VISCOSITÉ - exercices


Frottement d'un solide en translation

        • Une plaque solide parallélépipédique, de surface de base SS , glisse sur un support horizontal avec une vitesse V→\overset{→}{V} constante. Pour éviter le frottement solide, une couche de fluide lubrifiant d'épaisseur hh et de viscosité ηη est intercalée entre le solide et le support.

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1.     • En considérant l'équilibre du fluide en régime laminaire permanent, calculer la vitesse d'écoulement du fluide en fonction de la position (on néglige les “effets de bord”).

2.     • En déduire la force F→\overset{→}{F} nécessaire pour maintenir la vitesse de glissement constante du solide.


Frottement d'un solide en rotation

        • Un cylindre solide d'axe vertical, de rayon R1R_1 et de hauteur HH , tourne avec une vitesse angulaire ω→1\overset{→}{ω}_1 constante. Ce cylindre est placé (selon le même axe vertical) dans un tube fixe de rayon R2R_2 et de hauteur HH , rempli d'un fluide de viscosité ηη .

1.     • En considérant l'équilibre du fluide en régime laminaire permanent, calculer la vitesse angulaire d'écoulement du fluide en fonction de la position (on néglige les “effets de bord”).

2.     • En déduire le moment de force nécessaire pour maintenir la vitesse angulaire constante du solide.
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☞ indication : en coordonnées cylindriques :
∆v=∂2v∂r2+1r∂v∂r+1r2∂2v∂θ2+∂2v∂z2\displaystyle ∆v=\frac{∂^2 v}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂v}{∂r}+\frac{1}{r^2} \frac{∂^2 v}{{∂θ}^2} +\frac{∂^2 v}{{∂z}^2}  ;
∆ v→ = ∇→ ( ∇→ ⋅ v→ ) − ∇→ × ( ∇→ × v→ ) ∆\overset{→}{v}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}\right)-\overset{→}{∇}×\left(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v}\right)  ;
∇→⋅v→=1r∂∂r(rvr)+1r∂vθ∂θ+∂vz∂z\displaystyle \overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_r \right)+\frac{1}{r} \frac{∂v_θ}{∂θ}+\frac{∂v_z}{∂z}  ;
∇→×v→=(1r∂vz∂θ−∂vθ∂z)u→r+(∂vr∂z−∂vz∂r)u→θ+(1r∂∂r(rvθ)−1r∂vr∂θ)u→z\displaystyle \overset{→}{∇}×\overset{→}{v}=\left(\frac{1}{r} \frac{∂v_z}{∂θ}-\frac{∂v_θ}{∂z}\right) \; \overset{→}{u}_r+\left(\frac{∂v_r}{∂z}-\frac{∂v_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_θ+\left(\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_θ\right) -\frac{1}{r} \frac{∂v_r}{∂θ}\right) \; \overset{→}{u}_z .



Frottement d'un cylindre en translation

        • Un cylindre solide d'axe vertical, de rayon R1R_1 et de hauteur HH , est placé (selon le même axe vertical) dans un tube fixe de rayon R2R_2 , rempli d'un fluide de viscosité ηη . Le cylindre central se déplace parallèlement à l'axe avec une vitesse V→\overset{→}{V} constante.

1.     • En considérant l'équilibre du fluide en régime laminaire permanent, calculer la vitesse d'écoulement du fluide en fonction de la position (on néglige les “effets de bord”).

2.     • En déduire la force F→\overset{→}{F} nécessaire pour maintenir la vitesse de translation constante du cylindre.
viscosite_ex_Im/viscosite_ex_Im2.jpg

☞ indication : en coordonnées cylindriques :
∆v=∂2v∂r2+1r∂v∂r+1r2∂2v∂θ2+∂2v∂z2\displaystyle ∆v=\frac{∂^2 v}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂v}{∂r}+\frac{1}{r^2} \frac{∂^2 v}{{∂θ}^2} +\frac{∂^2 v}{{∂z}^2}  ;
∆v→=∇→(∇→⋅v→)−∇→×(∇→×v→) ∆\overset{→}{v}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}\right)-\overset{→}{∇}×\left(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v}\right)  ;
∇→⋅v→=1r∂∂r(rvr)+1r∂vθ∂θ+∂vz∂z\displaystyle \overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_r \right)+\frac{1}{r} \frac{∂v_θ}{∂θ}+\frac{∂v_z}{∂z}  ;
∇→×v→=(1r∂vz∂θ−∂vθ∂z)u→r+(∂vr∂z−∂vz∂r)u→θ+(1r∂∂r(rvθ)−1r∂vr∂θ)u→z\displaystyle \overset{→}{∇}×\overset{→}{v}=\left(\frac{1}{r} \frac{∂v_z}{∂θ}-\frac{∂v_θ}{∂z}\right) \; \overset{→}{u}_r+\left(\frac{∂v_r}{∂z}-\frac{∂v_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_θ+\left(\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_θ\right) -\frac{1}{r} \frac{∂v_r}{∂θ}\right) \; \overset{→}{u}_z .


