MF. I - DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS


Équation d'Euler

• La résultante des forces pressantes subie par un volume VV de fluide peut s'écrire :  F→=−∬SpdS→=−∭V∇→pdV\overset{→}{F}=-∬_S \: p \;d\overset{→}{S}=-∭_V \,\overset{→}{∇}p \;dV  ( S=∂VS=∂V  est la surface bordant VV ).

Pour une “particule” (volume élémentaire) de fluide, de masse volumique ρρ , le principe fondamental de la dynamique s'écrit (en notations lagrangiennes) :  ρdv→dt=−∇→p+δf→δV\displaystyle ρ \, \frac{d\overset{→}{v}}{dt}=-\overset{→}{∇}p+\frac{δ\overset{→}{f}}{δV}  (où le dernier terme représente la résultante volumique des autres forces, par exemple  δf→δV=ρg→\displaystyle \frac{δ\overset{→}{f}}{δV}=ρ \:\overset{→}{g}  en présence de la seule pesanteur).

◊ remarque : dans cette partie, on se limite à un fluide parfait, “sans” viscosité.

• En notations eulériennes, ceci peut s'écrire (équation d'Euler) :
∂v→∂t+(v→⋅∇→)v→=−1ρ∇→p+δf→δm\displaystyle \frac{∂\overset{→}{v}}{∂t}+\left(\overset{→}{v}⋅\overset{→}{∇} \right) \, \overset{→}{v}=-\frac{1}{ρ} \, \overset{→}{∇}p+\frac{δ\overset{→}{f}}{δm}
où le dernier terme représente la résultante massique des autres forces (par exemple  δf→δm=g→\displaystyle \frac{δ\overset{→}{f}}{δm}=\overset{→}{g}  en présence de la seule pesanteur).

◊ remarque : on peut aussi utiliser  (v→⋅∇→)v→=∇→(v22)−v→×(∇→×v→)\left(\overset{→}{v}⋅\overset{→}{∇} \,\right) \, \overset{→}{v}=\overset{→}{∇}\left(\frac{v^2}{2}\right)-\overset{→}{v} ×\left(\overset{→}{∇} × \overset{→}{v} \right) .

• Pour un fluide parfait, “sans” transfert thermique, ceci peut s'exprimer en bilan thermodynamique en considérant l'enthalpie :  dH=TdS+VdpdH=T\: dS+V \:dp .

Ainsi pour l'enthalpie massique hh dans le cas réversible  ( dS=0dS=0 ) :

∂v→∂t+∇→(v22)−v→×(∇→×v→)=−∇→h+δf→δm \displaystyle \frac{∂\overset{→}{v}}{∂t}+\overset{→}{∇}\left(\frac{v^2}{2}\right)-\overset{→}{v}×\left(\overset{→}{∇}× \overset{→}{v}\right)=-\overset{→}{∇}h+\frac{δ\overset{→}{f}}{δm} .

Relation de Bernoulli

• On considère un fluide parfait soumis à la seule pesanteur, supposée uniforme :  g→=−∇→(gz) \overset{→}{g}=-\overset{→}{∇}(g\:z) .

• Pour un écoulement stationnaire, l'équation se simplifie en projection sur une ligne de courant (vecteur unitaire u→𝓁\overset{→}{u}_𝓁 ) :  u→𝓁⋅∇→(v22)=−u→𝓁⋅∇→(h+gz) \displaystyle \overset{→}{u}_𝓁⋅\overset{→}{∇}\left(\frac{v^2}{2}\right)=-\overset{→}{u}_𝓁⋅\overset{→}{∇}(h+g\:z) .

En intégrant selon une ligne de courant on obtient (relation de Bernoulli) :
v22+h+gz=Cste\displaystyle \frac{v^2}{2}+h+g \:z=Cste  (dépendant de la ligne de courant étudiée).

☞ remarque : pour un écoulement non stationnaire, les lignes de courant ne coïncident généralement pas avec les trajectoires des “particules” de fluide : si une particule a une vitesse v→(t)\overset{→}{v}(t) tangente à une ligne de courant 𝓁(t)𝓁(t) , puis plus tard une vitesse v→(t′)\overset{→}{v}(t'\,) tangente à 𝓁(t′)𝓁(t'\,) , alors généralement  𝓁(t′)≠𝓁(t)𝓁(t'\,)≠𝓁(t) .

Fluide irrotationnel ; écoulement potentiel

• Pour un fluide irrotationnel  ( ∇→×v→=0→\overset{→}{∇} × \overset{→}{v}=\overset{→}{0} )  il existe un potentiel ΦΦ permettant d'exprimer la vitesse :  v→=−∇→Φ\overset{→}{v}=-\overset{→}{∇}Φ  (le rotationnel d'un gradient est toujours nul).

Le raisonnement se généralise alors de façon indépendante des lignes de courant :  −∇→(∂Φ∂t)+∇→(v22)=−∇→(h+gz) \displaystyle -\overset{→}{∇}\left(\frac{∂Φ}{∂t}\right)+\overset{→}{∇}\left(\frac{v^2}{2}\right)=-\overset{→}{∇}(h+g\:z) .

