INDUCTION MAGNÉTIQUE - corrigé des exercices

Force électromotrice induite

• On choisit de décrire la position de la tige selon un axe

Ox

correspondant aux rails, avec l'origine à l'extrémité supérieure.
• Lorsque la tige est en mouvement à la vitesse (algébrique)

v=\dot{x}

la variation de flux dans le circuit de surface

S=𝓁 \:x

cause une f.e.m. induite

\displaystyle e=\frac{dφ}{dt}=B \: \cos(α) \; 𝓁 \:v

dans le sens indiqué sur le schéma de l'énoncé. Cela donne un courant

\displaystyle i=\frac{𝓁}{R} \: \dot{x}

.
• La tige est soumise à son poids, à la réaction normale de l'axe, au frottement et à une force de Laplace causée par le courant induit. En projection sur l'axe :

m \:\ddot{x}=m \:g \: \sin(α)-f-i \:𝓁 \:B \; \cos(α)

• L'évolution du dispositif se fait donc selon l'équation :

\displaystyle \dot{v}+\frac{𝓁^2 \: B \;\cos(α)}{m \:R} \: v=g \; \sin(α)-\frac{f}{m}

2.a.	• L'équation précédente peut s'écrire : $\dot{v}+k \:v=γ$ . • Les solutions de l'équation “homogène” sont de la forme : $v=Cte \;\: \mathrm{e}^{-k \,t}$ ; l'équation complète a une solution constante (comme le second membre) : $\displaystyle v_m=\frac{γ}{k}$ . • Les solutions sont donc de la forme : $v=v_m+Cte \;\: \mathrm{e}^{-k \,t}$ . • La condition initiale $v=0$ impose la solution : $v=v_m .\left(1- \mathrm{e}^{-k \,t\,} \right)$ . • La vitesse tend donc vers la valeur limite $\displaystyle v_m=\frac{γ}{k}$ .

2.b.	• La position correspond à une primitive de la vitesse : $\displaystyle x=v_m .\left(t+\frac{\mathrm{e}^{-k \,t}}{k} \,\right)+Cste$ ; les conditions initiales imposent : $\displaystyle x=v_m .\left(t+\frac{\mathrm{e}^{-k \,t} - 1}{k} \right)+𝓁$ .

3.a.	• La contribution des rails à la résistance reste inférieure à : $\left(2 L+𝓁\right) \:λ=41 \:\mathrm{mΩ}≪R$ (négligeable).

3.b.	• On obtient dans ce cas : $\displaystyle k=\frac{𝓁^2 \: B \;\cos(α)}{m \:R}=2\text{,}35.{10}^{-5} \; \mathrm{s^{-1}}$ ; cela correspond à une durée théorique d'atteinte de la limite de l'ordre de deux ou trois fois $\displaystyle τ=\frac{1}{k}=11\text{,}8 \;\mathrm{heures}$ ; en pratique le bas des rails est probablement atteint bien avant (à vérifier d'après ce qui suit).

3.c.	• On obtient par ailleurs : $\displaystyle γ=g \; \sin(α)-\frac{f}{m}=0\text{,}355 \:\mathrm{m.s^{-2}}>0$ ; cela confirme que le frottement est insuffisant pour s'opposer au mouvement. • La vitesse limite théorique est : $\displaystyle v_m=\frac{γ}{k}≈ 15 \:\mathrm{km.s^{-1}}$ ; le frottement fluide sur l'air est alors forcément important (supérieur au frottement solide considéré). Mais par ailleurs une telle vitesse, associée à la durée précédente, correspond à une très grande distance parcourue avant l'atteinte de la vitesse limite ; cela confirme que la limite effective est le bas des rails.

3.d.	• Le courant induit limite théorique est : $\displaystyle I_m=\frac{𝓁}{R} \: v_m≈76 \:\mathrm{A}$ ; ce courant très important correspond à une puissance Joule $R \:I_m^{\:2}≈57 \:\mathrm{kW}$ et cause un échauffement destructif.

