DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS - corrigé des exercices


Vidage d'un récipient cylindrique

1.      
 • L'écoulement étant supposé quasi-stationnaire et le liquide incompressible, on peut utiliser la loi de Bernoulli entre la surface libre du liquide et la sortie de l'écoulement :  v22+pρ+gz=Cste\displaystyle \frac{v^2}{2}+\frac{p}{ρ}+g \:z=Cste .
• Ceci peut s'écrire :  p0+12ρv2+ρgz=p0+12ρ𝒱2p_0+\frac{1}{2} ρ \:v^2+ρ \:g \:z =p_0+\frac{1}{2} ρ \:𝒱^2  où  v=−dzdt\displaystyle v=-\frac{dz}{dt}  est la vitesse de descente en surface, tandis que  𝒱=Ds\displaystyle 𝒱=\frac{D}{s}  est la vitesse de l'écoulement (en fonction du débit DD ).
• L'incompressibilité impose  Sv=s𝒱=DS \:v=s \:𝒱=D  donc  v=DS\displaystyle v=\frac{D}{S}  ;  par suite :  v2+2gz=v2.(Ss)2\displaystyle v^2+2 \,g \:z=v^2.\left(\frac{S}{s}\right)^2 .
◊ remarque : la quasi-stationnarité suppose  S≫sS≫s .
• On en déduit :  dzz=−αdt\displaystyle \frac{dz}{\sqrt{z}}=-α \:dt   en posant :  α=2g(Ss)2−1\displaystyle α=\sqrt{\frac{2 \,g}{\left(\frac{S}{s}\right)^2-1}}  ;  ceci donne :  z=(𝒽−α2t)2\displaystyle z=\left(\sqrt{𝒽}-\frac{α}{2} t\right)^2 .


2.      
 • On en déduit la durée de vidage :  t=2𝒽α=2𝒽.((Ss)2−1)g\displaystyle t=\frac{2 \:\sqrt{𝒽}}{α}=\sqrt{\frac{2 \,𝒽.\left(\left(\frac{S}{s}\right)^2-1\right)}{g}} .
• La décroissance correspond à l'allure suivante.

dynFluidesParf_cor_Im/ecoulement_1.png


Écoulement à abaissement uniforme

1.      
 • L'écoulement étant supposé quasi-stationnaire et le liquide incompressible, on peut utiliser la loi de Bernoulli entre la surface libre du liquide et la sortie de l'écoulement :  v22+pρ+gz=Cste\displaystyle \frac{v^2}{2}+\frac{p}{ρ}+g \:z=Cste .
• Ceci peut s'écrire :  p0+12ρv2+ρgz=p0+12ρ𝒱2p_0+\frac{1}{2} ρ \:v^2+ρ \:g \:z =p_0+\frac{1}{2} ρ \:𝒱^2  où  v=−dzdt\displaystyle v=-\frac{dz}{dt}  est la vitesse (constante) de descente en surface, tandis que  𝒱=Ds\displaystyle 𝒱=\frac{D}{s}  est la vitesse de l'écoulement (en fonction du débit DD ).
• L'incompressibilité impose  Sv=s𝒱=DS \:v=s \:𝒱=D  donc  v=DS\displaystyle v=\frac{D}{S}  ;  par suite :  v2+2gz=v2.(Ss)2\displaystyle v^2+2 \,g \:z=v^2.\left(\frac{S}{s}\right)^2 .
◊ remarque : la quasi-stationnarité suppose  S≫sS≫s .
• On en déduit :  S(z)=s.1+2gzv2\displaystyle S(z)=s.\sqrt{1+\frac{2 \,g \:z}{v^2}}  ce qui montre que le problème semble avoir une solution.

2.      
 • En notant rr le rayon du tube d'écoulement, on en déduit :  R(z)=r.1+2gzv24\displaystyle R(z)=r.\,\sqrt[4]{1+\frac{2 \,g \:z}{v^2}} .
• La forme correspond à l'allure suivante ; l'approximation de quasi-stationnarité devient forcément mauvaise sur les tout derniers instants du vidage.

dynFluidesParf_cor_Im/ecoulement_2a.png


Écoulement à débit constant

1.      
 • L'écoulement étant supposé quasi-stationnaire et le liquide incompressible, on peut utiliser la loi de Bernoulli entre la surface libre du liquide et la sortie de l'écoulement :
v22+pρ+gz=Cste\displaystyle \frac{v^2}{2}+\frac{p}{ρ}+g \:z=Cste .
• Ceci peut s'écrire :  p0+12ρv2+ρgz=p0+12ρ𝒱2p_0+\frac{1}{2} ρ \:v^2+ρ \:g \:z =p_0+\frac{1}{2} ρ \:𝒱^2  où  v=−dzdt\displaystyle v=-\frac{dz}{dt}  est la vitesse de descente en surface, tandis que  𝒱=Ds\displaystyle 𝒱=\frac{D}{s}  est la vitesse (constante) de l'écoulement (en fonction du débit DD ).
• L'incompressibilité impose  Sv=s𝒱=DS \:v=s \:𝒱=D  donc  v=DS\displaystyle v=\frac{D}{S}  ;  par suite :  (DS)2+2gz=(Ds)2\displaystyle \left(\frac{D}{S}\right)^2+2 \,g \:z=\left(\frac{D}{s}\right)^2 .
◊ remarque : la quasi-stationnarité suppose  S≫sS≫s .
• On en déduit :  S(z)=s1−2gz𝒱2\displaystyle S(z)=\frac{s}{\sqrt{1-\frac{2 \,g \:z}{𝒱^2}}}  ce qui montre que le problème semble avoir une solution.
◊ remarque : la vitesse d'écoulement est liée à la hauteur 𝒽𝒽 du récipient par la relation :  𝒱2=2g𝒽𝒱^2=2 \,g \:𝒽 ,  ce qui correspond aussi  à la chute libre d'une hauteur 𝒽𝒽 avec vitesse initiale nulle.

2.      
 • En notant r le rayon du tube d'écoulement, on en déduit :  R(z)=r1−2gz𝒱24\displaystyle R(z)=\frac{r}{\sqrt[4]{1-\frac{2 \,g \:z}{𝒱^2}}} .
◊ remarque : la forme correspond à l'allure ci-contre, qui montre le peu d'intérêt du dispositif ; en outre l'hypothèse d'écoulement quasi-stationnaire (et non turbulent) est visiblement inappropriée.


dynFluidesParf_cor_Im/ecoulement_2b.png


Écoulement d'un fluide autour d'une boule en mouvement

1.a.   
• Il faut ne pas confondre le repère (éventuellement mobile) utilisé pour noter les calculs du point de vue mathématique, avec le référentiel par rapport auquel on considère le mouvement. Le mouvement du centre de la boule, par rapport auquel sont centrées les coordonnées sphériques envisagées, n'est pas plus gênant que la variation des vecteurs unitaires de la base sphérique, qui de toute façon dépendent de la position du point considéré. Il faut par contre, évidemment, en tenir compte dans les calculs.