Écoulement d'un fluide entre deux cylindres coaxiaux

        • Un cylindre solide d'axe vertical, de rayon R1R_1 et de hauteur HH , est placé (selon le même axe vertical) dans un tube fixe de rayon R2R_2 , rempli d'un fluide de viscosité ηη .
        • Le fluide se déplace parallèlement à l'axe avec un débit volumique DD constant. Cet écoulement est entretenu par une différence de pression ∆p∆p entre les deux extrémités du dispositif.
        ☞ remarque : la surpression ∆p∆p s'ajoute simplement à celle qui compense la pesanteur ; les deux phénomènes s'ajoutant sans s'influencer, on peut ici simplifier en omettant la description de la pesanteur.
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1.     • En considérant l'équilibre du fluide en régime laminaire permanent, calculer la vitesse d'écoulement du fluide en fonction de la position (on néglige les “effets de bord”).

2.     • En déduire le débit DD .

☞ indication : en coordonnées cylindriques :
∆v=∂2v∂r2+1r∂v∂r+1r2∂2v∂θ2+∂2v∂z2\displaystyle ∆v=\frac{∂^2 v}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂v}{∂r}+\frac{1}{r^2} \frac{∂^2 v}{{∂θ}^2} +\frac{∂^2 v}{{∂z}^2}  ;
∆v→=∇→(∇→⋅v→)−∇→×(∇→×v→) ∆\overset{→}{v}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}\right)-\overset{→}{∇}×\left(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v}\right)  ;
∇→⋅v→=1r∂∂r(rvr)+1r∂vθ∂θ+∂vz∂z\displaystyle \overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_r \right)+\frac{1}{r} \frac{∂v_θ}{∂θ}+\frac{∂v_z}{∂z}  ;
∇→×v→=(1r∂vz∂θ−∂vθ∂z)u→r+(∂vr∂z−∂vz∂r)u→θ+(1r∂∂r(rvθ)−1r∂vr∂θ)u→z\displaystyle \overset{→}{∇}×\overset{→}{v}=\left(\frac{1}{r} \frac{∂v_z}{∂θ}-\frac{∂v_θ}{∂z}\right) \; \overset{→}{u}_r+\left(\frac{∂v_r}{∂z}-\frac{∂v_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_θ+\left(\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_θ\right) -\frac{1}{r} \frac{∂v_r}{∂θ}\right) \; \overset{→}{u}_z .


Frottement d'un cylindre en translation

        • Un cylindre solide d'axe vertical, de rayon R1R_1 et de hauteur HH , est placé (selon le même axe vertical) dans un tube fixe de rayon R2R_2 , rempli d'un fluide de viscosité ηη . Le cylindre central se déplace parallèlement à l'axe avec une vitesse V→\overset{→}{V} constante.
        • Le fond du tube étant fermé, le fluide se déplace parallèlement à l'axe avec un débit volumique DD constant (par exemple, le fluide remonte sur les côtés si le cylindre descend). Cet écoulement est entretenu par une différence de pression ∆p∆p entre les deux extrémités du cylindre.
        ☞ remarque : la surpression ∆p∆p s'ajoute simplement à celle qui compense la pesanteur ; les deux phénomènes s'ajoutant sans s'influencer, on peut ici simplifier en omettant la description de la pesanteur.
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1.     • En considérant l'équilibre du fluide en régime laminaire permanent, calculer la vitesse d'écoulement du fluide en fonction de la position (on néglige les “effets de bord”).

2.     • En déduire le débit DD et la surpression ∆p∆p .

3.     • En déduire la force F→\overset{→}{F} nécessaire pour maintenir la vitesse de translation constante du cylindre.

☞ indication : en coordonnées cylindriques :
∆v=∂2v∂r2+1r∂v∂r+1r2∂2v∂θ2+∂2v∂z2\displaystyle ∆v=\frac{∂^2 v}{{∂r}^2} +\frac{1}{r} \frac{∂v}{∂r}+\frac{1}{r^2} \frac{∂^2 v}{{∂θ}^2} +\frac{∂^2 v}{{∂z}^2}  ;
∆v→=∇→(∇→⋅v→)−∇→×(∇→×v→) ∆\overset{→}{v}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}\right)-\overset{→}{∇}×\left(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v}\right)  ;
∇→⋅v→=1r∂∂r(rvr)+1r∂vθ∂θ+∂vz∂z\displaystyle \overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_r \right)+\frac{1}{r} \frac{∂v_θ}{∂θ}+\frac{∂v_z}{∂z}  ;
∇→×v→=(1r∂vz∂θ−∂vθ∂z)u→r+(∂vr∂z−∂vz∂r)u→θ+(1r∂∂r(rvθ)−1r∂vr∂θ)u→z\displaystyle \overset{→}{∇}×\overset{→}{v}=\left(\frac{1}{r} \frac{∂v_z}{∂θ}-\frac{∂v_θ}{∂z}\right) \; \overset{→}{u}_r+\left(\frac{∂v_r}{∂z}-\frac{∂v_z}{∂r}\right) \; \overset{→}{u}_θ+\left(\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_θ\right) -\frac{1}{r} \frac{∂v_r}{∂θ}\right) \; \overset{→}{u}_z .