4.a.	• La durée cherchée est solution de l'équation : $\displaystyle L=v_m .\left(t+\frac{\mathrm{e}^{-k \,t} - 1}{k} \right)+𝓁$ . • Ceci peut aussi s'écrire : $\displaystyle k \,t+\mathrm{e}^{-k \,t} - 1=\frac{k}{v_m} \, (L-𝓁)=K≈1\text{,}49.{10}^{-9}$ ; cette équation compliquée semblerait ne pouvoir être résolue que numériquement, mais la solution peut s'exprimer à l'aide de la fonction $\mathrm{W}$ de Lambert. • Il est toutefois utile de remarquer que la limite des rails est atteinte bien avant la limite théorique, donc $k \,t≪1$ ; on peut alors utiliser un développement limité $\displaystyle \mathrm{e}^{-k \,t}≈1-k \,t+\frac{k^2}{2} t^2$ . La solution correspond ainsi à : $\displaystyle \frac{k^2}{2} t^2≈K$ ; $\displaystyle t_0≈\frac{\sqrt{2 \,K}}{k}=\sqrt{\frac{2 \,(L-𝓁)}{γ}}≈2\text{,}3 \:\mathrm{s}$ ; cela correspond au résultat prévu en l'absence d'effet magnétique : la force de Laplace due au courant induit est négligeable. ◊ remarque : à l'ordre suivant on obtient $\displaystyle \frac{k^2}{2} t^2≈K+\frac{k^3}{6} t^3≈K.\left(1+\frac{\sqrt{2 \,K}}{3}\right)$ montrant bien que la correction est tout-à-fait négligeable.

4.b.	• Vu ce qui précède, la vitesse maximum atteinte est : $v_0≈γ \:t_0=\sqrt{2 \,γ .(L-𝓁)}≈ 0\text{,}82 \:\mathrm{m.s^{-1}}$ .

4.c.	• Le courant induit maximum atteint est : $\displaystyle i_0=\frac{𝓁}{R} \, v_0≈4\text{,}1 \:\mathrm{mA}$ (très faible).

4.d.	◊ remarque : le champ magnétique terrestre est négligeable en comparaison de $B$ . • Le champ induit dans le circuit est d'un ordre de grandeur comparable à celui au centre d'une spire circulaire de rayon $𝓁$ (un calcul plus précis est inutile) : $\displaystyle B_0≈\frac{μ_0 \: i_0}{2 \,𝓁}≈5.{10}^{-8} \: \mathrm{T}$ ; cela est encore plus négligeable que le champ terrestre. ◊ remarque : dans les exercices théoriques d'entraînement à la modélisation sur l'induction (qu'il est important de savoir résoudre), les dispositifs décrits sont trop souvent loin des ordres de grandeur réalistes ; le cas étudié ici est en pratique intéressant pour réfléchir à cet aspect.

Bobines en interaction magnétique

1.a.	• L'approximation du champ uniforme à l'intérieur correspond à un solénoïde “infiniment” long. Dans cette approximation, tout plan perpendiculaire à l'axe est plan de symétrie géométrique et électrique, donc plan d'antisymétrie pour le champ magnétique (pseudovecteur). Ainsi $\overset{→}{B}_1$ doit être perpendiculaire au plan, donc parallèle à l'axe. • Le vecteur surface de chaque spire est aussi parallèle à l'axe, donc le flux à travers chaque spire est simplement le produit de sa surface $S_1=π \:R_1^{\:2}$ par $B_1$ (uniforme). En ajoutant l'effet de toutes les spires, dont le nombre est $N_1=n_1 \: 𝓁_1$ , on obtient : $Φ_1=n_1 \: 𝓁_1 \: S_1 \: B_1=μ_0 \: n_1^{\:2} \: 𝓁_1 \: S_1 \: I_1$ .

1.b.	• L'inductance est le coefficient tel que $Φ_1=L_1 \: I_1$ (ainsi en régime variable la f.c.e.m. induite peut s'écrire $\displaystyle e=\frac{dφ_1}{dt}=L_1 \frac{di_1}{dt}$ ). Ceci correspond à $L_1=μ_0 \: n_1^{\:2} \: 𝓁_1 \: S_1$ .

1.c.	• L'énergie magnétique est $ℰ_{m1}=\frac{1}{2} \, L_1 \: I_1^{\:2}$ . ◊ remarque : en régime variable on retrouve la puissance électrique $\displaystyle p=u_1 \: i_1=L_1 \: i_1 \, \frac{di_1}{dt}=\frac{dℰ_{m1}}{dt}$ .