1.b.   
• Le fluide incompressible, caractérisé par  ∇→⋅v→=0\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=0 ,  peut être décrit par un écoulement potentiel :  v→=−∇→Φ\overset{→}{v}=-\overset{→}{∇}Φ  avec  ∆Φ=0∆Φ=0 .
• Puisque l'équation est linéaire, on peut décomposer une solution quelconque comme superposition de solutions particulières. La forme de la boule conduit à raisonner en coordonnées sphériques, les solutions particulières peuvent alors être recherchées sous la forme  Φ(r,θ,φ)=f(r).Y(θ,φ)Φ(r,θ,φ)=f(r).Y(θ,φ) .


1.c.   
• En reportant dans l'expression du laplacien, on peut séparer les variables :
∂∂r(r2∂Φ∂r)+1sin(θ)∂∂θ(sin(θ)∂Φ∂θ)+1sin2(θ)∂2Φ∂φ2=0\displaystyle \frac{∂}{∂r} \left(r^2 \, \frac{∂Φ}{∂r}\right)+\frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \, \frac{∂Φ}{∂θ}\right)+\frac{1}{\sin^2(θ)} \frac{∂^2 Φ}{∂φ^2} =0  ;
Yddr(r2dfdr)+f.(1sin(θ)∂∂θ(sin(θ)∂Y∂θ)+1sin2(θ)∂2Y∂φ2)=0\displaystyle Y \, \frac{d}{dr} \left(r^2 \, \frac{df}{dr}\right)+f.\left(\frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \, \frac{∂Y}{∂θ}\right)+\frac{1}{\sin^2(θ)} \frac{∂^2 Y}{∂φ^2} \right)=0  ;
1fddr(r2dfdr)=−1Y(1sin(θ)∂∂θ(sin(θ)∂Y∂θ)+1sin2(θ)∂2Y∂φ2)\displaystyle \frac{1}{f} \frac{d}{dr} \left(r^2 \, \frac{df}{dr}\right)=-\frac{1}{Y} \left(\frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \, \frac{∂Y}{∂θ}\right)+\frac{1}{\sin^2(θ)} \, \frac{∂^2 Y}{∂φ^2} \right) .
• Puisque le membre de gauche dépend seulement de rr et celui de droite seulement des angles, il ne peut s'agir que d'une constante, par exemple λλ , d'où les équations indiquées.


2.a.   
• L'équation radiale peut s'écrire :  r2d2fdr2+2rdfdr−λf=0\displaystyle r^2 \, \frac{d^2 f}{{dr}^2} +2 \,r \, \frac{df}{dr}-λ \:f=0 ,  équation linéaire à coefficients polynômes. Pour une solution particulière sous la forme rαr^α , ceci impose :  α.(α−1)+2α−λ=0α.(α-1) +2 \,α-λ=0  ;  la constante αα est alors solution de :  α.(α+1)=λα.(α+1)=λ .
• La somme des deux racines étant −1-1 , si on note α′α' l'une, l'autre est  α″=−(α′+1)α″=-(α'+1) .  La solution générale peut donc s'écrire :  f(r)=Arα+Brα+1\displaystyle f(r)=A \:r^α+\frac{B}{r^{α+1}}   (où AA et BB sont deux constantes).
◊ remarque : on peut préciser les racines sous la forme  α=−1±1+4λ2\displaystyle α=\frac{-1±\sqrt{1+4 \,λ}}{2} .
◊ remarque : c'est bien la solution générale puisque l'équation est du second ordre et qu'il y a deux constantes d'intégration.


2.b.   
• La vitesse du fluide doit s'annuler à l'infini, donc il faut se limiter aux exposants strictement négatifs.


3.a.   
• On envisage en pratique un régime laminaire en l'absence de turbulences : cas irrotationnel. L'effet prépondérant dans le mouvement du fluide est dans ce cas le transfert de quantité de mouvement, proportionnel à la vitesse relative (au contraire du régime turbulent, où l'effet prépondérant est associé à un transfert d'énergie cinétique, proportionnel au carré de la vitesse). La transition entre les deux se produit lorsque la vitesse augmente au delà d'une limite caractérisée par le nombre de Reynolds. Donc l'écoulement envisagé correspond logiquement aux faibles vitesses, avec un potentiel linéaire en fonction de 𝓋→\overset{→}{𝓋} .


3.b.   
• La seule façon d'obtenir un potentiel scalaire, linéaire en 𝓋→\overset{→}{𝓋} et de dépendance radiale en  1rα+1\displaystyle \frac{1}{r^{α+1}}   (où on suppose  α+1>0α+1>0 ), consiste à supposer ΦΦ proportionnel à  𝓋→⋅∇→(1rα)\displaystyle \overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{∇}\left(\frac{1}{r^α} \right) .


3.c.   
• En présence de pesanteur, l'équation différentielle étant linéaire, on serait de même amené à ajouter un terme linéaire en g→\overset{→}{g} , donc proportionnel à  g→⋅∇→(1rα)\displaystyle \overset{→}{g}⋅\overset{→}{∇}\left(\frac{1}{r^α} \right) .  Mais un tel terme décrirait un effet de chute d'ensemble du fluide, non pertinent si ce dernier est contenu dans un récipient limité : il apparaît une surpression, conforme à la loi d'Archimède et compensant la pesanteur (la somme des deux effets a une influence nulle sur l'écoulement du fluide).


3.d.   
• La relation  v→⋅u→r=𝓋→⋅u→r\overset{→}{v}⋅\overset{→}{u}_r=\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{u}_r  exprime le fait que la composante radiale de la vitesse du fluide doit être égale à celle du solide : à l'avant, la boule pousse le fluide ; à l'arrière, il n'y a pas d'espace vide entre la boule et le fluide.
◊ remarque : par contre, les composantes tangentielles ne sont généralement pas égales ; le fluide peut “glisser” le long de la surface du solide.


3.e.   
• La forme obtenue pour le potentiel varie comme  cos(θ)\cos(θ)  et est indépendante de φφ .
• Or, l'équation angulaire s'écrit :  1Y(1sin(θ)∂∂θ(sin(θ)∂Y∂θ)+1sin2(θ)∂2Y∂φ2)=−λ\displaystyle \frac{1}{Y} \, \left(\frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \, \frac{∂Y}{∂θ}\right)+\frac{1}{\sin^2(θ)} \, \frac{∂^2 Y}{{∂φ}^2} \right)=-λ .
• En cherchant les solutions sous la forme  Y(θ,φ)=F(θ).G(φ)Y(θ,φ) = F(θ) .G(φ)  on peut séparer les variables :
1F(sin(θ)ddθ(sin(θ)dFdθ)+λsin2(θ)F)=−1Gd2Gdφ2=λφ\displaystyle \frac{1}{F} \, \left(\sin(θ) \, \frac{d}{dθ} \left(\sin(θ) \, \frac{dF}{dθ}\right)+λ \;\sin^2(θ) \; F\right)=-\frac{1}{G} \frac{d^2 G}{{dφ}^2} =λ_φ .
• Les solutions périodiques de  d2Gdφ2+λφG=0\displaystyle \frac{d^2 G}{{dφ}^2} +λ_φ \; G=0  sont de la forme  cos(λφφ)\cos\left(\sqrt{λ_φ} \; φ\right)  ou  sin(λφφ)\sin\left(\sqrt{λ_φ} \; φ\right)  ;  mais on obtient ici une indépendance par rapport à φφ , ce qui correspond à  λφ=0λ_φ=0 .
• Ceci impose donc  1sin(θ)ddθ(sin(θ)dFdθ)+λF=0\displaystyle \frac{1}{\sin(θ)} \frac{d}{dθ} \left(\sin(θ) \, \frac{dF}{dθ}\right)+λ \:F=0 .  Cette équation peut être réécrite avec les notations  ζ=cos(θ)ζ=\cos(θ)  et  F(θ)=P(ζ)F(θ)=P(ζ)  (polynômes de Legendre) :  (1−ζ2)d2Pdζ2−2ζdPdζ+λP=0\displaystyle (1-ζ^2 ) \, \frac{d^2 P}{{dζ}^2} -2 \,ζ \,\frac{dP}{dζ}+λ \,P=0 .
• La forme de la solution variant comme  cos(θ)=ζ\cos(θ)=ζ ,  l'équation se limite à :  −2ζ+λζ=0-2 \,ζ+λ \:ζ=0  c'est à dire  λ=α.(α+1)=2λ=α.(α+1)=2  donc en pratique  α=1α=1 .
◊ remarque : on obtient les racines  α=−1±32α=\frac{-1±3}{2}  ;  α′=−1+32=1>0α'=\frac{-1+3}{2}=1>0  ;  α″=−(α′+1)=−1−32=−2<0α″=-(α'+1)=\frac{-1-3}{2}=-2<0  donnant une dépendance du potentiel en  rα″=1rα′+1=1r2\displaystyle r^{α″}=\frac{1}{r^{α'+1}} =\frac{1}{r^2} .


