VISCOSITÉ - corrigé des exercices

Frottement d'un solide en translation

• L'invariance par translation fait qu'on peut considérer que le mouvement se fait dans la direction et le sens de

\overset{→}{V}

, qu'on peut repérer par un axe

Ox

. La direction transversale dans l'épaisseur de la couche de fluide peut être repérée par un axe

Oz

. Le problème se ramène ainsi à trouver

v(z)

dans le fluide.
◊ remarque : ce type de mouvement du fluide est nommé “écoulement de Couette” (ici plan).
• Au niveau d'une surface de séparation horizontale

dS

entre deux parties du fluide, celui au-dessus exerce sur celui au-dessous une force visqueuse algébrique :

\displaystyle dF(z)=η \:\overset{→}{∇}v(z)⋅d\overset{→}{S}(z)=η \, \frac{∂v}{∂z}(z) \;dS

(selon

Ox

).
• Une tranche de fluide de surface horizontale

dS

, comprise entre

z

z+dz

, est soumise au total à :

dF(z+dz)-dF(z)

. La “condition d'équilibre” (mouvement uniforme) :

\displaystyle \frac{∂v}{∂z}(z+dz)-\frac{∂v}{∂z}(z)=0

correspond à :

\displaystyle \frac{∂^2 v}{{∂z}^2} =0

.
◊ remarque : la condition peut aussi s'écrire à partir de la force volumique :

\displaystyle f=η \:∆v=η \: \frac{∂^2 v}{{∂z}^2} =0

.
• Compte tenu de

v(0)=0

v(h)=V

, la variation affine impose :

\displaystyle v(z)=\frac{z}{h} \, V

• On en déduit le “gradient” :

\displaystyle \frac{∂v}{∂z}=\frac{V}{h}

puis la force qu'on doit exercer sur le solide pour compenser le frottement du fluide :

\displaystyle \overset{→}{F}=η \, \frac{S}{h} \: \overset{→}{V}

.
◊ remarque : la limite infinie quand

h→0

doit être interprétée avec circonspection ; c'est un frottement solide qui s'applique dans ce cas.

Frottement d'un solide en rotation

1.a.	• L'invariance par rotation et par translation selon l'axe (si on néglige les effets de bord) fait qu'on peut considérer que tout le mouvement se fait dans la direction et le sens de $\overset{→}{u}_θ$ en coordonnées cylindriques. Le problème se ramène ainsi à trouver la variation radiale de $v(r)$ ou de $\dot{θ}(r)$ dans le fluide. ◊ remarque : ce type de mouvement est nommé “écoulement de Couette” (ici cylindrique en rotation). • Une tranche de fluide de dimension $(dr \,; r \:dθ \,; dz)$ subit une force visqueuse volumique : $\overset{→}{f}=η \:∆\overset{→}{v}$ . ◊ remarque : il faut ne pas confondre : $\overset{→}{f}=η \:∆\overset{→}{v}=η \:∆\left(v(r) \:\overset{→}{u}_θ (θ)\right)≠η \:∆v(r) \;\overset{→}{u}_θ$ . • Une première méthode (la plus directe) consiste à utiliser la propriété : $∆\overset{→}{v}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}\right)- \overset{→}{∇}×\left(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v}\right)$ . • En coordonnées cylindriques on obtient ici : $\displaystyle \overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=\frac{1}{r} \, \frac{∂v_θ}{∂θ}=0$ ; $\displaystyle \overset{→}{∇}×\overset{→}{v}=-\frac{∂v_θ}{∂z} \: \overset{→}{u}_r+\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r \:v_θ ) \; \overset{→}{u}_z=φ(r) \: \overset{→}{u}_z$ avec $\displaystyle φ(r)=\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r \:v_θ )=\frac{v_θ}{r}+\frac{∂v_θ}{∂r}$ ; $\displaystyle \overset{→}{∇}×\left(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v} \right)=\overset{→}{∇}×\left(φ(r) \; \overset{→}{u}_z \right)=\frac{1}{r} \frac{∂φ}{∂θ} \; \overset{→}{u}_r-\frac{∂φ}{∂r} \; \overset{→}{u}_θ=-\frac{∂φ}{∂r} \; \overset{→}{u}_θ$ ; $\displaystyle \overset{→}{f}=η \:∆\overset{→}{v}=η \, \frac{∂}{∂r} \left(\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_θ \right)\right) \; \overset{→}{u}_θ$ . ◊ remarque : l'accélération centripète associée à la rotation est imposée par les forces pressantes. • En régime stationnaire, le moment volumique algébrique est : $\displaystyle 𝓂=r \:f =η \:r \, \frac{∂}{∂r} \left(\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_θ \right)\right)=0$ . • Cette relation impose : $\displaystyle \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r \:v_θ )=A$ (constante) ; $r \:v_θ=\frac{1}{2} A \:r^2+B$ ; $v(r)=\frac{1}{2} A \:r+{\displaystyle \frac{B}{r}}$ . • Les conditions aux limites imposent : $v(R_2)=0$ donc $B=-\frac{1}{2} A \:R_2^{\:2}$ ; $v(R_1)=ω_1 \: R_1$ donc $\displaystyle A=\frac{2 \,ω_1 \: R_1^{\:2}}{R_1^{\:2}-R_2^{\:2}}$ et finalement : $\displaystyle v(r)=ω_1 \: r \; \frac{\frac{R_2^{\:2}}{r^2} -1}{\frac{R_2^{\:2}}{R_1^{\:2}}-1}$ .

