DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS - exercices


Vidage d'un récipient cylindrique

        • Un récipient cylindrique, de section horizontale SS , est muni à sa base d'un tube d'écoulement de section ss . Ce récipient est initialement rempli d'une hauteur 𝒽𝒽 de liquide incompressible, de masse volumique ρρ . On suppose que l'écoulement est quasi-stationnaire.

1.     • Calculer l'évolution de la hauteur de liquide z(t)z(t) en fonction du temps.

2.     • En déduire la durée nécessaire au vidage complet.


Écoulement à abaissement uniforme

        • Un récipient rempli de liquide incompressible, de masse volumique ρρ , est muni à sa base d'un tube d'écoulement de section ss . La surface de section horizontale du récipient, notée S(z)S(z) , dépend de la hauteur zz mesurée à partir du fond. On suppose que l'écoulement est quasi-stationnaire.

1.     • Est-il possible d'imposer la forme du récipient, c'est-à-dire S(z)S(z) , pour que la vitesse  v(t)=−dzdt\displaystyle v(t)=-\frac{dz}{dt}  d'abaissement de la surface supérieure du liquide soit constante ?

2.     • En supposant que le récipient est à symétrie cylindrique, à quelle variation R(z)R(z) cela correspond-il pour le rayon ?


Écoulement à débit constant

        • Un récipient rempli de liquide incompressible, de masse volumique ρρ , est muni à sa base d'un tube d'écoulement de section ss . La surface de section horizontale du récipient, notée S(z)S(z) , dépend de la hauteur zz mesurée à partir du fond. On suppose que l'écoulement est quasi-stationnaire.

1.     • Est-il possible d'imposer la forme du récipient, c'est-à-dire S(z)S(z) , pour que le débit DD de l'écoulement soit constant ?

2.     • En supposant que le récipient est à symétrie cylindrique, à quelle variation R(z)R(z) cela correspond-il pour le rayon ? Est-ce plausible ?


Écoulement d'un fluide autour d'une boule en mouvement

        • Une boule de rayon RR se déplace, avec une vitesse 𝓋→\overset{→}{𝓋} , dans un fluide parfait incompressible. On désire étudier l'écoulement du fluide, en décrivant son champ de vitesse v→\overset{→}{v} à l'aide d'un potentiel ΦΦ , puis l'influence réciproque du fluide sur la boule.

1.     a) Justifier qu'on peut décrire le potentiel en l'étudiant selon un repère mobile associé aux coordonnées sphériques centrées sur la boule (en mouvement), avec un axe polaire orienté selon 𝓋→\overset{→}{𝓋} .
        b) D'après les symétries, montrer qu'on est amené à chercher les solutions de l'équation  ∆Φ=0∆Φ=0  sous la forme  Φ(r,θ,φ)=f(r).Y(θ,φ)Φ(r,θ,φ)=f(r).Y(θ,φ)  (où YY désigne les fonctions nommées “harmoniques sphériques”).
        c) Montrer qu'on en déduit les équations suivantes, où λλ est une constante :
ddr(r2df(r)dr)−λf(r)=0\displaystyle \frac{d}{dr} \left(r^2 \: \frac{df(r)}{dr}\right)-λ \:f(r)=0   ;   1sin(θ)∂∂θ(sin(θ)∂Y∂θ)+1sin2(θ)∂2Y∂φ2+λY=0\displaystyle \frac{1}{\sin(θ)} \, \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \: \frac{∂Y}{∂θ}\right)+\frac{1}{\sin^2(θ)} \, \frac{∂^2 Y}{∂φ^2} +λ \:Y=0 .
☞ indication : en coordonnées sphériques :  ∆Φ=1r2[∂∂r(r2∂Φ∂r)+1sin(θ)∂∂θ(sin(θ)∂Φ∂θ)+1sin2(θ)∂2Φ∂φ2]\displaystyle ∆Φ=\frac{1}{r^2} \, \left[\frac{∂}{∂r} \left(r^2 \, \frac{∂Φ}{∂r}\right)+\frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \: \frac{∂Φ}{∂θ}\right)+\frac{1}{\sin^2(θ)} \frac{∂^2 Φ}{∂φ^2} \right] .

2.     a) Montrer que les solutions de l'équation radiale sont de la forme :  f(r)=Arα+Brα+1\displaystyle f(r)=A \:r^α+\frac{B}{r^{α+1}}   (et préciser la valeur de la constante αα ).
        b) Justifier que, dans le cas étudié ici, il faut se limiter aux puissances strictement négatives.

3.     • La résolution de l'équation angulaire montre que l'effet des angles peut s'exprimer à l'aide des polynômes de Legendre, mais on ajoute ici un autre argument.
        a) Justifier que le potentiel ΦΦ cherché est linéaire par rapport à la vitesse 𝓋→\overset{→}{𝓋} .
        b) En l'absence de pesanteur, justifier que la dépendance angulaire s'exprimer par :  Φ=β𝓋→⋅∇→(1rα)\displaystyle Φ=β \;\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{∇}\left(\frac{1}{r^α} \right) .
        c) Pour un fluide contenu dans un récipient limité (mais assez grand pour que l'effet des bords soit négligeable sur les lignes de courant), justifier que la pesanteur ne change rien à la conclusion précédente.
        d) Justifier qu'on doit retrouver  v→⋅u→r=𝓋→⋅u→r\overset{→}{v}⋅\overset{→}{u}_r=\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{u}_r  à la surface de la boule.
        e) Justifier que la solution cherchée est de la forme la plus simple :  Φ=β𝓋→⋅∇→(1r)\displaystyle Φ=β \;\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{∇}\left(\frac{1}{r} \right) .
        f) En déduire la constante ββ et l'expression de la vitesse v→\overset{→}{v} .
☞ indication : en coordonnées sphériques :  ∇→=(∂∂r;1r∂∂θ;1rsin(θ)∂∂φ)\displaystyle \overset{→}{∇}=\left(\frac{∂}{∂r} \: ;\, \frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} \: ; \,\frac{1}{r \;\sin(θ)} \frac{∂}{∂φ}\right) .