3.f.   
• On considère le potentiel  Φ=β𝓋→⋅∇→(1r)=−βr2𝓋→⋅u→r=−βr2𝓋cos(θ)\displaystyle Φ=β \;\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{∇}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{β}{r^2} \, \overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{u}_r=-\frac{β}{r^2} \, 𝓋 \; \cos(θ)  ;  ceci donne :
v→=−∇→Φ=−βr3𝓋.[2cos(θ)u→r+sin(θ)u→θ]\displaystyle \overset{→}{v}=-\overset{→}{∇}Φ=-\frac{β}{r^3} \: 𝓋.\left[2 \:\cos(θ) \; \overset{→}{u}_r+\sin(θ) \: \overset{→}{u}_θ \right] .
◊ remarque : le potentiel est effectivement en  1rα+1\displaystyle \frac{1}{r^{α+1}} .
• À la surface de la boule, la condition :  v→⋅u→r=𝓋→⋅u→r\overset{→}{v}⋅\overset{→}{u}_r=\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{u}_r  correspond à :  −2βR3𝓋cos(θ)=𝓋cos(θ)\displaystyle -2 \, \frac{β}{R^3} \: 𝓋 \; \cos(θ)=𝓋 \; \cos(θ)  donc  β=−R32\displaystyle β=-\frac{R^3}{2} .
• D'après  𝓋→=𝓋cos(θ)u→r−𝓋sin(θ)u→θ\overset{→}{𝓋}=𝓋 \; \cos(θ) \; \overset{→}{u}_r-𝓋 \; \sin(θ) \; \overset{→}{u}_θ  on obtient finalement :
v→=R32r3𝓋.[2cos(θ)u→r+sin(θ)u→θ]=R32r3[(3𝓋→⋅u→r)u→r−𝓋→]\displaystyle \overset{→}{v}=\frac{R^3}{2 \,r^3} \, 𝓋.[2 \;\cos(θ) \; \overset{→}{u}_r+\sin(θ) \; \overset{→}{u}_θ ]=\frac{R^3}{2 \,r^3} \: [(3 \;\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{u}_r ) \: \overset{→}{u}_r-\overset{→}{𝓋} \,] .
◊ remarque : cette expression est analogue à celle du dipôle électrostatique ; ce n'est pas indépendant du fait que l'avant de la boule se comporte comme une “source” de liquide (qui est poussé en avant) et que l'arrière se comporte comme un “puits” de liquide (qui s'arrête après avoir contourné la boule).


4.a.   
• La relation de Bernoulli peut s'écrire (en négligeant la pesanteur) :  −∂Φ∂t+v22+pρ=p0ρ\displaystyle -\frac{∂Φ}{∂t}+\frac{v^2}{2}+\frac{p}{ρ}=\frac{p_0}{ρ}  (valeur constante, mesurée à l'infini).


4.b.   
• Le potentiel ΦΦ est exprimé ci-dessus (selon un repère mobile) en un point fixe par rapport à la boule. Pour raisonner en notations eulériennes (en un point fixe par rapport au référentiel), il faut utiliser une dérivée composée :  dΦdt=∂Φ∂t+𝓋→⋅∇→Φ\displaystyle \frac{dΦ}{dt}=\frac{∂Φ}{∂t}+\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{∇}Φ .


4.c.   
• D'après ce qui précède :
Φ=R32r2𝓋→⋅u→r\displaystyle Φ=\frac{R^3}{2 \,r^2} \: \overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{u}_r   ;   dΦdt=R32r2d𝓋→dt⋅u→r\displaystyle \frac{dΦ}{dt}=\frac{R^3}{2 \,r^2} \: \frac{d\overset{→}{𝓋}}{dt}⋅\overset{→}{u}_r   (en un point fixe par rapport à la boule)  ;
∂Φ∂t=dΦdt−𝓋→⋅∇→Φ=R32r2d𝓋→dt⋅u→r+𝓋→⋅v→\displaystyle \frac{∂Φ}{∂t}=\frac{dΦ}{dt}-\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{∇}Φ=\frac{R^3}{2 \,r^2} \: \frac{d\overset{→}{𝓋}}{dt}⋅\overset{→}{u}_r+\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{v}   (en un point fixe par rapport au référentiel)  ;
p=p0−12ρ𝓋2(R32r3)2[3cos2(θ)+1]+ρR32r2d𝓋→dt⋅u→r+ρ𝓋2R32r3[3cos2(θ)−1]\displaystyle p=p_0-\frac{1}{2} ρ \:𝓋^2 \: \left(\frac{R^3}{2 \,r^3}\right)^2 \left[3 \;\cos^2(θ)+1\right]+ρ \, \frac{R^3}{2 \,r^2} \frac{d\overset{→}{𝓋}}{dt}⋅\overset{→}{u}_r+ρ \:𝓋^2 \, \frac{R^3}{2 \,r^3} \, \left[3 \;\cos^2(θ)-1\right]  ;
p=p0+18ρ𝓋2[9cos2(θ)−5]+ρR2d𝓋→dt⋅u→r\displaystyle p=p_0+\frac{1}{8} ρ \:𝓋^2 \: \left[9 \;\cos^2(θ)-5\right]+ρ \, \frac{R}{2} \frac{d\overset{→}{𝓋}}{dt}⋅\overset{→}{u}_r   (à la surface de la boule :  r=Rr=R ).
◊ remarque : dans la dérivation de  𝓋→⋅u→r=𝓋cos(θ)\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{u}_r=𝓋 \; \cos(θ)  en un point fixe, l'angle peut changer sans que u→r\overset{→}{u}_r varie, mais parce que l'axe polaire de direction 𝓋→\overset{→}{𝓋} varie :  d𝓋→dt⋅u→r=d𝓋dtcos(θ)−𝓋sin(θ)dθdt\displaystyle \frac{d\overset{→}{𝓋}}{dt}⋅\overset{→}{u}_r=\frac{d𝓋}{dt} \: \cos(θ)-𝓋 \; \sin(θ) \, \frac{dθ}{dt} .


