EM I - CHAMP ÉLECTROSTATIQUE


1. Répartition de la charge ; densité de charge

• La matière est formée de “particules élémentaires” dont l’une des propriétés est l’interaction électrique, caractérisée par deux types de charges (++ et −- ).

Les charges électriques des particules élémentaires sont quantifiées : toutes celles observées ont des charges multiples de  |qe|=1,602176634.10−19C\left|q_e \right|=\text{1,602176634}.{10}^{-19} \: \mathrm{C} ,  valeur considérée comme exacte depuis mai 2019 (précision relative 10−14{10}^{-14} ) ; l'unité de courant électrique s'en déduit de fait d'après l'unité de temps.

• Vu les très faibles dimensions et charges des particules élémentaires, les expériences macroscopiques sont insensibles à la quantification de la charge.

Il est alors pratique de décrire la “concentration” des charges élémentaires par une densité de charge :
◊
 volumique :  ρ=dQdτ\displaystyle ρ=\frac{dQ}{dτ} ,  telle que  Q=∭𝒱ρdτ Q=∭_𝒱 \:ρ \:dτ  ;
◊ ou surfacique :  σ=dQdS\displaystyle σ=\frac{dQ}{dS} ,  telle que  Q=∬SσdSQ=∬_S \:σ \:dS  ;
◊ ou linéique :  λ=dQd𝓁\displaystyle λ=\frac{dQ}{d𝓁} ,  telle que  Q=∫Cλd𝓁Q=∫_C \:λ \:d𝓁 .

📖 exercice n° I.

2. Champ électrostatique

2.1. Définitions et propriétés caractéristiques

• L’interaction électrostatique entre deux charges en AA et BB (dans le vide) est décrite par la loi de Coulomb :   F→A→B=14πε0qAqBr2u→r\displaystyle \overset{→}{F}_{A→B}=\frac{1}{4π \:ε_0} \, \frac{q_A \: q_B}{r^2} \: \overset{→}{u}_r ,   avec  r=ABr=AB ,  u→r=AB⟶r\displaystyle \overset{→}{u}_r=\frac{\overset{⟶}{AB}}{r}   et   ε0=8,8537.10−12F.m−1ε_0=\text{8,8537}.{10}^{-12} \: \mathrm{F.m^{-1}}  ( 14πε0≈9.109N.m2.C−2\displaystyle \frac{1}{4π \:ε_0}≈9.{10}^9 \: \mathrm{N.m^2.C^{-2}} ).

◊ remarque : dans un milieu homogène et isotrope (par exemple dans l’eau), la loi précédente peut se généraliser en décrivant l’effet moyen du milieu par une permittivité diélectrique  ε=ε0εrε=ε_0 \: ε_r  où  εrε_r  est un coefficient caractéristique du milieu considéré (par exemple  εr≈80ε_r≈80  pour l’eau).

• Si, sans déplacer qAq_A , on remplace qBq_B par qB′q'_B , alors cette nouvelle charge est soumise à la force :  F′→A→B=14πε0qAqB′r2u→r\displaystyle \overset{→}{F'}_{A→B}=\frac{1}{4π \:ε_0} \, \frac{q_A \: q'_B}{r^2} \: \overset{→}{u}_r .

La quantité :  E→A(B)=F→A→BqB=F′→A→BqB′=14πε0qAr2u→r\displaystyle \overset{→}{E}_A (B)=\frac{\overset{→}{F}_{A→B}}{q_B} =\frac{\overset{→}{F'}_{A→B}}{q'_B}=\frac{1}{4π \:ε_0} \: \frac{q_A}{r^2} \: \overset{→}{u}_r  décrit donc une propriété de l’espace en BB , provoquée par l’action de qAq_A ; cette quantité (vectorielle) est appelée “champ électrostatique” (au point BB ).

• D’après l’additivité des forces, il y a additivité des vecteurs E→\overset{→}{E} ; c’est-à-dire que pour un ensemble de charges ponctuelles qAiq_{A_i} placées en des point AiA_i , le champ total est :  E→(B)=∑Ei→(B)=14πε0∑(qAiri2u→ri)\displaystyle \overset{→}{E}(B)=∑ \overset{→}{E_i}(B)=\frac{1}{4π \:ε_0} \, ∑ \left(\frac{q_{A_i}}{r_i^{\:2}} \: \overset{→}{u}_{r_i}\right)  .