En intégrant selon une ligne quelconque, on peut généraliser la relation de Bernoulli :  −∂Φ∂t+v22+h+gz=Cste \displaystyle -\frac{∂Φ}{∂t}+\frac{v^2}{2}+h+g \:z=Cste  (indépendante de la ligne étudiée).

Fluide incompressible

Équation de continuité

• La densité de courant massique dans un fluide peut s'écrire  j→=ρv→\overset{→}{j}=ρ \:\overset{→}{v}  ;  le débit de masse sortant d'un volume donné est alors :  −dmdt=∬j→⋅dS→{\displaystyle -\frac{dm}{dt}}=∬ \,\overset{→}{j}⋅d\overset{→}{S} .

Ceci peut s'écrire :  −∭∂ρ∂tdV=∭(∇→⋅j→)dV\displaystyle -∭ \frac{∂ρ}{∂t} \, dV=∭ \left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{j} \right) \: dV  (valide pour tout volume) et impose donc :

∂ρ∂t+∇→(ρv→)=0\displaystyle \frac{∂ρ}{∂t}+\overset{→}{∇}(ρ \:\overset{→}{v}\, )=0  (“relation de continuité”).

Fluide incompressible irrotationnel

• D'après la relation de continuité, les fluides incompressibles ( ρ=Csteρ=Cste ) peuvent être caractérisés par la propriété :  ∇→⋅v→=0\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=0 .

Pour un fluide irrotationnel, ceci correspond à un potentiel tel que :  v→=−∇→Φ\overset{→}{v}=-\overset{→}{∇}Φ  avec de plus  ∆Φ=0∆Φ=0  (où ∆∆ est l'opérateur laplacien).

• remarque : en pratique, un fluide rotationnel correspond à des lignes de courant refermées sur elles mêmes.

• On obtient dans ce cas :  ∇→h=1ρ∇→p=∇→(pρ)\displaystyle \overset{→}{∇}h=\frac{1}{ρ} \, \overset{→}{∇}p=\overset{→}{∇}\left(\frac{p}{ρ}\right)  ;  la relation de Bernoulli généralisée peut donc s'écrire :

−∂Φ∂t+v22+pρ+gz=Cste\displaystyle -\frac{∂Φ}{∂t}+\frac{v^2}{2}+\frac{p}{ρ}+g \:z=Cste  (indépendante de la ligne étudiée).

Fluide incompressible (rotationnel)

• La relation  ∇→⋅v→=0\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=0  caractérisant les fluides incompressibles permet d'exprimer la vitesse à l'aide d'un potentiel vecteur A→\overset{→}{A} (la divergence d'un rotationnel est toujours nulle) :  v→=∇→×A→\overset{→}{v}=\overset{→}{∇} × \overset{→}{A} .

Cette méthode n'est toutefois vraiment efficace que pour un écoulement en rotation (de vitesse angulaire Ω→\overset{→}{Ω} ) :  v→=Ω→×OM⟶\overset{→}{v}=\overset{→}{Ω} × \overset{⟶}{OM} ,  donnant :  ∇→×v→=2Ω→\overset{→}{∇} × \overset{→}{v}=2 \:\overset{→}{Ω} .

On obtient en effet dans ce cas :  ∆A→=∇→(∇→⋅A→)−∇→×(∇→×A→)=−2Ω→∆\overset{→}{A}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{A} \,\right)-\overset{→}{∇} × \left(\overset{→}{∇} × \overset{→}{A} \,\right)=-2 \:\overset{→}{Ω} .

◊ remarque : pour un fluide irrotationnel, cela correspond à  ∆A→=∇→(∇→⋅A→)∆\overset{→}{A}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{A} \,\right) .


📖 exercices n° (à suivre... mais cette rubrique n'est pas prioritaire).

Énergie-impulsion d'un fluide parfait

• Si la densité volumique des particules constituant le fluide est 𝓃𝓃 et que l'énergie moyenne par particule est ϵϵ , alors la densité en énergie est  ϵ𝓃ϵ \:𝓃 .

Mais ϵϵ est la première composante d'un quadrivecteur énergie-impulsion et 𝓃𝓃 est de même celle d'un quadrivecteur densité de courant. La grandeur physique décrivant l'énergie-impulsion d'un fluide est ainsi à chercher sous forme d'un tenseur du second ordre (produit tensoriel des deux).

On montre en mécanique relativiste que le tenseur énergie-impulsion d'un fluide s'écrit sous la forme :  Tαβ=(p+ϵ)uαuβ−pηαβT^{αβ}=(p+ϵ) \: u^α \: u^β-p \;η^{αβ}  (avec  pp  et  ϵϵ  mesurées dans le référentiel propre du fluide) où uαu^α est la quadri-vitesse et ηαβη^{αβ} la métrique spatio-temporelle.