4.d.   
• La résultante est :  F→=∬pdS→\overset{→}{F}=∬ \,p \:d\overset{→}{S}  avec  dS→=R2sin(θ)dθdφu→rd\overset{→}{S}=R^2 \; \sin(θ) \: dθ \;dφ \;\overset{→}{u}_r  ;  l'intégration des termes constants donne forcément une contribution nulle par symétrie.
• Ainsi :  F→=−98ρ𝓋2R2∬cos2(θ)sin(θ)u→rdθdφ⋯\overset{→}{F}=-\frac{9}{8} ρ \:𝓋^2 \: R^2 \: ∬ \,\cos^2(θ) \; \sin(θ) \; \overset{→}{u}_r \; dθ \;dφ \:\: ⋯
−ρR32∬[d𝓋dtcos(θ)−𝓋sin(θ)dθdt]sin(θ)u→rdθdφ\displaystyle -ρ \: \frac{R^3}{2} \, ∬ \left[\frac{d𝓋}{dt} \, \cos(θ)-𝓋 \;\sin(θ) \, \frac{dθ}{dt}\right] \; \sin(θ) \; \overset{→}{u}_r \; dθ \;dφ .
• Par symétrie, l'intégration sur φφ donne une contribution nulle perpendiculairement à l'axe polaire ; le premier terme est donc ainsi nul :  𝓋∬cos2(θ)sin(θ)u→rdθdφ=2π𝓋→∫0πcos3(θ)sin(θ)dθ=0→𝓋 \:∬ \,\cos^2(θ) \; \sin(θ) \; \overset{→}{u}_r \; dθ \;dφ=2π\:\overset{→}{𝓋} \: ∫_0^π \,\cos^3(θ) \; \sin(θ) \; dθ=\overset{→}{0} .
• Dans le second terme :
𝓋∬d𝓋dtcos(θ)sin(θ)u→rdθdφ=2π𝓋→d𝓋dt∫0πcos2(θ)sin(θ)dθ=4π3𝓋→d𝓋dt\displaystyle 𝓋 \:∬ \frac{d𝓋}{dt} \: \cos(θ) \; \sin(θ) \; \overset{→}{u}_r \; dθ \;dφ=2π \:\overset{→}{𝓋} \, \frac{d𝓋}{dt} \: {\textstyle ∫_0^π } \, \cos^2(θ) \; \sin(θ) \; dθ=\frac{4π}{3} \, \overset{→}{𝓋} \, \frac{d𝓋}{dt}  ;
∬𝓋sin2(θ)dθdtu→rdθdφ=2π𝓋→dθdt∫0πcos(θ)sin2(θ)dθ=0→\displaystyle ∬ 𝓋 \;\sin^2(θ) \: \frac{dθ}{dt} \, \overset{→}{u}_r \; dθ \;dφ=2π\: \overset{→}{𝓋} \, \frac{dθ}{dt} \: {\textstyle ∫_0^π }\,\cos(θ) \;\sin^2(θ) \; dθ=\overset{→}{0} .
• Finalement la force de traînée a pour expression :  F→=−ρ2πR33d𝓋dt𝓋→𝓋\displaystyle \overset{→}{F}=-ρ \, \frac{2π \:R^3}{3} \, \frac{d𝓋}{dt} \, \frac{\overset{→}{𝓋}}{𝓋}  (dépendant de la projection de d𝓋→dt\displaystyle \frac{d\overset{→}{𝓋}}{dt} sur la direction de 𝓋→\overset{→}{𝓋} ).
◊ remarque : dans ce calcul, on a omis l'effet de la pesanteur ; pour en tenir compte il suffirait d'augmenter la pression d'un terme correspondant dont l'intégrale redonnerait la poussée d'Archimède classique.


4.e.   
• Dans le calcul précédent, le terme proportionnel à 𝓋2𝓋^2 est nul car il décrit deux effets qui se compensent : le fluide à l'avant de la boule doit subir une surpression pour être mis en mouvement ; mais, après avoir contourné la boule, ce même fluide doit aussi subir une surpression pour être ralenti et s'immobiliser.
◊ remarque : ceci est lié à la vitesse d'écoulement, indépendamment de l'accélération de la boule.
• Au contraire, le terme proportionnel à d𝓋dt\displaystyle \frac{d𝓋}{dt} décrit le fait que l'écoulement du fluide doit être globalement accéléré si le mouvement de la boule l'est ; c'est de ce terme que vient la force de traînée.
◊ remarque : on constate que l'effet de l'accélération ne se fait sentir que dans la direction de la vitesse, ce qui n'est pas évident a priori ; on peut toutefois concevoir qu'il n'y ait pas d'accélération “en rotation” du fluide : au lieu de déplacer le même fluide en rotation, c'est d'autre fluide (décalé d'un certain angle) qui est mis en mouvement (la situation est alors probablement différente en tenant compte de la viscosité).
☞ remarque : la “poussée d'Archimède” dans le cas statique est une force opposée au poids du fluide “déplacé” (c'est-à-dire “à la place” duquel se solide est introduit) ; cette force, non calculée ici puisque la pesanteur a été supposée sans effet, revient à remplacer la masse pesante de la boule par une masse diminuée de celle du fluide déplacé :  m−mdm-m_d  ;  l'effet considéré ici montre qu'en outre, dans les situations hors d'équilibre, le système déplacé n'est pas la boule mais l'ensemble {boule + fluide} ; dans le cas d'un mouvement rectiligne, ceci revient à remplacer la masse inerte de la boule par une masse augmentée de celle du fluide entrainé :  m+mem+m_e  ;  pour une boule dans un fluide parfait, on obtient ci-dessus  me=12mdm_e=\frac{1}{2} m_d  ;  cet effet (souvent non négligeable) est hélas ignoré par de très nombreux manuels scolaires !