1.b.	• Une deuxième méthode consiste à faire un détour par les coordonnées cartésiennes, pour lesquelles le calcul du laplacien d'un champ vectoriel se ramène à des laplaciens de champs scalaires (car les vecteurs unitaires sont des constantes) : $∆\overset{→}{v}=∆v_x \; \overset{→}{u}_x+∆v_y \; \overset{→}{u}_y+∆v_z \; \overset{→}{u}_z$ . • On obtient ainsi : $\displaystyle ∆v_x=∆\left[-v(r) \;\sin(θ) \right]=\left(\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}+\frac{1}{r^2} \frac{∂^2}{{∂θ}^2} \right)\,\left[-v(r) \;\sin(θ) \right]$ ; $\displaystyle ∆v_x=-\sin(θ) \; \left(\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}\right)\:v(r)-v(r) \, \frac{1}{r^2} \frac{∂^2}{{∂θ}^2} \,\sin(θ)=-\sin(θ) \: \left(\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}-\frac{1}{r^2} \right)\:v(r)$ ; $\displaystyle ∆v_y=∆\left[v(r) \;\cos(θ) \right]=\left(\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}+\frac{1}{r^2} \frac{∂^2}{{∂θ}^2} \right)\;\left[v(r)\; \cos(θ) \right]$ ; $\displaystyle ∆v_y=\cos(θ) \; \left(\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}\right)\:v(r)+v(r) \, \frac{1}{r^2} \frac{∂^2}{{∂θ}^2}\, \cos(θ)=\cos(θ) \; \left(\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}-\frac{1}{r^2} \right)\:v(r)$ ; $\displaystyle ∆\overset{→}{v}=\left(\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}-\frac{1}{r^2} \right)\:v(r)\: \left[-\sin(θ) \; \overset{→}{u}_x+\cos(θ) \; \overset{→}{u}_y \right]=\left(\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}-\frac{1}{r^2} \right)\:v(r)\; \overset{→}{u}_θ$ . ◊ remarque : l'invariance par rotation fait qu'on peut simplifier le calcul en considérant un cas particulier puis en réinterprétant le résultat ; par exemple : $θ=0$ ; $\overset{→}{u}_x=\overset{→}{u}_r (0)$ ; $\overset{→}{u}_y=\overset{→}{u}_θ (0)$ . ◊ remarque : c'est utile si on ignore l'expression du laplacien d'un champ vectoriel ; utiliser plus les coordonnées cartésiennes est peu approprié : $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ; $\displaystyle \cos(θ)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ ; $\displaystyle \sin(θ)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ ... • Ceci aboutit donc à : $\displaystyle \overset{→}{f}=η \:∆\overset{→}{v}=η .\left(\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}-\frac{1}{r^2} \right)\:v(r)\; \overset{→}{u}_θ$ . • Le moment volumique algébrique est ainsi : $\displaystyle 𝓂=r \:f =η \:r .\left(\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r}-\frac{1}{r^2} \right)\:v(r)=0$ . • Cette relation impose (on vérifie le résultat précédent) : $\displaystyle \frac{∂^2 v}{{∂r}^2} +\frac{∂}{∂r} \left(\frac{v}{r}\right)=0$ ; $\displaystyle \frac{∂v}{∂r}+\frac{v}{r}=A$ (constante) ; $\displaystyle \frac{∂}{∂r} (r \:v)=A \:r$ ; $r \:v=\frac{1}{2} A \:r^2+B$ ; $v(r)=\frac{1}{2} A \:r+{\displaystyle \frac{B}{r}}$ .

1.c.	• Une troisième méthode (si on ignore l'expression volumique, on repart de la base) consiste à étudier une tranche de fluide de surface latérale $dS$ (cylindre), comprise entre $r$ et $r+dr$ . • Au niveau d'une surface de séparation cylindrique $dS$ entre deux parties du fluide, celui externe exerce sur celui interne une force visqueuse algébrique : $dF(z)=η \;\underoverset{rel}{→}{∇} \,v(r)⋅d\overset{→}{S}(r)$ (orthoradiale : selon $\overset{→}{u}_θ$ ) avec $d\overset{→}{S}(r)=r \:dθ \:dz \;\overset{→}{u}_r$ . Ainsi : $\displaystyle dF(z)=η \;\left[\frac{∂}{∂r}\right]_{rel} v(r) \; dS(r)$ . • Il est important ici de comprendre que le gradient doit être considéré dans le référentiel tournant correspondant : si l'ensemble du fluide tournait avec la même vitesse angulaire $ω$ , il n'y aurait pas de frottement visqueux. C'est le mouvement angulaire relatif des tranches qui importe (et non le fait que pour $ω$ donné la vitesse est proportionnelle à $r$ ) : $v=r \:ω$ ; $\displaystyle \left[\frac{∂}{∂r}\right]_{rel} v=r \, \frac{∂ω}{∂r}=r \, \frac{∂}{∂r} \left(\frac{v}{r}\right)=\frac{∂v}{∂r}-ω$ . Ceci donne : $\displaystyle dF(z)=η \:\:\left[\frac{∂}{∂r} \left(\frac{v}{r}\right)\right]_{(r)} \, r^2 \: dθ \:dz$ et un moment algébrique : $\displaystyle dℳ(r)=η \:\:\left[\frac{∂}{∂r} \left(\frac{v}{r}\right)\right]_{(r)} \: r^3 \: dθ \:dz$ . • Pour qu'une tranche entre $r$ et $r+dr$ soit en conditions stationnaires (rotation uniforme) il faut que l'action qu'elle subit de l'extérieur compense l'action réciproque de celle qu'elle exerce sur l'intérieur, c'est-à-dire que le moment soit indépendant de $r$ : $\displaystyle \left[\frac{∂}{∂r} \left(\frac{v}{r}\right)\right]_{(r+dr)} \: (r+dr)^3-\left[\frac{∂}{∂r} \left(\frac{v}{r}\right)\right]_{(r)} \: r^3=0$ . • La relation précédente impose la forme : $\displaystyle \left[\frac{∂}{∂r} \left(\frac{v}{r}\right)\right]_{(r)}=\frac{A}{r^3}$ donc $\displaystyle \frac{v(r)}{r}=-\frac{A}{2 \,r^2}+B$ . Compte tenu de $v(R_1)=ω_1 \: R_1$ et $v(R_2)=0$ on obtient finalement : $\displaystyle v(r)=ω_1 \: r \; \frac{\frac{R_2^{\:2}}{r^2} -1}{\frac{R_2^{\:2}}{R_1^{\:2}}-1}$ .

• C'est ici assez simple selon la troisième des méthodes précédentes. D'après l'expression de la vitesse, on en déduit le “gradient relatif” :

\displaystyle \left[\frac{∂}{∂r}\right]_{rel} v(r)=r \, \frac{∂}{∂r} \left(\frac{v}{r}\right)=-2 \,ω_1 \, \frac{\frac{R_2^{\:2}}{r^2}}{\frac{R_2^{\:2}}{R_1^{\:2} }-1}

.
• Le moment qu'on doit exercer sur le solide pour compenser le frottement du fluide est ainsi :

$\displaystyle ℳ=-η \;\left[\frac{∂}{∂r} \left(\frac{v}{r}\right)\right]_{(R_1)} R_1^3 \; 2π \:H=η \, \frac{2 \,ω_1}{R_1} \, \frac{\frac{R_2^{\:2}}{R_1^{\:2} }}{\frac{R_2^{\:2}}{R_1^{\:2} }-1} \, R_1^3 \; 2π \:H=η \; \frac{R_2^{\:2} \: R_1^{\:2}}{R_2^{\:2}-R_1^{\:2}} \: 4π \:H \:ω_1$ ; $\overset{→}{ℳ}=ℳ \;\overset{→}{u}_z$ .