Frottement sur une boule en translation

        • Une boule de rayon RR se déplace, avec une vitesse 𝒱→\overset{→}{𝒱} , dans un fluide incompressible de masse volumique ρρ et viscosité ηη . On désire étudier l'écoulement du fluide, en décrivant son champ de vitesse v→\overset{→}{v} , puis l'influence réciproque du fluide sur la boule. Pour simplifier on omet la pesanteur ; avec le raisonnement considéré ici, il suffirait d'ajouter les termes correspondants, intervenant de façon indépendante.

1.     a) Indiquer la définition du nombre de Reynolds ReRe associé à un écoulement de vitesse caractéristique 𝒱𝒱 et de dimension caractéristique LL .
        b) Représenter qualitativement l'allure de quelques lignes de courant du fluide autour de la boule pour diverses valeurs de  ReRe .
        c) En régime turbulent, exprimer la force de traînée subie par une boule solide en fonction de la vitesse d'écoulement relatif du fluide environnant.

2.     a) Dans tout ce qui suit, on considère un écoulement laminaire pour  Re≪1Re≪1 .  Montrer que cela permet de simplifier l'équation de Navier-Stokes.
        b) On raisonne en coordonnées sphériques dans le référentiel de la boule en notant 𝒱→\overset{→}{𝒱} la vitesse du fluide à l'infini. Montrer qu'on peut définir une “fonction de courant” ψψ telle que :
vr=1r2sin(θ)∂ψ∂θ\displaystyle v_r=\frac{1}{r^2 \; \sin(θ)} \, \frac{∂ψ}{∂θ}  ;  vθ=−1rsin(θ)∂ψ∂r\displaystyle v_θ=-\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, \frac{∂ψ}{∂r} .
        c) En considérant les limites à l'infini, indiquer le comportement asymptotique de la “fonction de courant” ψψ .
        d) Exprimer le vecteur “vorticité”  Ω→=∇→×v→\overset{→}{Ω}=\overset{→}{∇}×\overset{→}{v}  en fonction de ψψ .
        e) En éliminant la pression entre les deux composantes de l'équation de Stokes, établir une équation différentielle vérifiée par ψψ .
        f) Résoudre cette équation différentielle.
        g) En déduire l'expression de la vitesse du fluide. Commenter.
        h) En déduire l'expression de la pression.

3.     a) Calculer la contribution de la pression à la force de traînée.
        b) Calculer la contribution du frottement visqueux à la force de traînée.
        c) Retrouver la formule de Stokes pour la trainée.

☞ indication : en coordonnées sphériques :
∆v=1r2∂∂r(r2∂v∂r)+1r2sin(θ)∂∂θ(sin(θ)∂v∂θ)+1r2sin2(θ)∂2v∂φ2\displaystyle ∆v=\frac{1}{r^2} \frac{∂}{∂r} \left(r^2 \, \frac{∂v}{∂r}\right)+\frac{1}{r^2 \; \sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \, \frac{∂v}{∂θ}\right)+\frac{1}{r^2 \; \sin^2(θ)} \, \frac{∂^2 v}{{∂φ}^2}  ;
∆v→=∇→(∇→⋅v→)−∇→×(∇→×v→) ∆\overset{→}{v}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}\right)-\overset{→}{∇}×\left(\overset{→}{∇}×\overset{→}{v}\right)  ;
∇→⋅v→=1r2∂∂r(r2vr)+1rsin(θ)∂∂θ(sin(θ)vθ)+1rsin(θ)∂vφ∂φ\displaystyle \overset{→}{∇}⋅\overset{→}{v}=\frac{1}{r^2} \frac{∂}{∂r} \left(r^2 \: v_r \right)+\frac{1}{r \;\sin(θ)} \frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \: v_θ \right)+\frac{1}{r \;\sin(θ)} \frac{∂v_φ}{∂φ}  ;
∇→×v→=1rsin(θ)(∂∂θ(sin(θ)vφ)−∂vθ∂φ)u→r+(1rsin(θ)∂vr∂φ−1r∂∂r(rvφ))u→θ+1r(∂∂r(rvθ)−∂vr∂θ)u→φ\displaystyle \overset{→}{∇}×\overset{→}{v}=\frac{1}{r \;\sin(θ)} \left(\frac{∂}{∂θ} \left(\sin(θ) \: v_φ \right)-\frac{∂v_θ}{∂φ}\right) \; \overset{→}{u}_r+\left(\frac{1}{r \;\sin(θ)} \frac{∂v_r}{∂φ}-\frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} \left(r \:v_φ \right)\right) \; \overset{→}{u}_θ+\frac{1}{r} \left(\frac{∂}{∂r} \left(r \:v_θ \right)-\frac{∂v_r}{∂θ}\right) \; \overset{→}{u}_φ .