1.d.	• En substituant $\displaystyle I_1=\frac{B_1}{μ_0 \: n_1}$ on peut écrire : $\displaystyle ℰ_{m1}=\frac{1}{2} \, L_1 \: I_1^{\:2}=\frac{1}{2} \, 𝓁_1 \: S_1 \frac{B_1^{\:2}}{μ_0} =V_1 \, \frac{B_1^{\:2}}{2 \,μ_0}$ .

2.a.	• Toutes les spires de $b_1$ sont à l'extérieur de $b_2$ , où le champ $\overset{→}{B}_2$ est nul dans l'approximation considérée. Les forces de Laplace sont donc nulles.

2.b.	• Seules les spires de $b_2$ situées à l'intérieur de $b_1$ subissent des forces de Laplace. La force infinitésimale est $d\overset{→}{F}=I_2 \: \overset{→}{d𝓁} × \overset{→}{B}_1=I_2 \: d𝓁 \:B_1 \: \overset{→}{u}_r$ . Puisque les forces subies par deux éléments $d𝓁$ symétriques par rapport à l'axe se compensent, la somme des forces de Laplace est nulle. Ceci est cohérent avec le résultat précédent : les action réciproques nulles sont effectivement opposées. ◊ remarque : dans l'approximation proposée par l'énoncé, les spires sont considérées comme circulaires, mais l'enroulement du fil fait qu'elles sont en réalité hélicoïdales ; bien que $\overset{→}{d𝓁}$ soit selon $\overset{→}{u}_φ$ (en coordonnées cylindriques, en notant $φ$ pour éviter toute confusion avec le $θ$ précédent), la légère hélicité correspond à un décalage selon $𝓁_{12} \: \overset{→}{u}_x$ à chaque tour ; au total : $∫ \,\overset{→}{d𝓁}= ∫ \,\overset{→}{d𝓁}_{12} =𝓁_{12} \: \overset{→}{u}_x$ ; on obtient ainsi pour $\overset{→}{B}_1$ uniforme : $\overset{→}{F}=∫ d\overset{→}{F}=I_2 .\left( ∫ \overset{→}{d𝓁}\, \right) × \overset{→}{B}_1=I_2 \: 𝓁_{12} \: B_1 \: \overset{→}{u}_x × \overset{→}{u}_x=\overset{→}{0}$ (ceci n'est toutefois pas la réponse normalement attendue).

2.c.	• Les lignes du champ $\overset{→}{B}_2$ sont refermées sur elles mêmes et recoupent les spires de $b_1$ avec une orientation telle qu'elles causent des forces de Laplace orientées selon $\overset{→}{u}_x$ .

2.d.	• La situation est analogue pour les lignes du champ $\overset{→}{B}_1$ ; leur orientation est telle qu'elles causent des forces de Laplace orientées selon $-\overset{→}{u}_x$ . Cela est qualitativement conforme à la loi des actions réciproques.

3.a.	• Le volume intersection des deux bobines est $V_{12}=S_2 \: 𝓁_{12}$ , soumis au champ total $\overset{→}{B}_1+\overset{→}{B}_2$ . • Le complément de ce volume dans $b_1$ est $V_1'=S_1 \: 𝓁_1-S_2 \: 𝓁_{12}$ , soumis au champ $\overset{→}{B}_1$ . • Le complément dans $b_2$ est $V_2'=S_2 \: 𝓁_2-S_2 \: 𝓁_{12}$ , soumis au champ $\overset{→}{B}_2$ .

3.b.	• Si la méthode se généralise, l'énergie totale est : $\displaystyle ℰ_m=V_1' \,\frac{B_1^{\:2}}{2 \,μ_0}+V_2' \,\frac{B_2^{\:2}}{2 \,μ_0}+V_{12} \,\frac{(B_1+B_2)^2}{2 \,μ_0}$ . • En l'absence d'interaction, l'énergie serait : $\displaystyle ℰ_{m1}+ℰ_{m2}=V_1 \,\frac{B_1^{\:2}}{2 \,μ_0}+V_2 \,\frac{B_2^{\:2}}{2 \,μ_0}$ . • L'énergie d'interaction est donc : $\displaystyle ℰ_{m12}=ℰ_m-ℰ_{m1}-ℰ_{m2}=V_{12} \, \frac{(B_1+B_2 )^2-B_1^{\:2}-B_2^{\:2}}{2 \,μ_0}=V_12 \, \frac{B_1 \:B_2}{μ_0}$ .

