FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES - exercices

A. EXERCICES DE BASE

Fréquence cyclotron

• Une particule “ponctuelle” de charge $q$ et de masse $m$ est placée dans une région de l’espace où règne un champ magnétique uniforme $\overset{→}{B}$ dirigé selon l’axe $Oz$ . Cette particule subit la force de Lorentz  $\overset{→}{F}=q \:\overset{→}{v} × \overset{→}{B}$  (où $\overset{→}{v}$ désigne sa vitesse dans le référentiel correspondant au repère $Oxyz$ utilisé).

• En négligeant le poids de la particule, montrer que $v_z$ est constante, puis que la projection de la trajectoire sur le plan $Oxy$ est décrite avec une période qui ne dépend que de $q$ , $m$ et $B$ .

• Déterminer les expressions de  x(t)  et  y(t)  pour les conditions initiales :

$x(0)=x_0$  ;  $y(0)=0$  ;  $\dot{x}(0)=0$  ;  $\dot{y}(0)=v_{0y}$ .

Spectrographe de masse de Dempster

• Dans un spectrographe de Dempster, on accélère des ions $\mathrm{Ne}^+$ par une différence de potentiel de $1000 \:\mathrm{V}$ , puis on les soumet à un champ magnétique de  $0\text{,}1 \:\mathrm{T}$ . • Déterminer la position des impacts des deux isotopes  ${}^{20}\mathrm{Ne}$  et  ${}^{22}\mathrm{Ne}$  sur la plaque photographique. • En réalité, dans le faisceau initial après accélération, il existe une incertitude $Δv$ sur la vitesse. Quelle incertitude maximum peut-on accepter si on veut observer deux taches distinctes pour les deux isotopes ?

Expérience de J.J. Thomson

• Dans un tube cathodique contenant du néon sous basse pression sont créés et accélérés des ions $\mathrm{Ne}^{n+}$ . • Le faisceau d'ions ainsi formé est soumis à l'action simultanée d'un champ magnétique et d'un champ électrique colinéaires, perpendiculaires à la direction d'incidence des ions. • On désigne par  $\overset{→}{v}_0=v_0 \: \overset{→}{u}_x$  la vitesse initiale d'un ion de masse $m$ et de charge  $q=n\: \left|q_e \right|$  ;  on désigne par $L$ la distance parcourue selon $Ox$ par l'ion soumis aux champs électrique et magnétique.

• Déterminer les coordonnées $y$ et $z$ du point d'impact sur une plaque photographique placée perpendiculairement à $Ox$ à la sortie du domaine où règnent les deux champs ; on suppose que  $\displaystyle L≪\frac{m \:v_0}{q \:B}$ .

• Déterminer le lieu des points d'impact des ions ayant les mêmes caractéristiques, mais des vitesses de normes différentes : établir la relation  $z=z(y)$  en éliminant $v_0$ entre  $y(x=L)$  et  $z(x=L)$  au point d'impact).

• Pourquoi cette expérience a-t-elle permis à J.J. Thomson de découvrir que le néon naturel est en fait un mélange de deux isotopes ${}^{20}\mathrm{Ne}$ et ${}^{22}\mathrm{Ne}$ ?

Systèmes d'équations couplées

• Une particule $M$ (proton) de masse $m$ et portant la charge électrique positive $q$ est mobile dans une région de l'espace (repérée par rapport à un trièdre $Oxyz$ orthonormé direct) où règnent : ◊ un champ électrique $\overset{→}{E}$ uniforme de norme $E$ et dirigé suivant $Oz$ , ◊ un champ magnétique $\overset{→}{B}$ uniforme de norme $B$ et dirigé suivant $Oy$ . • La particule est émise sans vitesse initiale au point $O$ à l'instant  $t=0$ . • La force de pesanteur est supposée négligeable. • Pour simplifier les notations, on pose :  $\displaystyle ω=\frac{q \:B}{m}$   et   $\displaystyle R=\frac{E}{B \:ω}$ .

a) Établir les équations différentielles vérifiées par les coordonnées $(x,y,z)$ du point $M$ en fonction du temps $t$ .

b) Que constate-t-on pour la coordonnée $y$ ? Ceci était-il prévisible “géométriquement” d'après les conditions de l'expérience ?

• Pour résoudre le système de deux équations couplées ($(1)$ et $(3)$) concernant les coordonnées $x$ et $z$ , on se propose d'utiliser une méthode par combinaison : on cherche s'il existe une variable  $u=α \:x+β \:z$  (où $α$ et $β$ sont des constantes) telle que la combinaison correspondante des équations  ($α .(1) + β .(3)$)  puisse s'écrire comme une équation faisant intervenir uniquement la variable $u$ .

a) Justifier que, dans le cas particulier considéré, on peut pour cela simplifier les notations en imposant  $α=1$ .

b) Établir la relation que doit alors vérifier la constante $β$ pour que la variable $u$ ainsi définie possède les propriétés souhaitées.

c) En déduire l'expression de  $u(t)$ , puis la position $(x,y,z)$ du point $M$ en fonction du temps $t$ .

d) Représenter sommairement la trajectoire.

B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT

Principe de relativité de Galilée

• Le principe “fondamental”  $\displaystyle \overset{→}{F}=∑ \:\overset{→}{F}_i =\frac{d\overset{→}{p}}{dt}$  n’est lié qu’à la variation de vitesse ; il s’exprime de la même manière dans deux référentiels galiléens, animés l’un par rapport à l’autre d’un mouvement rectiligne et uniforme (principe de relativité de Galilée).

◊ remarque : cela dépend des hypothèses associées au changement de référentiel pour une vitesse d'entraînement $\overset{→}{v}_e$ ; à partir de  $\overset{⟶}{OM}=\overset{⟶}{O'M}+\overset{→}{v}_e \: t$   et   $\underline{t'=t}$  on déduit :  $\overset{→}{F}=m \:\ddot{\overset{⟶}{OM}}=\:\overset{¨}{\overset{⟶}{O'M}}=\overset{→}{F}'$ .

• Selon ce principe (pour un changement de référentiel galiléen), établir les relations entre les champs électriques ($\overset{→}{E}$ et $\overset{→}{E}'$ ) et magnétiques ($\overset{→}{B}$ et $\overset{→}{B}'$ ) exprimés respectivement dans les deux référentiels $ℛ$ et $ℛ'$ .