Lignes de courant dans un dièdre

1.a.   
• Le fluide incompressible, caractérisé par  ∇→⋅v→=0\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=0 ,  peut être décrit par un écoulement potentiel :  v→=−∇→Φ\overset{→}{v}=-\overset{→}{∇}Φ  avec  ∆Φ=0∆Φ=0 .  On utilise des coordonnées cylindriques dont l'axe cylindrique (Oz)(Oz) correspond à l'arête du dièdre.
• L'écoulement selon un plan perpendiculaire à l'arête correspond à :  z=Cstez=Cste  et  vz=−∂Φ∂z=0\displaystyle v_z=-\frac{∂Φ}{∂z}=0 .  On cherche donc les solutions sous la forme  Φ(r,θ)Φ(r,θ) .
• L'équation selon (Orθ)(Orθ) peut donc s'écrire :  1r∂∂r(r∂Φ∂r)+1r2∂2Φ∂θ2=0\displaystyle \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \,\frac{∂Φ}{∂r}\right)+\frac{1}{r^2} \frac{∂^2 Φ}{{∂θ}^2} =0  ;  on peut chercher les solutions sous la forme  Φ(r,θ)=F(r).G(θ)Φ(r,θ)=F(r).G(θ)   en séparant les variables :  1F(r∂∂r(rdFdr))=−1Gd2Gdθ2\displaystyle \frac{1}{F} \,\left(r \frac{∂}{∂r} \left(r \,\frac{dF}{dr}\right)\right)=-\frac{1}{G} \, \frac{d^2 G}{{dθ}^2} .
• Puisque les deux membres s'expriment uniquement en fonction de variables indépendantes, ils correspondent forcément à une constante. L'équation angulaire est donc de la forme :  d2Gdθ2+λG=0\displaystyle \frac{d^2 G}{{dθ}^2} +λ \:G=0 .
• Selon la valeur de λλ les solutions sont des combinaisons d'exponentielles ou de sinusoïdes, mais ici :
  • la composante vθv_θ déduite de ∂Φ∂θ\displaystyle \frac{∂Φ}{∂θ} doit s'annuler sur la paroi, pour  θ=0θ=0  et  θ=αθ=α  ;
  • la solution plausible est donc de la forme :  G∝cos(βθ)G∝\cos(β \:θ)  avec  λ=β2λ=β^2  et  β=πα\displaystyle β=\frac{π}{α} .
• L'équation radiale est alors de la forme :  rddr(rdFdr)−λF=0\displaystyle r \frac{d}{dr} \left(r \,\frac{dF}{dr}\right)-λ \:F=0 .  On peut chercher une solution particulière sous la forme rκr^κ , ce qui impose :  κ2=λκ^2=λ   et   F=Arβ+Br−βF=A \:r^β+B \:r^{-β} .
◊ remarque : étant donné qu'on obtient deux constantes d'intégration pour une équation différentielle linéaire du second ordre, cette solution est la plus générale.
• Pour  α<πα<π  l'arête impose des conditions d'arrêt ; il faut donc que la vitesse s'y annule : ceci donne finalement :  Φ=Arβcos(βθ)Φ=A \:r^β \; \cos(β \:θ) .  La constante d'intégration ne peut pas être déterminée car l'énoncé ne précise pas de conditions aux limites.
• On en déduit l'expression de la vitesse :  v→=−∇→Φ=Aβrβ−1[cos(βθ)u→r−sin(βθ)u→θ]\overset{→}{v}=-\overset{→}{∇}Φ=A \:β \:r^{β-1} \: \left[\cos(β \:θ) \; \overset{→}{u}_r-\sin(β \:θ) \; \overset{→}{u}_θ \right] .
• Pour  α>πα>π  on peut de même raisonnablement proposer par analogie (et par continuité pour le cas  α=πα=π ) :  Φ=Arβcos(βθ)Φ=A \:r^β \; \cos(β \:θ)   et   v→=Aβrβ−1[cos(βθ)u→r−sin(βθ)u→θ]\overset{→}{v}=A \:β \:r^{β-1} \: \left[\cos(β \:θ) \; \overset{→}{u}_r-\sin(β \:θ) \; \overset{→}{u}_θ \right] ,  mais cela donne une limite infinie pour la vitesse au niveau de l'arête.  Ce comportement vient de la modélisation idéalisée d'une arête parfaitement anguleuse : en réalité, ou bien il y a un léger arrondi et la limite  r=0r=0  n'est pas atteinte, ou bien il y a un léger décollement des lignes de courant (la vitesse du fluide a une norme qui doit augmenter pour passer l'obstacle et elle ne peut pas s'annuler, or la direction ne peut pas changer brutalement sans annulation de la norme).


1.b.   
• Les lignes de courant, parallèles au vecteur vitesse, sont perpendiculaires à l'axe (Oz)(Oz) et correspondent à :  drcos(βθ)=−rdθsin(βθ)\displaystyle \frac{dr}{\cos(β \:θ)} =-\frac{r \:dθ}{\sin(β \:θ)} .  Elles ont donc des équations de la forme :  βln(r)+ln(sin(βθ))=Csteβ \; \ln(r)+\ln(\sin(β \:θ) )=Cste ,  ou encore :  rβsin(βθ)=Cster^β \; \sin(β \:θ)=Cste .

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2.a.   
• L'écoulement d'un fluide “franchissant” l'arête correspond à un champ de vitesse indépendant de zz (invariance par translation parallèlement à l'arête) :  v→=v→(r,θ)\overset{→}{v}=\overset{→}{v}(r,θ) .
◊ remarque : ceci ne signifie pas que la vitesse d'une particule de fluide (description lagrangienne) reste constante lorsque la coordonnée de particule varie au cours du mouvement, car la vitesse dépend de rr et θθ , qui varient lors du mouvement ; il s'agit ici d'une description eulérienne.
• En particulier, l'invariance par translation impose  vz=−∂Φ∂z]r,θ=vz(r,θ)\displaystyle v_z=-\left. \frac{∂Φ}{∂z}\right]_{r,θ}=v_z (r,θ)  soit une constante en tant que fonction de zz (dépendant par contre de rr et θθ ). Ceci correspond à chercher les solutions sous la forme affine par rapport à zz :  Φ(r,θ,z)=Φ1(r,θ)z+Φ0(r,θ)Φ(r,θ,z)=Φ_1 (r,θ) \;z+Φ_0 (r,θ) .
• On obtient alors :  vr=−z∂Φ1∂r]θ−∂Φ0∂r]θ=vr(r,θ)\displaystyle v_r=-z \;\left.\frac{∂Φ_1}{∂r}\right]_θ-\left. \frac{∂Φ_0}{∂r}\right]_θ=v_r (r,θ)   et   vθ=−zr∂Φ1∂θ]r−1r∂Φ0∂θ]r=vθ(r,θ)\displaystyle v_θ=-\frac{z}{r} \, \left. \frac{∂Φ_1}{∂θ}\right]_r-\frac{1}{r} \, \left. \frac{∂Φ_0}{∂θ}\right]_r=v_θ (r,θ)  (constantes en tant que fonctions de zz ) ; ceci impose  ∂Φ1∂r]θ=0\displaystyle \left. \frac{∂Φ_1}{∂r}\right]_θ=0   et   ∂Φ1∂θ]r=0\displaystyle \left. \frac{∂Φ_1}{∂θ}\right]_r=0 ,  c'est-à-dire que Φ1Φ_1 est une constante (qu'on peut noter −vz-v_z comme la suite le justifie) :  Φ(r,θ,z)=−vzz+Φ0(r,θ)Φ(r,θ,z)=-v_z \; z+Φ_0 (r,θ) .
◊ remarque : on aurait pu essayer de séparer les variables en cherchant des solutions particulières sous la forme d'un produit  f(r,θ).h(z)f(r,θ).h(z)  ;  toutefois, si cette méthode peut donner des solutions satisfaisantes du point de vue mathématique, elle peut n'aboutir à aucune solution satisfaisante du point de vue physique ; la forme de la solution précédente montre que c'est ici le cas.
• L'équation de Laplace étant linéaire, ceci se ramène à considérer séparément les deux termes ; on obtient ainsi (d'après la question précédente) :  Φ0(r,θ)=Arβcos(βθ)Φ_0 (r,θ)=A \:r^β \; \cos(β \:θ) .
• On en déduit l'expression de la vitesse :  v→=−∇→Φ=Aβrβ−1[cos(βθ)u→r−sin(βθ)u→θ]+vzu→z\overset{→}{v}=-\overset{→}{∇}Φ=A \:β \:r^{β-1} \: \left[\cos(β \:θ) \; \overset{→}{u}_r-\sin(β \:θ) \; \overset{→}{u}_θ \right]+v_z \: \overset{→}{u}_z .