3.c.	• En fonction du coefficient d'inductance mutuelle $M$ , l'énergie d'interaction peut s'écrire : $\displaystyle ℰ_{m12}=M \:I_1 \: I_2=M \: \frac{B_1}{μ_0 \: n_1} \, \frac{B_2}{μ_0 \: n_2}$ . • La comparaison donne : $M=μ_0 \: n_1 \: n_2 \: 𝓁_{12} \: S_2$ .

3.d.	• L'orientation du moment dipolaire $\overset{→}{m}=I_2 \: \overset{→}{S}_2$ d'une spire étant la même que celle du champ magnétique, son énergie potentielle d'interaction peut s'écrire : $\displaystyle E_{ps}=-\overset{→}{m}∙\overset{→}{B}_1=-I_2 \: S_2 \: B_1=-\frac{B_2}{μ_0 \: n_2} \, S_2 \: B_1$ . • Dans cette approximation, l'énergie pour l'ensemble des spires est donc : $\displaystyle E_p=-n_2 \: 𝓁_{12} \: E_{ps}=-V_{12} \, \frac{B_1 \: B_2}{μ_0}$ . • Il peut sembler étonnant d'obtenir pratiquement le même résultat, sauf le signe. Un raisonnement attentif permet de conclure que $ℰ_{m12}$ est l'énergie associée aux courants électriques et à leurs champs, alors que $E_p$ est l'énergie associée aux dispositifs mécaniques que sont les bobines. L'égalité au signe près vient du fait que ce terme d'interaction décrit une transformation d'énergie électrique en énergie mécanique, ou réciproquement : l'augmentation de l'une des deux formes énergies doit correspondre à une diminution équivalente de l'autre.

3.e.	• Le travail (algébrique) lors d'un éloignement est : $dW=F \:dx=-F \:d𝓁_{12}$ . • L'énergie potentielle d'interaction peut s'écrire : $E_p=-ℰ_{m12}=-μ_0 \: n_1 \: n_2 \: 𝓁_{12} \: S_2 \: I_1 \: I_2$ . • D'après la définition des énergies potentielles : $dW=-dE_p= μ_0 \: n_1 \: n_2 \: S_2 \: I_1 \: I_2 \: d𝓁_{12}$ . La force de Laplace totale a donc pour expression algébrique : $F=-μ_0 \: n_1 \: n_2 \: S_2 \: I_1 \: I_2$ ; il s'agit effectivement d'une force attractive, conformément à la conclusion de la question (2.d). ◊ remarque : pour raisonner ainsi, on peut utiliser des générateurs de courant parfaits, afin de manipuler dans les conditions où les effets magnétiques induits sont sans effet rétroactif sur les courants $I_1$ et $I_2$ (supposés constants) ; il suffit toutefois de raisonner avec un mouvement extrêmement lent, afin que les effets induits soient négligeables.

Freinage par courants de Foucault

• On peut considérer :

$\displaystyle B_r=B_\underline{r} \; \sin(\underline{θ})+B_\underline{θ} \; \cos(\underline{θ})=\frac{3 \,μ_0 \: 𝓂 \;\sin(\underline{θ}) \: \cos(\underline{θ})}{4π\: \underline{r}^3}$ ;
$B_θ=B_\underline{φ}=0$ ;
$\displaystyle B_z=B_\underline{r} \; \cos(\underline{θ})-B_\underline{θ} \; \sin(\underline{θ})=\frac{μ_0 \: 𝓂 .[2 \:\cos^2(\underline{θ})-\sin^2(\underline{θ}) ]}{4π \:\underline{r}^3}$ .

• Le changement de coordonnées (avec origine au centre de l'aimant) correspond par ailleurs à :

$\underline{r}=\sqrt{r^2+z^2}$ ; $\displaystyle \underline{θ}=\arctan⁡\left(\,\frac{r}{z}\,\right)$ ; $\displaystyle \sin(\underline{θ})=\frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}$ ; $\displaystyle \cos(\underline{θ})=\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}$ .