4.     a) Exprimer la relation de Bernoulli.
        b) Justifier qu'il faut considérer à la surface de la sphère :  ∂Φ∂t=dΦdt−𝓋→⋅∇→Φ\displaystyle \frac{∂Φ}{∂t}=\frac{dΦ}{dt}-\overset{→}{𝓋}⋅\overset{→}{∇}Φ .
        c) En déduire l'expression de la pression à la surface de la boule.
        d) En déduire par intégration la résultante F→\overset{→}{F} des forces pressantes.
        e) Lors de l'intégration précédente, l'un des termes (proportionnel à 𝓋2𝓋^2 ) donne une contribution nulle, l'autre (proportionnel à d𝓋→dt\displaystyle \frac{d\overset{→}{𝓋}}{dt} ) donne une force de traînée généralement non nulle ; commentez.


Lignes de courant dans un dièdre

1.     • On étudie l'écoulement d'un fluide incompressible dans un dièdre d'angle α délimité par deux plans “infinis”. On suppose d'abord que l'écoulement reste perpendiculaire à l'arête.
        a) Exprimer la vitesse v→\overset{→}{v} du fluide en raisonnant avec un potentiel ΦΦ .
        b) En déduire les lignes de courant.

☞ indication : en coordonnées cylindriques :
∆Φ=1r∂∂r(r∂Φ∂r)+1r2∂2Φ∂θ2+∂2Φ∂z2\displaystyle ∆Φ= \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \,\frac{∂Φ}{∂r}\right)+\frac{1}{r^2} \frac{∂^2 Φ}{∂θ^2} +\frac{∂^2 Φ}{∂z^2} .

2.     • Généraliser au cas où la vitesse peut avoir une composante parallèle à l'arête.

☞ indication : commencer par étudier les symétries du dispositif pour en déduire les invariances du champ de vitesse.

3.     • Reprendre le même problème en exprimant la vitesse v→\overset{→}{v} du fluide à l'aide d'un potentiel vecteur 𝒜→\overset{→}{𝒜} .
dynFluidesParf_ex_Im/diedre.png

☞ indication : en coordonnées cylindriques :
∇→×𝒜→=(1r∂𝒜z∂θ−∂𝒜θ∂z)u→r+(∂𝒜r∂z−∂𝒜z∂r)u→θ+1r(∂(r𝒜θ)∂r−∂𝒜r∂θ)u→z\displaystyle \overset{→}{∇} × \overset{→}{𝒜}=\left(\frac{1}{r} \frac{∂𝒜_z}{∂θ}-\frac{∂𝒜_θ}{∂z}\right) \; \overset{→}{u}_r +\left(\frac{∂𝒜_r}{∂z}-\frac{∂𝒜_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_θ+\frac{1}{r} \left(\frac{∂(r \:𝒜_θ )}{∂r}-\frac{∂𝒜_r}{∂θ}\right) \; \overset{→}{u}_z .


Impact d'un jet de fluide sur une plaque

        • Une plaque rectangulaire de masse mm , de largeur 𝓁𝓁 , est mobile sans frottement autour de son arête horizontale supérieure (axe ΔΔ ). On note αα l'angle d'inclinaison par rapport à la verticale.
        • On fait arriver sur la plaque un jet horizontal de liquide homogène et incompressible, d'épaisseur très petite, réparti en une couche surfacique uniforme parallèlement à ΔΔ (cette modélisation a pour but de simplifier les calculs en raisonnant en deux dimensions seulement). On note DD le débit massique constant du jet et hh sa distance en dessous le l'axe (en raisonnant par unité de longueur selon ΔΔ ). On suppose que le jet est assez rapide pour que l'effet de son poids soit négligeable.
dynFluidesParf_ex_Im/jet.jpg

1.     • Montrer que, partout où les lignes de courant du liquide sont rectilignes et parallèles, la pression dans le liquide est égale à la pression p0p_0 du milieu extérieur.

2.     • On suppose qu'après avoir heurté la plaque le jet se sépare en deux jets surfaciques analogues longeant la plaque vers le bas et vers le haut. Déterminer l'angle αα de la plaque en régime permanent.

3.     • Déterminer les débits respectifs D1D_1 et D2D_2 des deux jets sortants.


Écoulement dans un canal

        • Un canal rectiligne horizontal de grande longueur, de largeur (locale) 𝓁𝓁 , contient une hauteur d'eau (locale) hh . La vitesse d'écoulement (locale) vv est considérée uniforme sur toute la section. Les quantités 𝓁𝓁 , hh et vv ne dépendent que faiblement de la position, en comparaison de la grande longueur. L'eau est considérée comme un fluide parfait incompressible, dont on considère un écoulement stationnaire.

1.     • Exprimer le débit volumique DD traversant une section du canal ; commenter.

2.     • Exprimer  v(h)v(h)  le long du canal.

3.     • On note  q=D𝓁\displaystyle q=\frac{D}{𝓁}  le débit du canal par unité de largeur. Montrer qu'il existe une valeur maximale de q(h)q(h) et déterminer la hauteur critique hch_c correspondante ; commenter.

4.     • Peut-on améliorer la modélisation en considérant vv uniforme en largeur, mais dépendant de la profondeur ?