2.b.   
• En projection sur un plan perpendiculaire à l'axe (Oz)(Oz) les lignes de courant r(θ)r(θ) sont les mêmes que celles de la question précédente.
• Ayant déterminé r(θ)r(θ) d'après la forme :  rβsin(βθ)=r0βr^β \; \sin(β \:θ)=r_0^{\:β}  et en posant  A′=vzr02−βAβ\displaystyle A'=\frac{v_z \:r_0^{\:2-β}}{A \:β} ,  l'étude de z(θ)z(θ) donne par ailleurs :  dzvz=−r2−βdθAβsin(βθ)\displaystyle \frac{dz}{v_z} =-\frac{r^{2-β} \; dθ}{A \:β \;\sin(β \:θ)}   ;   dz=−A′.(sin⁡(βθ))−2/βdθdz=-A'.(sin⁡(β \:θ) )^{-2/β} \; dθ .
• Il n'y a pas d'intégration analytique, mais on peut résoudre numériquement, par exemple par la méthode d'Euler. Cela est d'autant plus facile que l'expression ne dépend pas explicitement de zz et que toutes les courbes se déduisent par simple proportionnalité.
• Pour  α=πα=π  la variation décrit simplement l'arc-tangente du déplacement axial par rapport au déplacement angulaire (les lignes de courant sont des droites, parcourues à vitesse constante ; l'effet angulaire est d'autant plus marqué pour le fluide passant près de l'arête).
• Pour  α>πα>π  la variation angulaire est d'autant plus accentuée que le fluide passe près de l'arête (et tend même vers l'infini si l'arête est “parfaitement” anguleuse).
• Pour  α<π2α<\frac{π}{2}  la variation angulaire est d'autant plus faible que le fluide passe près de l'arête (et tend même vers zéro si l'arête, “parfaitement” anguleuse, impose un “point d'arrêt).
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◊ remarque : pour  α<π2α<\frac{π}{2}  les lignes de courant semblent tendre vers un zz limite près de la surface.


3.a.   
◊ remarque : de même que la description de la vitesse à l'aide d'un potentiel scalaire comporte une analogie avec l'électrostatique, l'utilisation d'un potentiel vecteur admet une analogie avec la magnétostatique.
• Pour un écoulement irrotationnel, on peut chercher le potentiel vecteur 𝒜→\overset{→}{𝒜} comme solution de l'équation :  ∆𝒜→=∇→(∇→⋅𝒜→) ∆\overset{→}{𝒜}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{𝒜}\right) .
• D'après les symétries du dispositif, on peut chercher les solutions sous la forme  𝒜→=𝒜zu→z\overset{→}{𝒜}=𝒜_z \; \overset{→}{u}_z  (dans la suite, on omet l'indice zz pour simplifier). Ceci correspond à :  0=∂2𝒜∂r∂z\displaystyle 0=\frac{∂^2 𝒜}{∂r \:∂z}  ;  0=1r∂2𝒜∂θ∂z\displaystyle 0=\frac{1}{r} \frac{∂^2 𝒜}{∂θ \:∂z}  ;  ∆𝒜=∂2𝒜∂z2\displaystyle ∆𝒜=\frac{∂^2 𝒜}{{∂z}^2} .
• La première équation montre que  ∂𝒜∂r=f0(r,θ)\displaystyle \frac{∂𝒜}{∂r}=f_0 (r,θ)  dont on déduit :  𝒜=F0(r,θ)+G0(z,θ)𝒜=F_0(r,θ)+G_0 (z,θ) .  Ceci impose par ailleurs  ∂𝒜∂z=g0(z,θ)\displaystyle \frac{∂𝒜}{∂z}=g_0 (z,θ)  où la seconde équation impose  g0(z,θ)=g0(z)g_0 (z,θ)=g_0 (z)  puis finalement en reportant :  𝒜=F0(r,θ)+G0(z)𝒜=F_0(r,θ)+G_0 (z) .
• Pour un écoulement perpendiculaire à l'arête, la vitesse est  v→=∇→×𝒜→=1r∂𝒜∂θu→r−∂𝒜∂ru→θ\displaystyle \overset{→}{v}=\overset{→}{∇} × \overset{→}{𝒜}=\frac{1}{r} \frac{∂𝒜}{∂θ} \, \overset{→}{u}_r-\frac{∂𝒜}{∂r} \, \overset{→}{u}_θ .  La forme précédente montre que G0(z)G_0 (z) n'intervient pas et qu'on peut se limiter à rechercher les solutions sous la forme 𝒜(r,θ)𝒜(r,θ) .  La troisième équation donne donc finalement :  ∆𝒜→=1r∂∂r(r∂𝒜∂r)+1r2∂2𝒜∂θ2=0\displaystyle ∆\overset{→}{𝒜}=\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \,\frac{∂𝒜}{∂r}\right)+\frac{1}{r^2} \frac{∂^2 𝒜}{{∂θ}^2} =0 .
• Par analogie à la question (1), compte tenu du fait que la composante vθv_θ déduite de −∂𝒜∂r\displaystyle -\frac{∂𝒜}{∂r} doit s'annuler sur la paroi, pour  θ=0θ=0  et  θ=αθ=α ,  on aboutit à :  𝒜=Arβsin(βθ)𝒜=A \:r^β \; \sin(β \:θ) .
• On en déduit l'expression de la vitesse :  v→=∇→×𝒜→=Aβrβ−1[cos(βθ)u→r−sin(βθ)u→θ]\overset{→}{v}=\overset{→}{∇} × \overset{→}{𝒜}=A \:β \:r^{β-1} \: \left[\cos(β \:θ) \; \overset{→}{u}_r-\sin(β \:θ) \; \overset{→}{u}_θ \right] .


3.b.   
• On obtient les lignes de courant de la même façon que dans la question (1), mais on peut remarquer qu'elles correspondent à des équations de la forme  𝒜=Cste𝒜=Cste .


