est le volume délimité par

S

.

📖 exercices n° I, II et III.

2. Boule uniformément chargée en volume

• Pour une boule de rayon

R

, chargée d’une densité volumique

ρ

uniforme (donc de charge totale

Q=\frac{4}{3} π \:R^3 \: ρ

) :

◊	par symétrie selon le rayon, le champ est radial : $\overset{→}{E}(r,θ,ϕ)=E_r (r,θ,ϕ) \;\overset{→}{u}_r$ ;
◊	par invariance des charges dans les rotations $θ$ et $ϕ$ , la composante radiale ne dépend que de $r$ : $E_r (r,θ,ϕ)=E_r (r)$ ;
◊	le flux sortant d’une sphère concentrique de rayon $r$ est : $Φ(r)=4π \:r^2 \: E_r(r)$ ;

◊ pour

r≤R

\displaystyle Q_{int} (r)=Q \, \frac{r^3}{R^3}

;

\displaystyle E_r(r)=\frac{Q}{4π \:ε_0} \frac{r\,}{R^3}

;

◊ pour

r≥R

Q_{int} (r)=Q

;

\displaystyle E_r(r)=\frac{Q}{4π \:ε_0} \frac{1}{r^2}

☞ remarque : pour une distribution à symétrie sphérique, le champ extérieur est le même que si toute la charge était au centre.

• On peut ensuite en déduire le potentiel :

◊	pour $r≥R$ : $\displaystyle V(r)=\frac{Q}{4π \:ε_0} \frac{1}{r}$ (en choisissant $V_∞=0$ ) ;
◊	pour $r≤R$ : $\displaystyle V(r)=\frac{Q}{4π \:ε_0} \, \frac{3 \,R^2-r^2}{2 \,R^3}$ (par continuité $\displaystyle V(R)=\frac{Q}{4π \:ε_0} \frac{1}{R}$ ).

📖 exercice n° IV.

3. Sphère uniformément chargée en surface

• La situation est analogue pour une sphère de rayon

R

, chargée d’une densité surfacique

σ

uniforme (donc de charge totale

Q=4π \:R^2 \: σ

) :

La différence est pour

r<R

Q_{int} (r)=0

E_r(r)=0

.

Donc le potentiel pour

r≤R

est uniforme :

\displaystyle V(r)=\frac{Q}{4π ε_0} \frac{1}{R}

(par continuité).

☞ remarque : de manière générale, une distribution surfacique des charges donne un champ électrostatique discontinu, mais un potentiel continu.

4. Modèle théorique du plan “infini” uniformément chargé

• Pour étudier le champ au voisinage d'un plan uniformément chargé, on utilise souvent le modèle du plan “infini”, approximation supposée valide dès qu'on se limite à une partie de l'espace limitée en comparaison de la taille du plan réel (forcément fini) : près du plan et loin des bords.

Ce modèle est toutefois souvent trop simpliste : le résultat du calcul complet dépend de la façon dont on fait tendre le plan vers l'infini.

• Pour un plan “infini”, avec une densité surfacique

σ

uniforme :

◊	par invariance des charges dans les translations $y$ et $z$ , le champ ne dépend que de $x$ : $\overset{→}{E}(x,y,z)=\overset{→}{E}(x)$ ;
◊	par symétrie selon $(Ox)$ , le champ est “normal” : $\overset{→}{E}(x)=E_x (x) \;\overset{→}{u}_x$ ;
◊	par symétrie selon le plan, la valeur est “impaire” : $E_x (-x)=-E_x (x)$ .

Pour un plan réel (fini) ces propriétés de

E_x

restent raisonnablement valables, mais il peut exister des composantes

E_y (x,y,z)

E_z (x,y,z)

non négligeables.

• Avec le modèle du plan “infini”, pour un “parallélépipède de Gauss” symétrique, le flux sortant se limite a celui à travers les faces parallèles au plan

yOz

;

◊

le flux sortant est donc :

Φ(|x|)=2 \,a \:b \:E_x (|x|)

;

◊

pour

x>0

Q_{int} (|x|)=a \:b \:σ

\displaystyle E_x (x)=\frac{σ}{2 \,ε_0}

(indépendant de

x

) ;

◊

pour

x<0

\displaystyle E_x (x)=-\frac{σ}{2 \,ε_0}

(seul change le signe).

Pour un plan réel (fini) l'expression de

E_x

reste raisonnablement valable pour

|x|≪a

b

, dans la mesure où on peut supposer négligeable de flux “latéral”. Mais il peut exister des composantes

E_y

E_z

non négligeables et ici inconnues.

• Au total, il apparaît que les symétries peuvent être un outil de raisonnement permettant des simplifications efficaces, mais que toute approximation doit être sérieusement justifiée.

• On peut ensuite en déduire le potentiel ; pour un plan “infini” il n'y a qu'une dérivée

\displaystyle E_x=-\frac{dV}{dx}

donc :

◊	pour $x>0$ : $\displaystyle V(x)=-\frac{σ}{2 \,ε_0}\, x$ (ici $V_∞≠0$ car il y a des charges à l’infini... il faut alors choisir une abscisse de référence arbitraire) ;
◊	pour $x<0$ : $\displaystyle V(x)=\frac{σ}{2 \,ε_0}\, x=-\frac{σ}{2 \,ε_0} \, \|x\|$ (par continuité).

Pour un plan réel (fini), outre les limitations dans la validité de cette expression, il s'y ajoute une quantité

f(y,z)

ici inconnue.

◊ remarque : dans le cas du condensateur plan, constitué de deux plaques parallèles portant des charges opposées, le modèle du plan “infini” s'applique bien mieux et à juste titre car les effets transverses des deux plaques se compensent en très bonne approximation.

📖 exercices n° V, VI, VII, VIII, IX, X et XI.

5. Analogie électromécanique ; champ de gravitation

• L'analogie entre le champ coulombien

\displaystyle \overset{→}{E}=\frac{1}{4π \:ε_0}\, \frac{q}{r^2} \: \overset{→}{u}_r

pour une charge ponctuelle et le champ newtonien

\displaystyle \overset{→}{g}=-𝒢 \: \frac{m}{r^2} \: \overset{→}{u}_r

pour une masse ponctuelle montre que le théorème de Gauss se transpose au calcul du flux gravitationnel en fonction de la répartition de la masse (par exemple selon une masse volumique

μ

) :

\displaystyle Φ'=∬_S \overset{→}{g}∙d\overset{→}{S}=-4π \:𝒢\,∭_𝒱 μ \:dτ=-4π \:𝒢 \:M_{int}