◊ remarque : la limite infinie quand

R_1→R_2

doit être interprétée avec circonspection ; c'est un frottement solide qui s'applique dans ce cas.

Frottement d'un cylindre en translation

• L'invariance par rotation et par translation selon l'axe (si on néglige les effets de bord) fait qu'on peut considérer que tout le mouvement se fait dans la direction et le sens de

\overset{→}{u}_z

en coordonnées cylindriques. Le problème se ramène ainsi à trouver la variation radiale de

v(r)

ou de

\dot{z}(r)

dans le fluide.
◊ remarque : ce type de mouvement du fluide est nommé “écoulement de Couette” (ici cylindrique en translation).
• Une tranche de fluide de dimension

(dr \,; r \:dθ \,; dz)

subit une force visqueuse volumique

\overset{→}{f}=η \:∆\overset{→}{v}

.
• Le plus simple est dans ce cas :

\displaystyle \overset{→}{f}=η \:∆\overset{→}{v}=η \:∆\left(v(r) \;\overset{→}{u}_z \right)=η \:∆v(r) \; \overset{→}{u}_z=η \, \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \,\frac{∂v_z}{∂r}\right) \: \overset{→}{u}_z

.
◊ remarque : on peut utiliser la propriété :

∆\overset{→}{v}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}\right)- \overset{→}{∇}×\left(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v}\right)

en coordonnées cylindriques :

$\displaystyle \overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=\frac{∂v_z}{∂z}=0$ ; $\displaystyle \overset{→}{∇}×\overset{→}{v}=\frac{1}{r} \frac{∂v_z}{∂θ} \: \overset{→}{u}_r-\frac{∂v_z}{∂r} \: \overset{→}{u}_θ=-\frac{∂v_z}{∂r} \overset{→}{u}_θ$ ;
$\displaystyle \overset{→}{∇}×(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v} )=\frac{∂}{∂z} \left(\frac{∂v_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_r-\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:\frac{∂v_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_z=-\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:\frac{∂v_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_z$ ; $\displaystyle \overset{→}{f}=η \:∆\overset{→}{v}=η \: \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:\frac{∂v_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_z$ .

• On en déduit la “condition d'équilibre” (mouvement uniforme) :

\displaystyle \frac{∂}{∂r} \left(r \:\frac{∂v_z}{∂r}\right)=0

.
• Cette relation correspond à :

\displaystyle r \: \frac{∂v}{∂r}=A

;

\displaystyle \frac{∂v}{∂r}=\frac{A}{r}

;

v(r)=A \; \ln(r)+B

.
• Les conditions aux limites imposent :

$v(R_2)=0$ donc $B=-A \; \ln(R_2)$ ;
$v(R_1)=V$ donc $\displaystyle A=\frac{V}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)}$ et finalement : $\displaystyle v(r)=V \; \frac{\ln\left(\frac{R_2}{r}\right)}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}$ .

• On en déduit le “gradient” :

\displaystyle \frac{∂v}{∂r}=-\frac{V}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)} \; \frac{1}{r}

puis la force qu'on doit exercer sur le solide pour compenser le frottement du fluide :

\displaystyle \overset{→}{F}=-η \:S \, \frac{∂v}{∂r} \: \overset{→}{u}_z=η \, \frac{2π \:H}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)} \: \overset{→}{V}

.
◊ remarque : la limite infinie quand

R_1→R_2

doit être interprétée avec circonspection ; c'est un frottement solide qui s'applique dans ce cas.

Écoulement d'un fluide entre deux cylindres coaxiaux

• L'invariance par rotation et par translation selon l'axe (si on néglige les effets de bord) fait qu'on peut considérer que tout le mouvement se fait dans la direction et le sens de

\overset{→}{u}_z

en coordonnées cylindriques. Le problème se ramène ainsi à trouver la variation radiale de

v(r)

ou de

\dot{z}(r)

dans le fluide.
◊ remarque : ce type de mouvement du fluide est nommé “écoulement de Poiseuille” (ici cylindrique en translation).
• Une tranche de fluide de dimension

(dr \,; r \:dθ \,; dz)

subit une force visqueuse volumique :

$\displaystyle \overset{→}{f}=η \:∆\overset{→}{v}=η \:∆\left(v(r) \;\overset{→}{u}_z \right)=η \:∆v(r) \; \overset{→}{u}_z=η \, \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \,\frac{∂v_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_z$ .

• La force de viscosité totale sur un “tube de courant” de section

dS=dr.r \:dθ

peut s'écrire (en norme) sous la forme :

\displaystyle H \:dS \:η \: \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \,\frac{∂v_z}{∂r}\right)

. Elle doit être compensée par une résultante des forces pressantes :

dS \:∆p

. On en déduit la “condition d'équilibre” (mouvement uniforme) :

\displaystyle \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:\frac{∂v_z}{∂r}\right)=\frac{∆p}{H \:η}

.
◊ remarque : l'énoncé suggère implicitement l'hypothèse que

∆p

est uniforme sur toute la section ; ce n'est pas évident car cela dépend des lignes de courant dans le fluide ; on suppose que l'approximation est correcte compte tenu de la prépondérance des effets de viscosité.
• Cette relation correspond à :

\displaystyle \frac{∂}{∂r} \left(r \:\frac{∂v}{∂r}\right)=\frac{∆p}{H \:η} \: r

;

\displaystyle \frac{∂v}{∂r}=\frac{∆p}{2 \,H \:η} \: r+\frac{A}{r}

;

\displaystyle v(r)=\frac{∆p}{4 \,H \:η} \: r^2+A \; \ln(r)+B

.
• Les conditions aux limites imposent (l'écoulement est de sens contraire à

∆p

) :

$v(R_2)=0$ donc $\displaystyle B=-\frac{∆p}{4 \,H \:η} \: R_2^{\:2}-A \; \ln(R_2 )$ ;
$v(R_1)=0$ donc $\displaystyle A=-\frac{∆p}{4 \,H \:η}\:\frac{R_2^{\:2}-R_1^{\:2}}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}$ ;
$\displaystyle v(r)=-\frac{∆p}{4 \,H \:η} \: \left(R_2^{\:2}-r^2 \right)+\frac{∆p}{4 \,H \:η} \: \left(R_2^{\:2}-R_1^{\:2} \right) \; \frac{\ln\left(\frac{R_2}{r}\right)}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)}$ .