3.c.   
• L'écoulement d'un fluide “franchissant” l'arête correspond à un champ de vitesse indépendant de zz (invariance par translation parallèlement à l'arête) :  v→=v→(r,θ)\overset{→}{v}=\overset{→}{v}(r,θ) .
• Les équations étant linéaires, on peut décomposer la solution en une somme de ses projections parallèlement et perpendiculairement à l'arête. Cette dernière partie suit les mêmes équations que précédemment et est donc de la même forme.
• La projection selon l'arête correspond à  vz=1r(∂(r𝒜θ)∂r−∂𝒜r∂θ)\displaystyle v_z=\frac{1}{r} \,\left( \frac{∂\left(r \:𝒜_θ \right)}{∂r}-\frac{∂𝒜_r}{∂θ}\right)  et peut être décrite par un potentiel vecteur perpendiculaire à l'arête :  𝒜→=𝒜ru→r+𝒜θu→θ\overset{→}{𝒜}=𝒜_r \; \overset{→}{u}_r+𝒜_θ \; \overset{→}{u}_θ .
• Une vitesse parallèle à l'arête correspond à :  vr=−∂𝒜θ∂z=0\displaystyle v_r=-\frac{∂𝒜_θ}{∂z}=0   et   vθ=∂𝒜r∂z=0\displaystyle v_θ=\frac{∂𝒜_r}{∂z}=0  ;  donc le potentiel vecteur associé est indépendant de zz .
• Pour un écoulement irrotationnel, on peut chercher le potentiel vecteur comme solution de l'équation :  ∆𝒜→=∇→(∇→⋅𝒜→) ∆\overset{→}{𝒜}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{𝒜}\right) .  De façon inattendue, les propriétés associées à cette loi sont plus faciles à exploiter en coordonnées cartésiennes :
∂2𝒜x∂x2+∂2𝒜x∂y2=∂∂x(∂𝒜x∂x+∂𝒜y∂y)\displaystyle \frac{∂^2 𝒜_x}{{∂x}^2} +\frac{∂^2 𝒜_x}{{∂y}^2} =\frac{∂}{∂x} \left(\frac{∂𝒜_x}{∂x}+\frac{∂𝒜_y}{∂y}\right)  ;  ∂∂y(∂𝒜x∂y−∂𝒜y∂x)=0\displaystyle \frac{∂}{∂y} \left(\frac{∂𝒜_x}{∂y}-\frac{∂𝒜_y}{∂x}\right)=0  ;  vz(x,y)=vz(x)v_z (x,y)=v_z (x)  ;
∂2𝒜y∂x2+∂2𝒜y∂y2=∂∂y(∂𝒜x∂x+∂𝒜y∂y)\displaystyle \frac{∂^2 𝒜_y}{{∂x}^2} +\frac{∂^2 𝒜_y}{{∂y}^2} =\frac{∂}{∂y} \left(\frac{∂𝒜_x}{∂x}+\frac{∂𝒜_y}{∂y}\right)  ;  ∂∂x(∂𝒜y∂x−∂𝒜x∂y)=0\displaystyle \frac{∂}{∂x} \left(\frac{∂𝒜_y}{∂x}-\frac{∂𝒜_x}{∂y}\right)=0  ;  vz(x)=vzv_z (x)=v_z  (constante).
• En reportant dans  ∂(r𝒜θ)∂r−∂𝒜r∂θ=rvz\displaystyle \frac{∂\left(r \:𝒜_θ \right)}{∂r}-\frac{∂𝒜_r}{∂θ}=r \;v_z  on constate qu'on peut choisir arbitrairement  𝒜r=0𝒜_r=0 ,  ce qui impose  𝒜θ=r2vz+C(θ)r\displaystyle 𝒜_θ=\frac{r}{2} \, v_z+\frac{C(θ)}{r}  où la fonction C(θ)C(θ) peut être choisie nulle arbitrairement.
• On obtient donc finalement au total :  𝒜→=r2vzu→θ+Arβsin(βθ)u→z\displaystyle \overset{→}{𝒜}=\frac{r}{2} \, v_z \; \overset{→}{u}_θ+A \:r^β \; \sin(β \:θ) \; \overset{→}{u}_z .
• On en déduit l'expression de la vitesse :  v→=∇→×𝒜→=Aβrβ−1[cos(βθ)u→r−sin(βθ)u→θ]+vzu→z\overset{→}{v}=\overset{→}{∇} × \overset{→}{𝒜}=A \:β \:r^{β-1} \: \left[\cos(β \:θ) \; \overset{→}{u}_r-\sin(β \:θ) \; \overset{→}{u}_θ \right]+v_z \; \overset{→}{u}_z .


Impact d'un jet de fluide sur une plaque

1.      
 • En notant ρρ la masse volumique du fluide, l'équation d'Euler peut s'écrire :  ρdv→dt=−∇→p\displaystyle ρ \: \frac{d\overset{→}{v}}{dt}=-\overset{→}{∇}p .  Si l'effet de la pesanteur est négligeable la vitesse reste horizontale et la pression n'a pas de variation verticale, donc elle est partout égale à la pression p0p_0 aux limites.
◊ remarque : ceci n'implique pas que la vitesse ait la même norme sur toutes les lignes de courant.

2.      
 • On raisonne sur le moment algébrique des forces par rapport à l'axe. Les forces pressantes ont un moment total nul puisque la pression est uniforme.
• Le moment du poids de la plaque est  −mg𝓁2sin(α)\displaystyle -m \:g \, \frac{𝓁}{2} \: \sin(α) .
• Pour un fluide parfait, l'impulsion tangentielle à la plaque est conservée ; la composante normale est annulée par l'interaction. En notant vv la vitesse incidente du fluide, la force correspondante (quantité de mouvement par quantité de temps) est  Dvcos(α)D \:v \; \cos(α)  et son moment est  Dvcos(α)hcos(α)=Dvh\displaystyle D \:v \; \cos(α) \, \frac{h}{\cos(α)} =D \:v \:h .  Les flux sortants ne contribuent pas.
• La condition d'équilibre est donc :  mg𝓁2sin(α)=Dvh\displaystyle m \:g \, \frac{𝓁}{2} \; \sin(α)=D \:v \:h  donnant :  sin(α)=2Dvhmg𝓁\displaystyle \sin(α)=\frac{2 \,D \:v \:h}{m \:g \:𝓁} .

3.      
 • Le débit incident d'impulsion tangentielle est  Dvsin(α)D \:v \; \sin(α)  ;  le débit sortant est  D1v1−D2v2D_1 \: v_1-D_2 \: v_2  (en notant l'indice 1 vers le bas).
• Pour une pression uniforme et un poids négligeable du fluide, la relation de Bernoulli décrit la conservation de l'énergie cinétique selon les lignes de courant de chaque flux (et non pour l'ensemble puisqu'il y a une action normale de la plaque) :  12ρv12=12ρv2\frac{1}{2} ρ \:v_1^{\:2}=\frac{1}{2} ρ \:v^2  et  12ρv22=12ρv2\frac{1}{2} ρ \:v_2^{\:2}=\frac{1}{2} ρ \:v^2 .  Ainsi  v=v1=v2v=v_1=v_2 .
◊ remarque : une partie de l'énergie cinétique décrite “globalement” par le centre d'inertie du fluide incident a donc disparu, tout en étant conservée au niveau des “particules” de fluide sortant ; c'est caractéristique des systèmes déformables (et conduit ensuite à la notion d'énergie interne pour les constituants microscopiques).
• La conservation de l'impulsion impose donc :  Dsin(α)=D1−D2D \;\sin(α)=D_1-D_2 .  Puisque par ailleurs  D=D1+D2D=D_1+D_2  on en déduit :  D1=D1+sin(α)2\displaystyle D_1=D \: \frac{1+\sin(α)}{2}   et   D2=D1−sin(α)2\displaystyle D_2=D \: \frac{1-\sin(α)}{2} .



Écoulement dans un canal

1.      
 • Le débit volumique (uniforme) est :  D=h𝓁vD=h \:𝓁 \:v .

