THÉORÈME DE GAUSS - exercices



A. EXERCICES DE BASE

I. Interprétation du flux dans le cas d'un écoulement

        • Un fluide est en mouvement dans un tuyau cylindrique de rayon RR .

1.     • En supposant que les particules du fluide ont une même vitesse v→\overset{→}{v} ,  dirigée suivant l'axe du tuyau, montrer que le débit volumique du tuyau (volume d'eau qui s'écoule par unité de temps) est :  D=πR2vD=π \:R^2 \: v .

2.     • On suppose maintenant que la vitesse v→\overset{→}{v} des particules du fluide est toujours selon l'axe du tuyau, mais que sa norme dépend de la distance à l'axe et de la position angulaire autour de l'axe. Montrer que le débit volumique est égal au flux de v→\overset{→}{v} à travers la section du tuyau. Calculer le débit pour  v=𝒶.(R2−r2)v=𝒶 .(R^2-r^2)  où 𝒶𝒶 est une constante et où  r∈[0,R]r∈[0 \,,R]  désigne la distance à l'axe.


II. Vecteur surface d'un contour orienté

        • Soit un contour fermé orienté CC , on considère l'intégrale :  A→=12∫COM⟶×dOM⟶\overset{→}{A}=\frac{1}{2} \, ∫_C\; \overset{⟶}{OM} × d\overset{⟶}{OM}  où OO est un point fixe et où MM est un point décrivant le contour CC .

1.     • Montrer que cette intégrale ne dépend pas du choix du point fixe OO .

2.     • On suppose que le contour CC est plan. Soit n→\overset{→}{n} le vecteur unitaire normal au plan et dont le sens correspond au sens positif adopté pour l'orientation de CC . Montrer que  A→=Sn→=S→\overset{→}{A}=S \:\overset{→}{n}=\overset{→}{S}  où SS désigne l'aire de la portion de plan délimitée par CC .

3.     • En déduire que, ΣΣ étant une surface quelconque s'appuyant sur CC :  A→=∬ΣdS→=S→\overset{→}{A}=∬_Σ \,d\overset{→}{S}=\overset{→}{S}  où  dS→d\overset{→}{S}  est le vecteur surfacique infinitésimal de ΣΣ .


III. Extremums du potentiel

        • À l’aide du théorème de Gauss, montrer que le potentiel n’a pas d’extremum en dehors des charges.


IV. Limites de validité du théorème de Gauss

        • On considère un milieu caractérisé par une répartition de charge de densité volumique  ρρ  uniforme dans tout l'espace.

1.     • D'après les symétries, déterminer le champ électrostatique en un point quelconque.

2.     • En raisonnant avec seulement la symétrie sphérique, montrer que le calcul du champ par application du théorème de Gauss peut suggérer un résultat faux. Commenter.


V. Mouvement circulaire et champ électrostatique

        • On considère un milieu caractérisé par une répartition de charge, de symétrie sphérique, de densité volumique :  ρ=ρ0e−αrρ=ρ_0 \:\mathrm{e}^{-α \,r}  pour  r<Rr<R ,  où αα est une constante positive et rr la distance à l'origine OO . Une particule de masse mm et de charge QQ (telle que  Qρ0<0Q \:ρ_0<0 ) peut se mouvoir sans frottement dans ce milieu.

1.     • Déterminer le champ électrostatique à la distance rr du centre OO .

2.     • Montrer que le mouvement circulaire uniforme de rayon  r0<Rr_0<R  est une solution possible des équations du mouvement. Calculer dans ce cas la période de révolution de la particule.


VI. Détermination d'une répartition de charges

        • On considère une répartition volumique de charge électriques, de symétrie sphérique, contenue à l'intérieur d'une boule de centre OO et de rayon RR . Soit MM un point intérieur à la boule, on pose  r=OM≤Rr=OM≤R .  Déterminer la densité volumique ρ(r)ρ(r) correspondante pour que le champ électrostatique à l'intérieur de la boule ait une norme uniforme, c'est-à-dire soit de la forme :  E→=E0OM⟶r\displaystyle \overset{→}{E}=E_0 \, \frac{\overset{⟶}{OM}}{r}  avec  E0=CsteE_0=Cste .  Calculer la charge totale QQ portée par la boule et caractériser le champ à l'extérieur de la boule.


VII. Potentiel de Yukawa

        • On considère une distribution de charge ayant la symétrie sphérique autour d'un point fixe OO . Le potentiel est donné, en fonction de la distance rr de OO , par la relation :  V(r)=e−r/𝒶q4πε0r\displaystyle V(r)=\mathrm{e}^{-r/𝒶} \: \frac{q}{4π \:ε_0 \: r}  où qq et 𝒶𝒶 sont des constantes positives.

1.     • Calculer le champ E→\overset{→}{E} à une distance rr de OO . Examiner les cas particuliers  r≪𝒶r≪𝒶  et  r≫𝒶r≫𝒶  ;  quelle est la signification de 𝒶𝒶 ?