2.	• On en déduit le débit (après moult simplifications dans l'expression du résultat) : $D=∬ \,v(r) \:dr.r \:dθ={\displaystyle -\frac{π \:∆p}{8 \,H \:η} \: \left(R_2^{\:4}-R_1^{\:4} \right)+\frac{π \:∆p}{8 \,H \:η} \, \frac{\left(R_2^{\:2}-R_1^{\:2} \right)^2}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)} }$ .

Écoulement d'un fluide entre deux cylindres coaxiaux

• L'invariance par rotation et par translation selon l'axe (si on néglige les effets de bord) fait qu'on peut considérer que tout le mouvement se fait dans la direction et le sens de

\overset{→}{u}_z

en coordonnées cylindriques. Le problème se ramène ainsi à trouver la variation radiale de

v(r)

ou de

\dot{z}(r)

dans le fluide.
◊ remarque : si vous cherchez le nom de ce type de mouvement du fluide et que vous ne trouvez pas, vous pouvez le baptiser “écoulement de Laffaille” (ici cylindrique en translation).
• Une tranche de fluide de dimension

(dr \,; r \:dθ \,; dz)

subit une force visqueuse volumique :

$\displaystyle \overset{→}{f}=η \:∆\overset{→}{v}=η \:∆\left(v(r) \;\overset{→}{u}_z \right)=η \:∆v(r) \; \overset{→}{u}_z=η \, \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \,\frac{∂v_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_z$ .

• La force de viscosité totale sur un “tube de courant” de section

dS=dr.r \:dθ

peut s'écrire (en norme) sous la forme :

\displaystyle H \:dS \:η \: \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \,\frac{∂v_z}{∂r}\right)

. Elle doit être compensée par une résultante des forces pressantes :

dS \:∆p

. On en déduit la “condition d'équilibre” (mouvement uniforme) :

\displaystyle \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:\frac{∂v_z}{∂r}\right)=\frac{∆p}{H \:η}

.
◊ remarque : l'énoncé suggère implicitement l'hypothèse que

∆p

\displaystyle \frac{∂}{∂r} \left(r \:\frac{∂v}{∂r}\right)=\frac{∆p}{H \:η} \: r

;

\displaystyle \frac{∂v}{∂r}=\frac{∆p}{2 \,H \:η} \: r+\frac{A}{r}

;

\displaystyle v(r)=\frac{∆p}{4 \,H \:η} \: r^2+A \; \ln(r)+B

.
• Les conditions aux limites imposent :

$v(R_2)=0$ donc $\displaystyle B=-\frac{∆p}{4 \,H \:η} \: R_2^{\:2}-A \; \ln(R_2 )$ ;
$v(R_1)=V$ donc $\displaystyle A=- \frac{V+\frac{∆p}{4 \,H \:η} \,\left(R_2^{\:2}-R_1^{\:2}\right)}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)}$ ;
$\displaystyle v(r)=-\frac{∆p}{4 \,H \:η} \: \left(R_2^{\:2}-r^2 \right)+\left[V+\frac{∆p}{4 \,H \:η} \: \left(R_2^{\:2}-R_1^{\:2} \right)\right] \, \frac{\ln\left(\frac{R_2}{r}\right)}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)}$ .

◊ remarque : l'écoulement global est de sens contraire à

∆p

, dont la contribution a pour effet de refouler le fluide en sens contraire à l'entraînement causé par

V

• On en déduit le débit (après moult simplifications dans l'expression du résultat) :

$D=∬ \,v(r) \:dr.r \:dθ=-π \:R_1^{\:2} \: V+{\displaystyle \frac{π}{2} V \:\frac{R_2^{\:2}-R_1^{\:2}}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)} -\frac{π \:∆p}{8 \,H \:η} \: \left(R_2^{\:4}-R_1^{\:4} \right)+\frac{π \:∆p}{8 \,H \:η} \, \frac{\left(R_2^{\:2}-R_1^{\:2} \right)^2}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)} }$ .

• Mais ce débit est imposé par le déplacement :

D=-π \:R_1^{\:2} \: V

; par conséquent :

$\displaystyle ∆p=\frac{4 \,H \:η \:V}{\left(R_1^{\:2}+R_2^{\:2} \right) \; \ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)-\left(R_2^{\:2}-R_1^{\:2} \right)}$ .

• D'après ce qui précède, on peut simplifier :

\displaystyle v(r)= V \: \frac{\left(R_1^{\:2}+R_2^{\:2} \right) \; \ln\left(\frac{R_2}{r}\right)-\left(R_2^{\:2}-r^2 \right)}{\left(R_1^{\:2}+R_2^{\:2} \right) \; \ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)-\left(R_2^{\:2}-R_1^{\:2} \right)}

.
• On en déduit le “gradient” :

\displaystyle \frac{∂v}{∂r}=-V \: \frac{\left(R_1^{\:2}+R_2^{\:2} \right) \, \frac{1}{r}-2 \,r}{\left(R_1^{\:2}+R_2^{\:2} \right) \; \ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)-\left(R_2^{\:2}-R_1^{\:2} \right)}

.
• Sans oublier la contribution des forces pressantes sur les bases, on obtient la force qu'on doit exercer sur le solide pour compenser le frottement du fluide :

$\displaystyle \overset{→}{F}=-η \:2π \:R_1 \: H \, \frac{∂v}{∂r} \; \overset{→}{u}_z+π \:R_1^{\:2} \: ∆p \;\overset{→}{u}_z=η \: \frac{2π \:H \:\left(R_1^{\:2}+R_2^{\:2} \right)}{\left(R_1^{\:2}+R_2^{\:2} \right) \; \ln\left(\frac{R_2}{R_1} \right)-\left(R_2^{\:2}-R_1^{\:2} \right)} \: \overset{→}{V}$ .

◊ remarque : la limite infinie quand

R_1→R_2

doit être interprétée avec circonspection ; non seulement c'est un frottement solide qui s'applique dans ce cas, mais l'écoulement du fluide incompressible devient impossible (et même avant cela le régime devient turbulent).

Frottement sur une boule en translation

1.a.	• Le “nombre de Reynolds” est une quantité sans dimension caractérisant le rapport entre l'énergie cinétique volumique du fluide et le travail de la force volumique visqueuse. Soient $𝒱$ la vitesse caractéristique du fluide et $L$ la dimension caractéristique du dispositif : $\displaystyle Re=\frac{ρ \:𝒱 \:L}{η}=\frac{ρ \:𝒱^2}{\left(η \,\frac{𝒱}{L^2} \right)\: L}$ . • Il se trouve que ce nombre est généralement aussi le rapport des ordres de grandeur de deux termes de transfert d'impulsion dans l'équation de Navier-Stokes : le terme convectif $\displaystyle ‖ \:ρ .(\overset{→}{v}⋅\overset{→}{∇} ) \: \overset{→}{v} ‖≈ρ \:𝒱 \frac{𝒱}{L}$ et le terme diffusif $\displaystyle ‖ \:η \:∆\overset{→}{v} ‖≈η \, \frac{𝒱}{L^2}$ ; la comparaison de ces deux effets permet souvent de simplifier les calculs.