2.      
 • En notant p0p_0 la pression extérieure et ρρ la masse volumique, la loi de Bernoulli peut s'écrire selon une ligne de courant :  pρg+v22g+z=Cste\displaystyle \frac{p}{ρ \:g}+\frac{v^2}{2 \,g}+z=Cste .  En particulier en surface  p0ρg+v22g+h=Cste\displaystyle \frac{p_0}{ρ \:g}+\frac{v^2}{2 \,g}+h=Cste  ; en notant  h0=Cste−p0ρg\displaystyle h_0=Cste-\frac{p_0}{ρ \:g}   on obtient  v22g+h=h0\displaystyle \frac{v^2}{2 \,g}+h=h_0  et  v=2g.(h0−h)v=\sqrt{2 \,g.(h_0-h)} .

3.      
 • On peut écrire  q(h)=h.2g.(h0−h)q(h)=h .\sqrt{2 \,g.(h_0-h)}  donc  dqdh=2g.(h0−h))−gh2g.(h0−h)=g.(2h0−3h)2g.(h0−h)\displaystyle \frac{dq}{dh}=\sqrt{2 \,g.(h_0-h)} )-\frac{g \:h}{\sqrt{2 \,g.(h_0-h)}}=\frac{g.(2 \,h_0-3 \,h)}{\sqrt{2 \,g.(h_0-h)}} .
• Cette dérivée s'annule pour  h=hc=23h0h=h_c=\frac{2}{3} h_0  ;  elle est positive pour  h<hch<h_c  et négative pour  h>hc h>h_c  ; ceci donne un maximum :  qm=q(hc)=g(23h0)3/2q_m=q(h_c)=\sqrt{g} \:\: \left(\frac{2}{3} h_0 \right)^{3/2} .
• Pour un canal de largeur 𝓁𝓁 constante, cela met en évidence deux régimes d'écoulement possibles :
  • un régime “fluvial” à grande profondeur et faible vitesse pour  h>hc h>h_c  ;
  • un régime “torrentiel” à faible profondeur et grande vitesse pour  h<hch<h_c .
• Puisque le débit DD est uniforme, cela suppose que la largeur 𝓁𝓁 du canal passe par un minimum correspondant ; c'est le rétrécissement qui cause le régime “fluvial” par retenue en amont et l'élargissement qui libère le régime “torrentiel” en aval. Bien qu'intéressant, cela décrit un cas trop particulier.
◊ remarque : en réalité la modélisation semble trop simpliste ; en particulier pour une largeur constante, rien n'interdirait à une couche en surface d'aller plus vite en prenant un régime “torrentiel” et la vitesse semble ne pas devoir être uniforme sur toute la section.

4.      
 • On peut proposer une description potentielle  v→=v→(x,z)=−∇→Φ(x,z)\overset{→}{v}=\overset{→}{v}(x,z)=-\overset{→}{∇}Φ(x,z) .  On cherche alors les solutions de  ∆Φ=∂2Φ∂x2+∂2Φ∂z2=0\displaystyle ∆Φ=\frac{∂^2 Φ}{{∂x}^2} +\frac{∂^2 Φ}{{∂z}^2} =0 .
• En supposant qu'il existe des solutions de la forme  Φ(x,z)=F(x)G(z)Φ(x,z)=F(x) \:G(z)  on obtient une séparation des variables :  1Fd2Fdx2=−1Gd2Gdz2=A=Cste\displaystyle \frac{1}{F} \, \frac{d^2 F}{{dx}^2} =-\frac{1}{G} \, \frac{d^2 G}{{dz}^2} =A=Cste  puisque le premier terme ne dépend que de xx et le second seulement de zz .
• Les solutions de  d2Fdx2−AF=0\displaystyle \frac{d^2 F}{{dx}^2} -A \:F=0  pour  A=λ2>0A=λ^2>0  sont des exponentielles et peuvent convenir pour un comportement régulier au long du canal. Les solutions de  d2Gdz2+AG=0\displaystyle \frac{d^2 G}{{dz}^2} +A \:G=0  sont alors des sinusoïdes pour le comportement selon la profondeur, ce qui semble adapté à l'annulation de  vz=−FdGdz\displaystyle v_z=-F \, \frac{dG}{dz}  pour  z=0z=0 .
• Un écoulement d'amont en aval correspondrait ainsi à :
Φ=Φ0eλxcos(λz)Φ=Φ_0 \; \mathrm{e}^{λx} \; \cos(λ \:z)  avec  λ>0λ>0  relativement petit donnant vv croissant vers l'aval ;
vx=−GdFdx=v0eλxcos(λz)\displaystyle v_x=-G \, \frac{dF}{dx}=v_0 \; \mathrm{e}^{λx} \; \cos(λ \:z)  avec  v0=−λΦ0>0v_0=-λ \:Φ_0>0  ;  le maximum au fond est peu logique ;
vz=−v0eλxsin(λz)v_z=-v_0 \; \mathrm{e}^{λx} \; \sin(λ \:z)  ;  le signe négatif est correct.
• On peut alors essayer  A=−λ2<0A=-λ^2<0  ;  l'annulation de vzv_z au fond nécessite alors GG en  cosh(λz)\cosh(λ\: z) . On obtient alors pour FF une solution sinusoïdale dont une demi-période peut décrire un écoulement d'amont en aval :
Φ=Φ0cos(λx)cosh(λz)Φ=Φ_0 \; \cos(λ \:x) \; \cosh(λ \:z)  avec  λ>0λ>0  relativement petit ;
vx=−GdFdx=v0sin(λx)cosh(λz)\displaystyle v_x=-G \, \frac{dF}{dx}=v_0 \; \sin(λ \:x) \; \cosh(λ \:z)  avec  v0=λΦ0>0v_0=λ \:Φ_0>0  ;  un minimum au fond est correct ;
vz=−v0cos(λx)sinh(λz)v_z=-v_0 \; \cos(λ \:x) \; \sinh(λ \:z)  ;  le signe est correct.
◊ remarque : cela correspond à des lignes de courant avec un début vertical (puis moins pentues), mais on peut omettre le début pour adapter au cas souhaité.
• Ceci correspond pour la vitesse en surface, donnant en principe  h(x)h(x) :
v2=v02[sin2(λx)cosh2(λh)+cos2(λx)sinh2(λh)]=2g.(h0−h)v^2=v_0^{\:2} \; \left[\sin^2(λ \:x) \; \cosh^2(λ \:h)+\cos^2(λ \:x) \; \sinh^2(λ \:h) \right]=2 \,g.(h_0-h) .
• Cela donne hélas un débit :  D(x)=𝓁∫0h(x)v0sin(λx)cosh(λz)dz=𝓁v0λsin(λx)sinh(λh(x))D(x)=𝓁 \;∫_0^{h(x)} \,v_0 \; \sin(λ \:x) \; \cosh(λ \:z) \; dz=𝓁 \, {\displaystyle \frac{v_0}{λ}} \: \sin(λ \:x) \; \sinh(λ \:h(x))  qui ne peut pas être uniforme à partir de  x=0 x=0  et qui ne l'est de fait probablement pas non plus ensuite.
• Bien sûr, on peut espérer qu'il existe une modélisation plus raffinée décrivant correctement ce dispositif, mais il apparaît clairement que c'est la principale difficulté de la mécanique des fluides : trouver un modèle (le plus souvent forcément simplifié) adapté à décrire efficacement le système étudié.