• Ceci donne donc :

$\displaystyle B_r=\frac{3 \,μ_0 \: 𝓂 \:r \:z}{4π \:(r^2+z^2 \,)^{5/2}}$ ; $\displaystyle B_z=\frac{μ_0 \: 𝓂 .[2 \,z^2-r^2 \,]}{4π \:(r^2+z^2 \,)^{5/2}}$ .

2.a.	• L'ensemble du dispositif étant invariant par rotation selon l'axe, les courants induits doivent l'être aussi. • Si on imaginait une contribution axiale (verticale) au courant, cela provoquerait une accumulation de charges opposées à chaque extrémité du tube (isolé). Or, une accumulation infinitésimale suffirait à causer une différence de potentiel importante et un champ électrique qui s'opposerait au courant axial ; on peut donc négliger une telle contribution et se limiter à étudier des courants circulaires horizontaux.

2.b.	• Le flux coupé lors d'une chute de l'aimant d'une hauteur $δz$ est le même que si c'était la spire qui remontait de sa hauteur $δz$ . • En négligeant l'influence de l'épaisseur du tube (on calcule à la limite entre l'aimant et la surface intérieure du tube), le flux magnétique coupé peut s'écrire : $\displaystyle dφ=B_r \: 2π \:R \:δz=\frac{3 \,μ_0 \: 𝓂 \:R^2 \: z}{2 \,(R^2+z^2\, )^{5/2}} \; δz$ . • En notant $δt$ la durée de cette chute, la f.e.m. induite est ainsi : $\displaystyle E=-\frac{δφ}{δt}=-\frac{3 \,μ_0 \: 𝓂 \:R^2 \: z}{2 \,(R^2+z^2 \,)^{5/2}} \; \frac{δz}{δt}$ .

2.c.	• L'épaisseur du tube étant nettement inférieure à son rayon, on peut estimer la résistance d'un conducteur de longueur $2π \:R$ et de section $e \:δz$ : $\displaystyle 𝓇=ρ \: \frac{2π \:R}{e \:δz}$ . • En notant $\displaystyle v=\frac{δz}{δt}$ la vitesse (algébrique) de l'aimant, le courant induit est ainsi : $\displaystyle δi=\frac{E}{𝓇}=-\frac{3 \,μ_0 \: 𝓂 \:e}{4π \:ρ} \, \frac{R \:z \:δz}{(R^2+z^2 \,)^{5/2}} \; v$ .

2.d.	• La force de Laplace sur un élément $d𝓁=R \:dθ$ a une composante radiale causée par $B_z$ mais l'intégration sur la spire est nulle par symétrie (deux éléments opposés ont des contributions opposées). • Cette force a aussi une composante axiale causée par $B_r$ et l'intégration sur la spire se ramène à une somme algébrique. • Au total, selon $(Oz)$ : $\displaystyle δF=-δi \:2π \:R \:B_r=\frac{(3 \,μ_0 \: 𝓂)^2 \; e \:v}{8π \:ρ} \, \frac{R^3 \: z^2 \: δz}{(R^2+z^2 \,)^5}$ . ◊ remarque : cette force est dans le sens du mouvement.