1.b.	• Pour $Re≲1$ l'écoulement est normalement laminaire et pour $Re>2000$ il est turbulent. En fait l'évolution est progressive ; au delà de $≈ 10$ apparaissent des décollements des lignes de courant faisant place à des tourbillons localisés (dans lesquels l'écoulement est laminaire) ; au delà de 100 il y a décollement des tourbillons qui deviennent mobiles (emportés par le courant) tout en restant organisés ; au delà de 1000 les turbulences deviennent de plus en plus chaotiques.

1.c.	• En régime turbulent (pour $Re≳2000$ ) la force de trainée peut s'écrire $\overset{→}{F}=-\frac{1}{2} ρ \:C_x \: S \:𝒱^2 \;\overset{→}{u}_v$ où $S$ est la surface projetée de la boule selon un plan perpendiculaire au déplacement et $\overset{→}{u}_v$ le vecteur unitaire orienté selon $\overset{→}{𝒱}$ . ◊ remarque : les turbulences ne pouvant pas être calculées, les coefficients $C_x$ sont déterminés expérimentalement.

2.a.	• Pour $Re≪1$ le terme convectif de l'équation de Navier-Stokes peut être négligé en comparaison du terme diffusif ; on obtient ainsi (en omettant la pesanteur) : $\displaystyle ρ \, \frac{∂\overset{→}{v}}{∂t}+ρ .\left(\overset{→}{v}⋅\overset{→}{∇} \right) \,\overset{→}{v}≈ρ \,\frac{∂\overset{→}{v}}{∂t}=-\overset{→}{∇}p+η \:∆\overset{→}{v}$ . Un avantage important est que cette équation est linéaire. • En régime stationnaire on obtient simplement (écoulement de Stokes) : $-\overset{→}{∇}p+η \:∆\overset{→}{v}=\overset{→}{0}$ .

2.b.	• L'équation de continuité $\displaystyle \frac{∂ρ}{∂t}+ρ \:\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=0$ impose pour un fluide incompressible $\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=0$ . • Avec ici $v_φ=0$ cela peut s'écrire : $\displaystyle \frac{1}{r^2} \frac{∂}{∂r} \left(r^2 \: v_r \right)+\frac{1}{r \;\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \; v_θ \right)=0$ , mais peut aussi se mettre sous la forme : $\displaystyle \frac{∂}{∂r} \left(r^2 \; \sin(θ) \; v_r \right)+\frac{∂}{∂θ} \left(r \;\sin(θ) \; v_θ \right)=0$ . • En considérant une quantité $ψ$ telle que : $\displaystyle r^2 \; \sin(θ) \; v_r=\frac{∂ψ}{∂θ}$ (en intégrant par rapport à $θ$ ) on obtient : $\displaystyle \frac{∂}{∂θ} \left(\frac{∂ψ}{∂r}\right)=-\frac{∂}{∂θ} \left(r \;\sin(θ) \; v_θ \right)$ et donc : $\displaystyle \frac{∂ψ}{∂r}=-r \; \sin(θ) \; v_θ+C_θ (r)$ (la constante d'intégration peut dépendre de $r$ ). En procédant dans l'ordre inverse, on obtiendrait de même $\displaystyle \frac{∂ψ}{∂θ}$ à une constante près $C_r (θ)$ . • En fait, la divergence nulle fait que la vitesse peut s'exprimer sous la forme $\overset{→}{v}= \overset{→}{∇}×\overset{→}{ψ}$ où ici les symétries font qu'il n'y a qu'une composante $ψ=ψ_φ$ . • On peut donc chercher $\overset{→}{v}$ sous la forme : $\displaystyle v_r=\frac{1}{r^2 \; \sin(θ)} \, \frac{∂ψ}{∂θ}$ ; $\displaystyle v_θ=-\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, \frac{∂ψ}{∂r}$ ; tout ceci en sachant qu'on pourrait ajouter si nécessaire des termes de la forme $\displaystyle \frac{C_r (θ)}{r^2 \; \sin(θ)}$ à $v_r$ ou $\displaystyle \frac{C_θ (r)}{r \;\sin(θ)}$ à $v_θ$ .

2.c.	• À l'infini on doit retrouver : $v_r \underset{r→∞}{∼} 𝒱 \; \cos(θ)$ ; $\displaystyle \frac{∂ψ}{∂θ} \underset{r→∞}{∼} 𝒱 \:r^2 \; \sin(θ) \; \cos(θ)$ ; $v_θ \underset{r→∞}{∼} -𝒱 \; \sin(θ)$ ; $\displaystyle \frac{∂ψ}{∂r} \underset{r→∞}{∼} -𝒱 \:r^2 \; \sin^2(θ)$ ; $ψ \underset{r→∞}{∼} \frac{1}{2} 𝒱 \:r^2 \; \sin^2(θ)$ .

2.d.	• La symétrie axiale fait qu'il n'y a qu'une composante ; en reportant on obtient : $\displaystyle Ω_φ=\frac{1}{r \;\sin(θ)} \: 𝒟_2 \,ψ$ où $\displaystyle 𝒟_2=\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{\sin(θ)}{r^2} \frac{∂}{∂θ} \left(\frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ}\right)$ .

2.e.	• L'équation de Stokes peut s'écrire : $\overset{→}{∇}p=η \:∆\overset{→}{v}=-η \:\overset{→}{∇}×(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v} )=-η \:\overset{→}{∇}×\overset{→}{Ω}$ . • Les deux composantes sont : $\displaystyle \frac{∂p}{∂r}=-η \: \frac{1}{r \;\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \; Ω_φ \right)$ ; $\displaystyle \frac{1}{r} \frac{∂p}{∂θ}=η \: \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:Ω_φ \right)$ . • En dérivant chacune par l'autre variable : $\displaystyle \frac{∂^2 p}{∂r∂θ}=-η \, \frac{∂}{∂θ} \left[\frac{1}{r \;\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \: Ω_φ \right)\right]=η \, \frac{∂^2}{{∂r}^2} \left(r \:Ω_φ \right)$ ; $\displaystyle \frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂^2}{{∂r}^2} \left(𝒟_2 \, ψ\right)+\frac{1}{r^2} \frac{∂}{∂θ} \left[\frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(𝒟_2 \, ψ\right)\right]=0$ .

