TENSION SUPERFICIELLE - corrigé des exercices

Pression négative

1.a.	• En notant $\overset{→}{T}=T(z) \; \overset{→}{u}_z$ la traction exercée par la partie supérieure sur la partie inférieure, l'équilibre vertical d'une tranche de tige infinitésimale s'écrit : $-dm \;g+T(z+dz)-T(z)=0$ . • La tension surfacique $\displaystyle t=\frac{T}{S}$ est donc telle que : $dt(z)=μ \:g \:dz$ c'est-à-dire : $t(z)=t(0)+μ \:g \:z$ . • En prenant comme origine l'extrémité inférieure, dont l'équilibre peut s'écrire : $T(0)+p_0 \: S=0$ , on en déduit finalement : $t(z)=μ \:g \:z-p_0$ .

1.b.	• Au voisinage de l'extrémité inférieure, on obtient une tension surfacique négative, semblant décrire une sorte de “pression” $𝓅(z)=-t(z)=p_0-μ \:g \:z$ ; la partie inférieure est toutefois maintenue par l'importante force pressante du gaz situé au dessous et non par une traction de la partie supérieure. • En outre cela ne correspond pas à une pression, car une telle quantité serait un nombre indépendant de la direction ; or, l'équilibre en projection horizontale donnerait de façon analogue $𝓅(z)=p_0$ ce qui serait contradictoire. Dans un solide, la tension surfacique dépend de la direction. • Si la tige est assez longue, on constate que $t(z)>0$ pour $\displaystyle z>\frac{p_0}{μ \:g}$ ; les liaisons entre atomes dans un solide sont assez fortes pour causer une traction si l'équilibre le nécessite (dans la partie du haut). En termes de pression, cela serait l'équivalent (verticalement) d'une “pression négative”. ◊ remarque : pour une tige extrêmement longue il existe par contre une limite au delà de laquelle la tige se casserait sous l'effet de son simple poids (la solidité des liaisons entre atomes limitée).

2.a.	• De façon analogue, en prenant comme origine le niveau de la surface en équilibre avec l'air, on obtient dans le mercure (si on suppose négligeables les forces de “capillarité”) : $p(z)=p_0-ρ \:g \:z$ . ◊ remarque : il s'agit d'une pression car les forces horizontales sont équilibrées par les parois du tube.

2.b.	• Si le tube est assez long, on constate que la relation donne $p(z)<0$ pour $\displaystyle z>\frac{p_0}{ρ \:g}$ . Dans ce cas toutefois, la pression ne peut “normalement” pas être stable à une valeur inférieure à la pression de saturation du gaz : avant même d'atteindre la valeur nulle, le passage par la pression $p=p_s$ (par ailleurs très faible) provoque “usuellement” le changement d'état. • À cette situation générale, il faut toutefois préciser l'existence d'exceptions : de même que l'eau pure refroidie assez progressivement peut rester à l'état liquide au dessous de $0 \:\mathrm{°C}$ (à la pression usuelle), le mercure peut dans certaines circonstances rester à l'état liquide au dessous de $p_s$ (à la température usuelle), état métastable de “surliquéfaction” analogue à la surfusion. • Pour préciser, on peut considérer l’équation de Van der Waals : $\displaystyle p=\frac{R \:T}{V_\text{m}-b}-\frac{a}{V_\text{m}^{\:2}}$ ; bien qu'approximative, cette relation a l'avantage de bien décrire qualitativement l'effet de l'interaction des molécules du fluide lors du changement d'état. L'un des termes correctifs y montre l'effet d'abaissement de la pression par les interactions (qui permettent au liquide de rester “groupé”). • Bien que l'effet ne soit pas suffisant “liant” pour permettre des état stables avec pression négative, on constate, sur la représentation graphique, que les portions métastables de certains isothermes peuvent descendre dans la zone des pressions négatives. • Une autre façon d'exprimer ce phénomène consiste à décrire le changement d'état en prenant en compte les forces de capillarité : le début de l'ébullition nécessite la formation de bulles de vapeur dans le liquide. Or, l'apparition des surfaces de séparation fait intervenir une énergie de tension superficielle, d'une façon d'autant plus défavorable que le rayon des bulles est petit : les bulles devant forcément commencer par être petites ont donc du mal à se former en l'absence de “défauts” leur servant de point de départ, d'où l'existence d'états métastables de surliquéfaction. ◊ remarque : pour préciser, il faut considérer que la modélisation par une pression (énergie volumique) et une tension superficielle (énergie surfacique) n'est qu'une approximation : l'effet surfacique s'exerce dans une mince couche en surface, mais il est volumique ; quand on considère des dispositifs de taille tellement petite que tout leur volume est du même ordre de grandeur que la couche de surface, alors la séparation théorique entre effet volumique et effet surfacique est artificielle : seul l'effet total a une signification et l'éventuelle pression négative qu'on calcule théoriquement n'a pas forcément de réalité pratique. ◊ remarque : pour préciser les cas paradoxaux, on peut considérer que les effets de capillarité expliquent simplement une élévation de liquide de l'ordre de deux mètres, donc l'observation de la montée de la sève dans des arbres de $100 \:\mathrm{m}$ de haut semble anormale ; non seulement cela se produit dans des vaisseaux de l'ordre de $1 \:\mathrm{μm}$ , donc la remarque précédente s'applique, mais de plus d'autres phénomènes interviennent ; ainsi, le contrôle par la plante de la concentration des ions peut accentuer les forces de capillarité et est de plus associé à des effets de type pression osmotique ou électro-osmotique qui peuvent augmenter la pression à la base (au niveau des racines) ; en outre, des “structures relais” rééquilibrent la pression à intervalles réguliers de hauteur.