Pour une répartition continue de charges (distribution volumique), on peut considérer de même:  dE→(B)=14πε0dqr2u→r=14πε0ρr2u→rdτ\displaystyle d\overset{→}{E}(B)=\frac{1}{4π \:ε_0} \, \frac{dq}{r^2} \: \overset{→}{u}_r=\frac{1}{4π \:ε_0} \: \frac{ρ}{r^2} \: \overset{→}{u}_r \:dτ  (où dτdτ est un volume infinitésimal au voisinage de AA ), puis par intégration sur tous les points AA du volume 𝒱𝒱 :  E→(B)=14πε0∭𝒱ρr2u→rdτ\displaystyle \overset{→}{E}(B)=\frac{1}{4π \:ε_0} \, ∭_𝒱 \:\frac{ρ}{r^2} \: \overset{→}{u}_r \: dτ .

◊ remarque : pour des distributions surfaciques et linéiques, on peut utiliser, de même :  E→(B)=14πε0∬Sσr2u→rdS\displaystyle \overset{→}{E}(B)=\frac{1}{4π \:ε_0} \, ∬_S \,\frac{σ}{r^2} \: \overset{→}{u}_r \: dS   et  E→(B)=14πε0∫Cλr2u→rd𝓁\displaystyle \overset{→}{E}(B)=\frac{1}{4π \:ε_0} \, ∫_C \,\frac{λ}{r^2} \: \overset{→}{u}_r \: d𝓁 .

📖 exercice n° II.

2.2. Exemple de calcul “direct” par intégration

• Le calcul des intégrales vectorielles n’est généralement pas simple, mais il se simplifie quand le dispositif étudié possède des symétries suffisantes.

• Pour le champ sur l’axe d'un disque uniformément chargé :

 dE→=14πε0σr2u→rdS\displaystyle d\overset{→}{E}=\frac{1}{4π \:ε_0} \: \frac{σ}{r^2} \: \overset{→}{u}_r \: dS .

Par symétrie  E→=Exu→x\overset{→}{E}=E_x \: \overset{→}{u}_x  car, perpendiculairement à l’axe, les contributions des charges symétriques se compensent. On considère donc :  d2Ex=σ4πε0xr3dS\displaystyle d^2 E_x=\frac{σ}{4π \:ε_0} \frac{x}{r^3} \, dS .
elecStatique_Im/elecStatique_Im1.jpg

En intégrant cette différentielle (double) sur l’angle θθ de rotation autour de l’axe, on obtient la différentielle (simple) :  dEx=σx2ε0r′(x2+r′2)3/2dr′\displaystyle dE_x=\frac{σ \:x}{2 \,ε_0} \, \frac{r'}{\left(x^2+{r'}^2 \right)^{3/2}} \: dr'  d’où on déduit :  Ex=σx2ε0[−1x2+r′2]0R=σx2ε0(1|x|−1x2+R2)\displaystyle E_x=\frac{σ \:x}{2 \,ε_0} \: \left[\frac{-1}{\sqrt{x^2+{r'}^2}}\right]_0^R=\frac{σ \:x}{2 \,ε_0} \: \left(\frac{1}{|x|} -\frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}\right) .

elecStatique_Im/elecStatique_Im2.jpg

☞ remarque : la courbe précédente montre la discontinuité du champ pour la traversée d’une surface chargée ; il en serait de même pour la traversée d’une ligne chargée ; par contre, la traversée d’une distribution volumique de charges ne donne généralement pas de discontinuité du champ.

☞ remarque : la limite du plan infini (pour  R→∞R→∞ ) correspond à un champ électrique perpendiculaire au plan, de norme  E=|σ|2ε0\displaystyle E=\frac{|σ|}{2 \,ε_0}  uniforme puisque tout axe normal semble alors devenu axe de symétrie ; l'étude plus détaillée montre toutefois que cette déduction rapide est à prendre avec précaution car le résultat dépend de la façon de passer à la limite.

📖 exercice n° III, IV et V.