2.f.	• On peut essayer une séparation des variables $𝒟_2 \, ψ=P(r) \:Q(θ)$ : $\displaystyle \frac{r^2}{P} \, \frac{d^2 P}{{dr}^2} =-\frac{\sin(θ)}{Q} \, \frac{d}{dθ} \left[\frac{1}{\sin(θ)} \, \frac{dQ}{dθ}\right]=α=Cste$ . • L'équation $\displaystyle \sin(θ) \, \frac{d}{dθ} \left[\frac{1}{\sin(θ)} \, \frac{dQ}{dθ}\right]+α \:Q=0$ peut s'écrire $\displaystyle \left(1-ζ^2 \right) \: \frac{d^2 Q}{{dζ}^2} +α \:Q=0$ avec la variable de Legendre $ζ=\cos(θ)$ . • Compte tenu du comportement asymptotique, on peut soupçonner que $Q=\sin^2(θ)=1-ζ^2$ soit solution ; on vérifie que c'est effectivement le cas pour $α=2$ . Puisque l'équation est du second ordre, on peut alors chercher quelle est l'autre solution pour le même $α$ ; un logiciel de calcul formel donne $\displaystyle Q=\frac{1}{4} \, \ln\left(\left\|\frac{1+ζ}{1-ζ}\right\|\right)+\frac{2 \,ζ}{1-ζ^2}$ mais le comportement asymptotique n'est pas physiquement acceptable. • L'équation radiale $\displaystyle r^2 \: \frac{d^2 P}{{dr}^2} -2 \,P=0$ a pour solutions $\displaystyle P=\frac{C_1}{r}+C_2 \: r^2$ . • Il faut ensuite considérer $\displaystyle 𝒟_2 \, ψ=\left[\frac{∂^2}{{∂r}^2} +\frac{1-ζ^2}{r^2} \frac{∂^2}{{∂ζ}^2} \right] \: ψ=\left(\frac{C_1}{r}+C_2 \: r^2 \right)\left(1-ζ^2 \right)$ . • On peut commencer par chercher la solution générale de l'équation “homogène” $𝒟_2 \, ψ=0$ avec séparation des variables $ψ=f(r) \:g(θ)$ : $\displaystyle \frac{r^2}{f} \, \frac{d^2 f}{{dr}^2} =-\frac{1-ζ^2}{g} \, \frac{d^2 g}{{dζ}^2} =β=Cste$ . • L'équation angulaire $\displaystyle \left(1-ζ^2 \right) \, \frac{d^2 g}{{dζ}^2} +β \:g=0$ est la même que précédemment pour $Q$ ; on obtient donc $β=2$ et $g=\sin^2(θ)=1-ζ^2$ seule solution physiquement acceptable. • L'équation radiale $\displaystyle r^2 \, \frac{d^2 f}{{dr}^2} -2 \,f=0$ (comme pour $P$ ) a pour solutions $\displaystyle f=\frac{C_3}{r}+C_4 \: r^2$ . • À cela il faut ajouter une solution particulière de l'équation complète ; le comportement asymptotique suggère de chercher sous la forme $ψ=h(r) \:\left(1-ζ^2 \right)$ . Ceci donne : $\displaystyle \frac{d^2h}{{dr}^2} +\frac{h(r)}{r^2} \, \frac{d^2 \left(1-ζ^2 \right)}{{dζ}^2} = \frac{d^2h}{{dr}^2} -2 \, \frac{h(r)}{r^2} =\frac{C_1}{r}+C_2 \: r^2$ . • On peut chercher une solution particulière sous la forme $C' \:r^k$ ; ainsi : $\displaystyle [k.(k-1)-2] \: C' \:r^{k-2}=\frac{C_1}{r}$ donne $k=1$ et impose $C_1=-2\, C'_1$ ; $[k.(k-1)-2] \: C' \:r^{k-2}=C_2 \: r^2$ donne $k=4$ et impose $C_2=10 \:C'_2$ ; $h=C'_1 \: r+C'_2 \: r^4$ mais $C'_2=0$ car le comportement asymptotique est non physique. • Au total pour la solution physique la plus générale : $\displaystyle ψ=\left(\frac{C_3}{r}+C_4 \: r^2+C'_1 \: r\right) \; \sin^2(θ)$ . • Le comportement à l'infini impose ici $C_4=\frac{1}{2} 𝒱$ . Par ailleurs la vitesse doit s'annuler en $r=R$ donc de même $\displaystyle \frac{∂ψ}{∂r}=\left(-\frac{C_3}{R^2} +𝒱 \:R+C'_1 \right) \; \sin^2(θ)$ et $\displaystyle \frac{∂ψ}{∂θ}=\left(\frac{C_3}{R}+\frac{1}{2} 𝒱 \:R^2+C'_1 \: R\right) \: 2 \; \sin(θ) \: \cos(θ)$ . • Par combinaison : $C'_1=-\frac{3}{4} 𝒱 \:R$ ; $C_3=\frac{1}{4} 𝒱 \:R^3$ ; $\displaystyle ψ=\frac{1}{4} 𝒱 \:R^2 \:\left(\frac{R}{r}+2 \,\frac{r^2}{R^2} -3 \,\frac{r}{R}\right) \; \sin^2(θ)$ .

2.g.	• On obtient pour la vitesse : $\displaystyle v_r=𝒱.\left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \cos(θ)$ ; $\displaystyle v_θ=- 𝒱.\left(1- \frac{3}{4} \frac{R}{r}- \frac{1}{4} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \sin(θ)$ . ◊ remarque : on peut s'étonner que le champ de vitesse décroisse en $\displaystyle \frac{1}{r}$ sans pourtant dépendre de $η$ ; en effet la limite $η→0$ tend vers un fluide parfait, dans lequel la décroissance est en $\displaystyle \frac{1}{r^3}$ ; il aurait semblé plus logique d'obtenir un terme en $\displaystyle \frac{1}{r}$ proportionnel à $η$ et redonnant l'expression du fluide idéal dans la limite $η→0$ ; cela est dû au fait que le nombre de Reynolds augmente à grande distance de la boule, les conditions de validité des approximations utilisées sont alors à considérer avec vigilance.