Pression négative

1.a.	• L'énergie potentielle de pesanteur du liquide peut être décrite par la position du centre d'inertie dans chaque tube. En notant $μ$ la masse volumique : $\displaystyle E_p=μ \:V_1 \: g \, \frac{h_1}{2}+μ \:V_2 \: g \, \frac{h_2}{2}=\frac{1}{2} \,μ \:g \:S_1 \: h_1^{\:2}+\frac{1}{2} \,μ \:g \:S_2 \: h_2^{\:2}$ .

1.b.	• La force pressante exercée par l'air peut s'écrire $\overset{→}{F}=-p_0 \: S \;\overset{→}{u}_z$ . Pour un déplacement $dz \;\overset{→}{u}_z$ de la surface, le travail des forces pressantes est $δW=-p_0 \: S \:dz$ . Ceci peut s'écrire $δW=-p_0 \: dV$ où $dV$ représente la variation locale du volume de liquide. • Le travail total est : $δW_1+δW_2=-p_0 \: S_1 \: dz_1-p_0 \: S_2 \: dz_2=-p_0 .(dV_1+dV_2 )$ . Or, le liquide peut être considéré comme incompressible, donc de volume total constant ; ainsi : $δW_1+δW_2=0$ .

2.a.	• La force de tension exercée sur les surfaces en contact avec l'air n'est pas simple à calculer si on considère que ces surfaces ne sont pas planes lorsqu'interviennent des forces de capillarité. On peut toutefois considérer que la tension superficielle correspond à une densité surfacique d'énergie : lors d'un déplacement, seule la surface latérale des tubes est modifiée, donc seules les forces de tension sur les bords de cette surface interviennent ici. • La force de tension exercée sur le bord de la surface latérale peut s'écrire $\overset{→}{F}{}'=τ \:L \;\overset{→}{u}_z$ où $L=2π \:R$ est le périmètre du tube et $τ$ une “tension par unité de longueur”. Pour un déplacement $dz \;\overset{→}{u}_z$ de la surface, le travail des forces de tension est $δW'=τ \:L \:dz$ . Ceci peut s'écrire $δW'=τ \:dS$ où $dS$ représente la variation locale de surface du liquide. • Le travail total est : $δW'_1+δW'_2=τ \:L_1 \: dz_1+τ \:L_2 \: dz_2$ . Or, le liquide peut être considéré comme incompressible, donc de volume total constant ; ainsi : $S_1 \: dz_1+S_2 \: dz_2=0$ . • En combinant ces relations : $\displaystyle δW'_1+δW'_2=τ \:2π \:R_2 .\left(1-\frac{R_2}{R_1} \right) \:dz_2$ .

2.b.	• Le théorème de l'énergie mécanique peut s'écrire : $dE_m=δW'_1+δW'_2$ . La condition d'équilibre correspond à une énergie cinétique nulle et à une somme des forces nulle, donc à un travail infinitésimal nul total nul au voisinage de l'équilibre. • L'effet de la pesanteur correspond à : $\displaystyle δW_p=-dE_p=-μ \:g \:S_1 \: h_1 \: dz_1-μ \:g \:S_2 \: h_2 \: dz_2=-μ \:g \:S_2 \: h_2 .\left(1-\frac{h_1}{h_2} \right) \: dz_2$ . • L'équilibre correspond à : $\displaystyle μ \:g \:S_2 \: h_2 .\left(1-\frac{h_1}{h_2} \right)=τ \:2π \:R_2 .\left(1-\frac{R_2}{R_1} \right)$ . ◊ remarque : on retrouve qu'en l'absence des forces de capillarité (quand elles sont négligeables) l'équilibre correspond à $h_2=h_1$ (principe des vases communicants) ; on retrouve que quand les deux tubes sont identiques ( $R_2=R_1$ ) il en est de même par symétrie.