3. Potentiel électrostatique

3.1. Définitions et propriétés caractéristiques

• La somme des vecteurs étant compliquée, on peut utiliser une autre description, équivalente, car E→\overset{→}{E} dérive d’un potentiel VV tel que :

 E→=−∇→V=−∂V∂xu→x−∂V∂yu→y−∂V∂zu→z\displaystyle \overset{→}{E}=-\overset{→}{∇}V=-\frac{∂V}{∂x} \: \overset{→}{u}_x-\frac{∂V}{∂y} \: \overset{→}{u}_y-\frac{∂V}{∂z} \: \overset{→}{u}_z  (en coordonnées cartésiennes).

Inversement, la différence de potentiel entre deux points AA et BB se calcule par la “circulation” du champ électrostatique sur un trajet quelconque de AA à BB :

 UAB=VA−VB=∫BAdV=∫BA∇→V∙d𝓁→=∫ABE→∙d𝓁→\displaystyle U_{AB}=V_A-V_B=∫_B^A dV=∫_B^A \overset{→}{∇}V∙\overset{→}{d𝓁}=∫_A^B \overset{→}{E}∙\overset{→}{d𝓁} .

☞ remarque : l’opérateur gradient, noté par le symbole “vectoriel” ∇→\overset{→}{∇} (nabla), ne se comporte pas comme un vecteur lors des changements de systèmes de coordonnées ; en particulier, il correspond à :

{∂∂r,1r∂∂θ,∂∂z}\displaystyle \left\{\frac{∂}{∂r} \, , \, \frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ}\, , \, \frac{∂}{∂z}\right\}  en coordonnées cylindriques ;
{∂∂r,1r∂∂θ,1rsin⁡(θ)∂∂ϕ}\displaystyle \left\{\frac{∂}{∂r} \, , \,\frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} \, , \, \frac{1}{r \:\sin⁡(θ)} \frac{∂}{∂ϕ}\right\}  en coordonnées sphériques.

• Pour une charge ponctuelle, on obtient :  V=14πε0qr+V∞\displaystyle V=\frac{1}{4π \:ε_0} \, \frac{q}{r}+V_∞  (où on choisit généralement  V∞=0V_∞=0 ),  correspondant à :  E→(r,θ,ϕ)=Er(r,θ,ϕ)u→r\overset{→}{E}(r,θ,ϕ)=E_r (r,θ,ϕ) \: \overset{→}{u}_r  (champ radial), avec :  Er(r,θ,ϕ)=−∂V∂r=14πε0qr2=Er(r)\displaystyle E_r (r,θ,ϕ)=-\frac{∂V}{∂r}=\frac{1}{4π \:ε_0} \: \frac{q}{r^2} =E_r (r) .

Pour un ensemble de charges ponctuelles, l’additivité des potentiels se déduit de celle des champs et de la linéarité des dérivations ; l’avantage est qu’on se ramène à une somme algébrique :

 V=14πε0∑(qiri)+V∞\displaystyle V=\frac{1}{4π \:ε_0} \, ∑ \left(\frac{q_i}{r_i} \right) +V_∞   (où on choisit généralement  V∞=0V_∞=0 ).

• Pour une distribution volumique de charge :  V=14πε0∭𝒱ρrdτ+V∞\displaystyle V=\frac{1}{4π \:ε_0} \, ∭_𝒱 \:\frac{ρ}{r} \: dτ+V_∞  (où on choisit généralement  V∞=0V_∞=0 ).  De même pour une distribution surfacique :  V=14πε0∬SσrdS+V∞\displaystyle V=\frac{1}{4π \:ε_0} \, ∬_S \,\frac{σ}{r} \: dS+V_∞   ou linéique :  V=14πε0∫Cλrd𝓁+V∞\displaystyle V=\frac{1}{4π \:ε_0} \, ∫_C \,\frac{λ}{r} \: d𝓁+V_∞ .

☞ remarque : il faut ne pas confondre une petite variation  dV(M)dV(M)  du potentiel créé par une charge qq (variation due au déplacement du point MM où on calcule le potentiel) et une petite contribution  dVdV  au potentiel (contribution due à une charge infinitésimale dqdq ).

📖 exercice n° VI.