2.h.	• On obtient pour la pression : $\overset{→}{∇}p=η \:∆\overset{→}{v}=-η \:\overset{→}{∇}×\left(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v} \right)=-η \:\overset{→}{∇}×\overset{→}{Ω}$ ; $\displaystyle 𝒟_2 \, ψ=\frac{3}{2} 𝒱 \, \frac{R}{r} \: \left(1-ζ^2 \right)$ ; $\displaystyle Ω_φ=-\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, 𝒟_2 \, ψ=-\frac{3}{2} 𝒱 \: \frac{R}{r^2} \: \sin(θ)$ ; $\displaystyle \frac{∂p}{∂r}=-η \, \frac{1}{r \;\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \; Ω_φ \right)=-η \, \frac{3}{2} 𝒱 \, \frac{R}{r^3} \frac{∂}{∂ζ} \left(1-ζ^2 \right)=3 \,η \:𝒱 \, \frac{R}{r^3} \: \cos(θ)$ ; $\displaystyle p=-η \, \frac{3}{2} 𝒱 \, \frac{R}{r^2} \: \cos(θ)+q(θ)$ ; $\displaystyle \frac{1}{r} \frac{∂p}{∂θ}=η \, \frac{3}{2} 𝒱 \,\frac{R}{r^3} \: \sin(θ)+\frac{1}{r} \frac{dq(θ)}{dθ}$ ; $\displaystyle \frac{1}{r} \frac{∂p}{∂θ}=η \, \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:Ω_φ \right)=η \, \frac{3}{2} 𝒱 \, \frac{R}{r^3} \: \sin(θ)$ ; $\displaystyle \frac{dq(θ)}{dθ}=0$ ; $q(θ)=Cste=p_∞$ ; $\displaystyle p=p_∞-η \, \frac{3}{2} 𝒱 \, \frac{R}{r^2} \: \cos(θ)$ . ◊ remarque : il y a d'autres méthodes, non indépendantes ; par exemple on peut utiliser $\overset{→}{∇}p=η \:∆\overset{→}{v}$ pour obtenir $∆p=\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{∇}p=η \:\overset{→}{∇}⋅∆\overset{→}{v}=η \:∆\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v} \right)=0$ et calculer directement $p$ , puis en déduire les propriétés du champ de vitesse.

3.a.	• Par symétrie, la composante de pression à l'infini ne contribue pas et l'effet total est dans la direction du mouvement ; on projette la force pressante sur cet axe : $dF_{pz}=η \, \frac{3}{2} 𝒱 \:R \; \cos^2(θ) \; \sin(θ) \; dθ \:dφ=η \, \frac{3}{2} 𝒱 \:R \:ζ^2 \: dζ \:dφ$ ; $F_{pz}=η \:3π \:𝒱 \:R \;∫_{-1}^1 \, ζ^2 \:dζ=η \:3π \:𝒱 \:R .{\displaystyle \left[\frac{ζ^3}{3}\right]_{-1}^1}=η \:2π \:𝒱 \:R$ (du fluide en mouvement sur la boule).

3.b.	• Par symétrie, l'effet total est dans la direction du mouvement ; on projette la force visqueuse sur cet axe : $\displaystyle dF_{vz}=η \, \frac{∂v_θ}{∂r} \, R^2 \; \sin^2(θ) \; dθ \:dφ$ ; $\displaystyle \frac{∂v_θ}{∂r}=- 𝒱 \, \frac{3}{2} \frac{1}{R} \: \sin(θ)$ ; $F_{vz}=η \:3π \:𝒱 \:R \:∫_{-1}^1 \,\left(1-ζ^2 \right) \: dζ=η \:3π \:𝒱 \:R .{\displaystyle \left[ζ-\frac{ζ^3}{3}\right]_{-1}^1}=η \:4π \:𝒱 \:R$ (du fluide sur la boule).

3.c.	• Au total : $F_z=F_{pz}+F_{vz}=η \:6π \:𝒱 \:R$ (du fluide en mouvement sur la boule) ; $F_z=-η \:6π \:𝒱 \:R$ (du fluide sur la boule en mouvement).

4.a.	• En première approximation, le terme négligé correspond à : $\displaystyle ρ .\left(\overset{→}{v}⋅\overset{→}{∇} \right) \: v_r≈ρ \:𝒱^2.\left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \cos^2(θ) \; \frac{∂}{∂r} \left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right) \: ⋯$ $\displaystyle - ρ \:𝒱^2.\left(1- \frac{3}{4} \frac{R}{r}- \frac{1}{4} \frac{R^3}{r^3} \right)^2 \sin(θ) \; \frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} \, \cos(θ)$ ; $\displaystyle ρ .\left(\overset{→}{v}⋅\overset{→}{∇} \right) \: v_r≈\frac{ρ \:𝒱^2}{r} \: \left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right)\:\left[\left(\frac{3}{2} \frac{R}{r}-\frac{3}{2} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \cos^2(θ)+\left(1- \frac{3}{4} \frac{R}{r}- \frac{1}{4} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \sin^2(θ) \right]$ . $\displaystyle ρ .\left(\overset{→}{v}⋅\overset{→}{∇} \right) \: v_θ≈-ρ \:𝒱^2.\left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \sin(θ) \; \cos(θ) \; \frac{∂}{∂r} \left(1- \frac{3}{4} \frac{R}{r}- \frac{1}{4} \frac{R^3}{r^3} \right) \: ⋯$ $+ρ \:𝒱^2.\left(1- \frac{3}{4} \frac{R}{r}- \frac{1}{4} \frac{R^3}{r^3} \right)^2 \sin(θ) \; \frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} \, \sin(θ)$ ; $\displaystyle ρ .\left(\overset{→}{v}⋅\overset{→}{∇} \right) \: v_θ≈\frac{ρ \:𝒱^2}{r} \: \left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \sin(θ) \; \cos(θ) \; \left[1-\frac{9}{4} \frac{R}{r}-\frac{1}{4} \frac{R^3}{r^3} \right]$ . • On souhaite le comparer à : $\displaystyle \frac{∂p}{∂r}=η \:∆v_r≈3 \,η \:𝒱 \,\frac{R}{r^3} \: \cos(θ)$ ; $\displaystyle \frac{1}{r} \frac{∂p}{∂θ}=η \:∆v_θ≈η \, \frac{3}{2} \,𝒱 \, \frac{R}{r^3} \: \sin(θ)$ . • On vérifie ici qu'avec la première approximation le terme négligé comporte des contributions en $\displaystyle \frac{1}{r}$ et en $\displaystyle \frac{1}{r^2}$ décroissant moins vite que $\displaystyle \frac{1}{r^3}$ donc à grande distance l'estimation n'est plus valable. Pire : l'énergie cinétique intégrée sur une surface proportionnelle à $r^2$ diverge à grande distance à cause du terme en $\displaystyle \frac{1}{r}$ (et le terme en $\displaystyle \frac{1}{r^2}$ est moins catastrophique mais n'est pas exempt de problème).