2.c.	• L'effet des forces de capillarité est donc de provoquer une surélévation $\displaystyle h_2-h_1=\frac{2 \,τ}{μ \:g \:R_2} \, \left(1-\frac{R_2}{R_1} \right)$ du côté le plus étroit. • Lorsque $R_2→0$ la dénivellation semble pouvoir théoriquement tendre vers l'infini.

3.a.

• La somme des forces exercées sur une tranche de fluide de hauteur

dz

est nulle à l'équilibre. La compensation horizontale est “évidente” par symétrie ; la condition verticale peut s'écrire :

$-μ \:S \:dz \:g+p(z) \:S-p(z+dz) \:S+τ \:L-τ \:L = 0$ .

• Les forces de capillarité se compensent, ce qui donne la même relation quelle que soit leur importance relative :

dp=p(z+dz)-p(z)=-μ \:g \:dz

; d'où par intégration :

p(z)=p(0)- μ \:g \:z

.
◊ remarque : si la dénivellation est grande, ceci peut en principe conduire à des pressions négatives.
◊ remarque : il est souvent dit que l'effet principal de la montée de la sève dans les arbres est “l'évaporation-transpiration” qui “aspire” le liquide par le haut ; c'est ambigu : certes, c'est seulement parce que la sève est “consommée” en haut que la capillarité en fait monter d'autre en remplacement (l'énergie gagnée par l'étalement en surface fournit l'énergie potentielle de pesanteur nécessaire) mais, sauf pour les plantes basses munies de conduits larges, l'effet de capillarité contribue grandement.

3.b.

• Les forces de capillarité peuvent être supposées négligeables dans le tube de gauche, très large : quand le volume est grand, la proportion de l'énergie répartie en surface est négligeable en comparaison de celle répartie en volume.

• En considérant que

p(h_1)≈p_0

d'après le tube de gauche, on en déduit que

p(h_{2{-}})≈p_0-μ \:g.(h_2-h_1)

à la limite juste sous la surface du tube de droite. Ceci pose problème car

p(h_{2{+}})≈p_0

à la limite juste au dessus de la surface du tube de droite.
• Cette différence de pression est “maintenue” par la déformation de la surface en forme de ménisque : ce dernier se comporte comme une peau de ballon tendue (par les forces de capillarité), ou comme la surface d'une “bulle de savon”.
• Lorsque la dénivellation est telle que la pression devient inférieure à la pression de vapeur saturante du liquide, ce dernier devient instable et tend à passer à l'état gazeux : la dénivellation ne peut normalement pas dépasser cette limite (dans le cas ce l'eau pure, cela correspond à environ

10 \:\mathrm{m}

tensionSuper_cor_Im/tensionSuper_cor_Im2.jpg

◊ remarque : pour élever la sève dans les arbres de grande taille, outre la modification du liquide par une composition chimique adaptée, la plante forme des cloisons transversales délimitant des “structures relais”, où suinte la sève venant de la partie inférieure et d'où repartent de nouveaux canaux vers la partie supérieure ; le liquide est ainsi rééquilibré à la pression atmosphérique, ce qui nécessite un apport d'énergie (la pression correspond à une densité volumique d'énergie).
◊ remarque : le bilan énergétique peut être précisé ; une fois les capillaires remplis, le liquide ne circule plus en régime permanent (à surface mouillée constante) que s'il y a un apport d'énergie ; en notant l l'enthalpie massique de vaporisation, l'évaporation (suivie de remontée capillaire) peut fournir l'énergie pour élever de l'eau pure jusqu'à une hauteur

\displaystyle h= \frac{𝓁}{g} =230 \:\mathrm{m}

(sauf pertes).

Structure capillaire

• Le problème des tubes capillaires est la baisse de pression associée à la remontée : la pression ne peut pas devenir négative et doit être rééquilibrée.
• Le liquide monte dans les capillaires inférieurs jusqu'à l'affleurement dans le haut de la structure relais. Ce liquide s'évapore et se recondense (équilibre à saturation) mais principalement sur les parois, où la pesanteur l'entraîne vers le bas de la structure (où la pression, au dessus du ménisque des capillaires inférieurs, est rééquilibrée). Il est alors absorbé par les capillaires supérieurs qui le font remonter jusqu'à la structure relais de l'étage au dessus (et ainsi de suite).