3.2. Exemple de calcul par intégration

• Pour le potentiel créé sur l’axe par un disque chargé d’une densité surfacique σσ uniforme :  d2V=14πε0σrdS\displaystyle d^2 V=\frac{1}{4π \:ε_0} \: \frac{σ}{r} \: dS .

En intégrant sur l’angle θθ de rotation autour de l’axe :  dV=σ2ε0r′x2+r′2dr′\displaystyle dV=\frac{σ}{2 \,ε_0} \, \frac{r'}{\sqrt{x^2+{r'}^2}} \: dr'  ;  puis en intégrant sur r′r' :  V=σ2ε0[x2+r′2]0R=σ2ε0(x2+R2−|x|)\displaystyle V=\frac{σ}{2 \,ε_0} \: \left[\sqrt{x^2+{r'}^2}\right]_0^R=\frac{σ}{2 \,ε_0} \: \left(\sqrt{x^2+R^2}-\left|x\right|\right) .

elecStatique_Im/elecStatique_Im3.jpg

☞ remarque : contrairement au champ électrique, le potentiel est continu pour la traversée d’une surface chargée (et de même pour une distribution volumique) ; par contre il est discontinu pour la traversée d’une ligne chargée.

• On en déduit le champ :  Ex=−∂V∂x=σx2ε0(1|x|−1x2+R2)\displaystyle E_x=-\frac{∂V}{∂x}=\frac{σ \:x}{2 \,ε_0} \: \left(\frac{1}{|x|} -\frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}\right) .

📖 exercice n° VII.

4. Énergie potentielle d’interaction électrostatique

• La force électrostatique  F→=qE→\overset{→}{F}=q \:\overset{→}{E}  est dite “conservative”, c’est-à-dire qu’elle dérive d’une énergie potentielle ℰpℰ_p et que le travail  WAB=∫ABF→∙d𝓁→=−∆ℰpW_{AB}=∫_A^B \:\overset{→}{F}∙\overset{→}{d𝓁}=-∆ℰ_p  est indépendant du trajet suivi de AA à BB .

L’énergie potentielle électrostatique est  ℰp=qVℰ_p=q \:V  et la force est  F→=−∇→ℰp\overset{→}{F}=-\overset{→}{∇}ℰ_p .

• Plus précisément, soit l’énergie potentielle d’une charge q2q_2 placée en M2M_2 , soumise à l’action d’une charge q1q_1 placée en M1M_1 :

 ℰp=q2V1(M2)=14πε0q1q2r\displaystyle ℰ_p=q_2 \: V_1 (M_2)=\frac{1}{4π \:ε_0} \, \frac{q_1 \: q_2}{r}  avec  r=M1M2r=M_1 M_2 .

Mais cette expression est symétrique par rapport à q1q_1 et q2q_2 ; c'est l’énergie potentielle d’interaction de q1q_1 et q2q_2 :  ℰp=q2V1(M2)=q1V2(M1)ℰ_p=q_2 \: V_1 (M_2)=q_1 \: V_2 (M_1) .

On en déduit la loi des actions réciproques pour les forces électrostatiques (valable pour toutes les forces dérivant d’une énergie potentielle d’interaction qui ne dépend que de M1M2⟶\overset{⟶}{M_1 M_2} ) :  F→1→2=−∇→2ℰp=−(−∇→1ℰp)=−F→2→1\overset{→}{F}_{1→2}=-\overset{→}{∇}_2 ℰ_p=-(-\overset{→}{∇}_1 ℰ_p )=-\overset{→}{F}_{2→1} .

• L’énergie potentielle d’interaction est analogue pour un ensemble de charges  {qi}\{q_i\} , mais il faut ne pas compter deux fois l’interaction d’un couple (i,j)(i,j) :  ℰp=1214πε0∑i∑j≠iqiqjrij=12∑i(qiV{j≠i})\displaystyle ℰ_p=\frac{1}{2} \frac{1}{4π \:ε_0} ∑_i ∑_{j≠i} \frac{q_i \: q_j}{r_{ij}} =\frac{1}{2} \: ∑_i \left(q_i \: V_{\{j≠i\}}\right)   ;   F→{j≠i}→i=−∇→iℰp\overset{→}{F}_{\{j≠i\}→i}=-\overset{→}{∇}_i ℰ_p .

📖 exercice n° VIII.