4.b.	• L'équation incluant le terme qui avait été négligé a l'inconvénient de ne pas être linéaire. On peut estimer le terme correctif en ajoutant à la place l'approximation précédente de ce terme ; cela peut ensuite donner lieu à une méthode perturbative en ajoutant à chaque fois une correction calculée à l'étape précédente. ◊ remarque : pour rendre plus rapide la correction, on peut ne remplacer que l'une des deux occurrence de $\overset{→}{v}$ dans le terme correctif par l'expression approchée du premier calcul ; l'équation reste linéaire, mais les équations ainsi obtenues sont plus compliquées.

4.c.	• L'équation de Stokes peut s'écrire : $\overset{→}{∇}p+\left[ρ .\left(\overset{→}{v}⋅\overset{→}{∇} \right)\: \overset{→}{v} \right]_1=η \:∆\overset{→}{v}=-η\: \overset{→}{∇}×\overset{→}{Ω}$ . • Les deux composantes sont : $\displaystyle \frac{∂p}{∂r}=-η \, \frac{1}{r \;\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \; Ω_φ \right) \: ⋯$ $\displaystyle -\frac{ρ \:𝒱^2}{r} \, \left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right)\:\left[\left(\frac{3}{2} \frac{R}{r}-\frac{3}{2} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \cos^2(θ)+\left(1- \frac{3}{4} \frac{R}{r}- \frac{1}{4} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \sin^2(θ) \right]$ ; $\displaystyle \frac{1}{r} \frac{∂p}{∂θ}=η \, \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r \:Ω_φ )-\frac{ρ \:𝒱^2}{r} \, \left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \sin(θ) \; \cos(θ) \; \left[1-\frac{9}{4} \frac{R}{r}-\frac{1}{4} \frac{R^3}{r^3} \right]$ . • En dérivant chacune par l'autre variable : $\displaystyle \frac{∂^2 p}{∂r∂θ}=-η \, \frac{∂}{∂θ} \left[\frac{1}{r \;\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \; Ω_φ \right)\right] \: ⋯$ $\displaystyle -2 \, \frac{ρ \:𝒱^2}{r} \; \left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right)\,\left(1- \frac{9}{4} \frac{R}{r}+ \frac{5}{4} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \sin(θ) \; \cos(θ)$ ; $\displaystyle \frac{∂^2 p}{∂r∂θ}=η \, \frac{∂^2}{{∂r}^2} \left(r \:Ω_φ \right)-ρ \:𝒱^2 \; \sin(θ) \; \cos(θ) \, \frac{∂}{∂r} \left[\left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right)\,\left(1-\frac{9}{4} \frac{R}{r}-\frac{1}{4} \frac{R^3}{r^3} \right)\right]$ ; $\displaystyle \frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂^2}{{∂r}^2} \left(𝒟_2 \, ψ\right)+\frac{1}{r^2} \frac{∂}{∂θ} \left[\frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(𝒟_2 \, ψ\right)\right]= ⋯$ $\displaystyle \frac{ρ \:𝒱^2}{η \:r} \, \left[\left(1-\frac{9}{4} \frac{R}{r}-\frac{1}{4} \frac{R^3}{r^3} \right)\,\left(\frac{3}{2} \frac{R}{r}-\frac{3}{2} \frac{R^3}{r^3} \right)+\left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right)\,\left(\frac{9}{4} \frac{R}{r}+\frac{3}{4} \frac{R^3}{r^3} \right)\right] \; \sin(θ) \; \cos(θ) \: ⋯$ $\displaystyle -2 \, \frac{ρ \:𝒱^2}{η \:r} \, \left(1-\frac{3}{2} \frac{R}{r}+\frac{1}{2} \frac{R^3}{r^3} \right)\,\left(1- \frac{9}{4} \frac{R}{r}+ \frac{5}{4} \frac{R^3}{r^3} \right) \; \sin(θ) \; \cos(θ)$ ; $\displaystyle \frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂^2}{{∂r}^2} \left(𝒟_2 \, ψ\right)+\frac{1}{r^2} \frac{∂}{∂θ} \left[\frac{1}{\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(𝒟_2 \, ψ\right)\right]= ⋯$ $\displaystyle -2 \, \frac{ρ \:𝒱^2}{η \:r} \, \sin(θ) \; \cos(θ) \; \left(1-\frac{45}{8} \frac{R}{r}+\frac{27}{4} \frac{R^2}{r^2} +\frac{17}{8} \frac{R^3}{r^3} -\frac{9}{2} \frac{R^4}{r^4} +\frac{1}{4} \frac{R^6}{r^6} \right)$ . • On retrouve une équation différentielle analogue, dont il suffit en principe de chercher une solution particulière, mais le second membre n'a pas la même dépendance angulaire (est-ce acceptable ? ). • En supposant une séparation des variables de la forme $𝒟_2 \, ψ=\sin^2(θ) \; \cos(θ) \; f(r)$ : $\displaystyle \frac{∂^2 f}{{∂r}^2} -6 \, \frac{f}{r^2} =-2 \, \frac{ρ \:𝒱^2}{η \:r} \, \left(1-\frac{45}{8} \frac{R}{r}+\frac{27}{4} \frac{R^2}{r^2} +\frac{17}{8} \frac{R^3}{r^3} -\frac{9}{2} \frac{R^4}{r^4} +\frac{1}{4} \frac{R^6}{r^6} \right)$ . • L'équation $\displaystyle \frac{∂^2 f}{{∂r}^2} -6 \, \frac{f}{r^2} =0$ a des solutions de la forme $\displaystyle f=\frac{C_1}{r}+C_2 \: r^2$ (où le second terme est nul à cause de la limite à l'infini) et chaque terme du second membre de l'équation complète ajoute une contribution : $\displaystyle f=\frac{C_1}{r^2} +C_2 \: r^3-\frac{ρ \:𝒱^2}{η} \, \left(-\frac{r}{3}+\frac{15 \,R}{8}-\frac{27}{8} \frac{R^2}{r}-\frac{17}{100} \frac{R^3.\left(1+5 \;\ln(r)\,\right)}{r^2} -\frac{3}{2} \frac{R^4}{r^3} +\frac{1}{48} \frac{R^6}{r^5} \right)$ . • Le comportement angulaire en $\sin^2(θ) \; \cos(θ)$ pourrait être acceptable puisque $\cos(θ)≈1$ aux limites sur l'axe (et de même pour $ψ$ après la seconde intégration), mais il est impossible de choisir les constantes pour éviter les divergences du comportement radial. La méthode semble donc ne pas fonctionner ainsi ; cela est probablement dû au fait qu'à grande distance le terme supposé être perturbatif devient en réalité prépondérant.