2.     • Calculer le flux Φ(r)Φ(r) sortant d'une sphère de rayon rr et en déduire la répartition volumique de charge ρ(r)ρ(r) . Quelles sont les caractéristiques de cette répartition ?


VIII. Champ dans une cavité

        • Une boule de rayon RR porte une charge volumique ρ ρ uniforme dans tout son volume sauf dans une cavité sphérique de rayon 𝒶𝒶 (creusée dans la boule) et dont le centre est à une distance dd de celui de la boule. La cavité est vide de charge. Calculer le champ à l'intérieur de la cavité (qu'a-t-il de remarquable ?).


IX. Potentiel d'une couche chargée

        • Soit ρρ une densité volumique de charge constante en tout point de l'espace compris entre deux sphères de même centre OO , de rayons R1R_1 et  R2>R1R_2>R_1 . Calculer le champ et le potentiel électrostatiques en tout point de l'espace (on note rr la distance à l'origine OO ). Tracer les graphes représentatifs de EE et VV en fonction de rr dans le cas où  ρ>0ρ>0 . Le champ est-il continu ? Le potentiel est-il continu ?


X. Champ créé par une couche chargée

        • Deux sphères de même rayon RR délimitent deux volumes (boules) uniformément chargés en volume : l'une contient la densité de charge −ρ-ρ et l'autre la densité +ρ+ρ . Leurs centres sont aux abscisses −𝒶-𝒶 et +𝒶+𝒶 sur l'axe OxOx , avec  𝒶≪R𝒶≪R .

1.     • Montrer qu'on peut considérer que ce système équivaut approximativement à une couche sphérique de rayon RR , chargée en surface d'une densité surfacique  σ=2𝒶ρcos(θ)σ=2 \,𝒶 \:ρ \;\cos(θ)  où θθ est l'angle de OM⟶\overset{⟶}{OM} avec OxOx pour le point MM où on considère σσ .

2.     • En déduire le champ électrostatique à l'intérieur d'une sphère chargée en surface d'une densité surfacique  σ=σ0cos(θ)σ=σ_0 \; \cos(θ)  où σ0σ_0 est une constante.


XI. Champ créé par un fil rectiligne “infini”

        • Soit λλ une densité linéique de charge constante en tout point d'un fil rectiligne “infini”. Calculer le champ et le potentiel électrostatiques en tout point de l'espace (on note rr la distance au fil en coordonnées cylindriques). Tracer les graphes représentatifs de EE et VV en fonction de rr dans le cas où  λ>0λ>0 . Le champ est-il continu ? Le potentiel est-il continu ? Commenter la validité d'un modèle théorique de fil “infini”.


B. EXERCICE D’APPROFONDISSEMENT

XII. Ion dans un plasma

        • Dans un plasma (gaz ionisé) électriquement neutre en équilibre, il y a en moyenne, autour de chaque particule chargée, un plus grand nombre de particules dont la charge est de signe contraire que de particules dont la charge est de même signe. Cela provient des attractions et répulsions exercées par la particule considérés sur les particules de son voisinage. Ainsi, autour d'uns particule, “l'atmosphère électrique” (formée de particules positives et de particules négatives) est de signe opposé à la charge de la particule considérée. La neutralité n'est donc respectée qu'en moyenne sur une assez grande échelle ; c'est la non neutralité locale qui est étudiée ici.
        • On suppose que le plasma ne contient que des électrons (de charge −q-q ) et des ions positifs (de charge +q+q ) ; on étudie la répartition des charges et des potentiels au voisinage d'un ion positif donné.
        • On désigne par ne(r)n_e (r) et ni(r)n_i (r) les densités particulaires des électrons et des ions à la distance rr du centre de l'ion positif pris comme origine ; on admet que ces densités obéissent à la loi statistique liée au facteur de Boltzmann :  ne=n0eqV/kTn_e=n_0 \: \mathrm{e}^{qV/kT}  et  ni=n0e−qV/kTn_i=n_0 \: \mathrm{e}^{-qV/kT}  où n0n_0 est une constante, VV le potentiel au point considéré,  k=RNA\displaystyle k=\frac{R}{N_A}   la constante de Boltzmann (constante des gaz parfaits divisée par le nombre d'Avogadro) et TT la température du plasma.

1.     • Appliquer le théorème de Gauss à une couche sphérique d'épaisseur “infinitésimale” drdr ; en déduire une équation différentielle à laquelle doit satisfaire le potentiel V(r)V(r) .

2.     • Ramener l'équation différentielle précédente à une équation linéaire, en supposant que TT est assez élevée pour que  kT≫qVk \:T≫q \:V .

3.     • Intégrer l'équation ainsi simplifiée avec le changement de variable  U(r)=rV(r)U(r)=r \:V(r)  ;  en déduire V(r)V(r) .