2.e.	• La force exercée au total par le tube sur l'aimant est l'action réciproque de la somme des forces de Laplace ; on peut l'écrire : $\displaystyle F=-\frac{(3 \,μ_0 \: 𝓂)^2 \; e \:v}{8π \:ρ \:R^4} \, ∫_{-∞}^∞ \frac{u^2 \: du}{(1+u^2 \,)^5}$ . ◊ remarque : cette force est toujours opposée au sens du mouvement ; elle exerce un freinage. • Pour calculer l'intégrale $\displaystyle J=∫ \frac{u^2 \: du}{(1+u^2 \,)^5}$ on peut utiliser l'intégration par parties : $\displaystyle ∫ \frac{u^2 \: du}{(1+u^2 \,)^n} =-\frac{1}{2 \,(n-1)} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^{n-1}} +\frac{1}{2 \,(n-1)} \, ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^{n-1}}$ . • On peut aussi combiner avec une simplification opportuniste : $\displaystyle ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^n} =∫ \frac{(1+u^2-u^2 \,) \: du}{(1+u^2 \,)^n} =-∫ \frac{u^2 \: du}{(1+u^2 \,)^n} +∫ \frac{du}{(1+u^2\, )^{n-1}}$ . • Ceci donne : $\displaystyle J=∫ \frac{u^2 \: du}{(1+u^2 \,)^5} =-\frac{1}{8} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^4} +\frac{1}{8} \, ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^4} =-\frac{1}{8} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^4} +\frac{1}{8} \, \left(-∫ \frac{u^2 \: du}{(1+u^2 \,)^4} +∫ \frac{du}{(1+u^2\, )^3} \right)$ ; $\displaystyle J=-\frac{1}{8} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^4} -\frac{1}{8} \, ∫ \frac{u^2 \: du}{(1+u^2 \,)^4} +\frac{1}{8} \, ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^3}$ ; $\displaystyle J=-\frac{1}{8} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^4} -\frac{1}{8} \, \left(-\frac{1}{6} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^3} +\frac{1}{6} \, ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^3} \right)+\frac{1}{8} \, ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^3}$ ; $\displaystyle J=-\frac{1}{8} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^4} +\frac{1}{48} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^3} +\frac{5}{48} \, ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^3}$ ; $\displaystyle J=-\frac{1}{8} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^4} +\frac{1}{48} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^3} +\frac{5}{48} \, \left(-∫ \frac{u^2 \, du}{(1+u^2 \,)^3} +∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^2} \right)$ ; $\displaystyle J=-\frac{1}{8} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^4} +\frac{1}{48} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^3} -\frac{5}{48} \, \left(-\frac{1}{4} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^2} +\frac{1}{4} \, ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^2} \right)+\frac{5}{48} \, ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^2}$ ; $\displaystyle J=-\frac{1}{8} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^4} +\frac{1}{48} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^3} +\frac{5}{192} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^2} +\frac{5}{64} \, ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)^2}$ ; $\displaystyle J=-\frac{1}{8} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^4} +\frac{1}{48} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^3} +\frac{5}{192} \: \frac{u}{(1+u^2 \,)^2} +\frac{5}{64} \, \left(-∫ \frac{u^2 \: du}{(1+u^2 \,)^2} +∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)}\right)$ ; $\displaystyle J=-\frac{1}{8} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^4} +\frac{1}{48} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^3} +\frac{5}{192} \, \frac{u}{(1+u^2 \,)^2} +\frac{5}{128} \, \frac{u}{(1+u^2\,)} +\frac{5}{128} \, ∫ \frac{du}{(1+u^2 \,)}$ . • Les termes $\displaystyle \frac{u}{(1+u^2 \,)^n}$ tendent vers zéro aux limites, donc ne contribuent pas à l'intégrale cherchée : $\displaystyle ∫_{-∞}^∞ \frac{u^2 \; du}{(1+u^2 \,)^5} =\frac{5}{128} \, ∫_{-∞}^∞ \frac{du}{(1+u^2 \,)}=\frac{5}{128} \: \left[\arctan⁡(α) \right]_{-∞}^∞=\frac{5π}{128}$ . Ainsi : $F=-λ \:v$ avec $\displaystyle λ=\frac{45}{1024} \, \frac{(μ_0 \: 𝓂)^2 \: e}{ρ \:R^4}$ .

2.f.	• Le coefficient de frottement “fluide visqueux” est ainsi : $λ=4\text{,}6.{10}^{-17} \: \mathrm{kg.s^{-1}}$ . • La masse de l'aimant est environ : $m=0\text{,}28 \:\mathrm{kg}$ . • En considérant l'aimant initialement immobile, l'équation du mouvement : $m \:\dot{v}+λ \:v=-m \:g$ donne par intégration : $v=v_∞ .\left(1-\mathrm{e}^{-t/τ} \,\right)$ avec une constante de temps $\displaystyle τ=\frac{m}{λ}=6.{10}^{15} \: \mathrm{s}$ et une vitesse limite théorique $v_∞=g \:τ=6.{10}^{14} \: \mathrm{m.s^{-1}}$ . • Ceci montre que le ralentissement est généralement très limité (la limite n'est en pratique jamais atteinte) : il faudrait un aimant de très grand moment dipolaire, tout en restant de masse limitée. ◊ remarque : pour obtenir un effet réglable, mais en outre bien plus efficace qu'avec un aimant permanent, les camions utilisant un ralentisseur à courants de Foucault sont munis d'électro-aimants.