LENTILLE MINCE CONVERGENTE - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE

Image virtuelle et formules de conjugaison

• Selon la relation de Descartes :

\displaystyle \frac{1}{\widebar{OA'}}-\frac{1}{\widebar{OA}}=\frac{1}{\widebar{OF'}}

.
• L'image virtuelle demandée correspond à

\widebar{OA'}<0

mais la relation précédente fait plutôt intervenir les inverses, donc il est plus efficace de retenir la condition :

\displaystyle \frac{1}{\widebar{OA'}} <0

.
• Ceci correspond à :

\displaystyle \frac{1}{\widebar{OA}}+\frac{1}{\widebar{OF'}}<0

et donc :

\displaystyle -\frac{1}{\widebar{OA}}>\frac{1}{\widebar{OF'}}>0

(puisque

\widebar{OF'}>0

pour une lentille convergente). On sait donc déjà que l'objet est réel (c'est-à-dire placé avant la lentille) :

\widebar{OA}<0

.
• Puisqu'on s'est ramené à une comparaison de quantités positives (sinon les risques d'erreurs de signes sont grands), il suffit de changer le sens des inégalités en prenant les inverses :

-\widebar{OA}<\widebar{OF'}

. On en déduit :

\widebar{OA}>-\widebar{OF'}=\widebar{OF}

(l'abscisse de

A

est supérieure à celle de

F

) c'est-à-dire que l'objet est situé après le foyer objet

F

.
• Au total, l'objet (réel) doit être placé entre le foyer objet et la lentille.

Image virtuelle et tracé de rayons

• L'image virtuelle est du côté objet ; on peut imaginer qu'elle soit avant ou après le foyer objet

F

; en fait cela n'y change rien.
• Le rayon passant par

O

n'est pas dévié, donc

B

est sur la droite passant par

B'

O

.
• Le rayon sortant parallèle à l'axe en passant (virtuellement) par B' provient d'un rayon incident passant par le foyer objet

F

, donc

B

étant à l'intersection des deux il est forcément entre

F

O

lentilleConv_cor_Im/lentilleConv_cor_Im1.jpg

• Cela est en fait confirmé par le rayon sortant qui passe par le foyer image

F'

en provenant d'un rayon incident parallèle à l'axe : l'intersection avec le rayon passant par

O

est forcément entre

F

O

.
◊ remarque : sur l'exemple dessiné l'image virtuelle est avant le foyer objet, mais on obtient un tracé analogue si elle est après.

lentilleConv_cor_Im/lentilleConv_cor_Im2.jpg

Image réelle d'un objet réel

1.a.	• Selon la relation de Descartes : $\displaystyle \frac{1}{\widebar{OA'}}-\frac{1}{\widebar{OA}}=\frac{1}{\widebar{OF'}}$ ; on peut aussi utiliser les abscisses algébriques : $\displaystyle \frac{1}{x'} -\frac{1}{x}=\frac{1}{f'}$ . • On cherche une condition entre l'objet et l'écran (donc l'image) c'est-à-dire $D=\widebar{AA'}=x'-x$ . • En substituant dans la relation on obtient : $x^2+D \:x+D \:f'=0$ . Avec $D$ donné, pour qu'il existe des solutions $x$ réelles, il faut un discriminant : $\displaystyle Δ=D.(D-4 \,f')>0$ . • L'image réelle demandée correspond à $x'>0$ et l'objet réel donne $x<0$ ; ainsi $D>0$ . • Cela impose $D-4 \,f'>0$ c'est-à-dire $D>4 \,f'$ . ◊ remarque : plus on approche l'objet de la lentille, plus il faut éloigner l'écran (et inversement).

1.b.	• Les deux positions correspondent à : $\displaystyle x=\frac{-D±\sqrt{Δ}}{2}$ donc $d=\sqrt{Δ}$ . Ceci peut s'écrire : $\displaystyle f'=\frac{D^2-d^2}{4 \,D}$ .

1.c.	• La méthode consiste à ajuster $D$ de façon à obtenir $d=0$ ; dans ce cas $\displaystyle f'=\frac{D}{4}$ . C'est un peu plus long à ajuster, mais la symétrie impose alors l'égalité de taille objet-image $\widebar{A'B'}=\widebar{AB}$ permettant d'affiner le réglage (c'est un peu analogue à l'autocollimation) ; on peut obtenir ainsi une meilleure précision.

• De même qu'un changement de la courbure d'une face de la lentille, le fait de changer l'indice du milieu sortant ne fait que modifier la distance focale. Tous les raisonnement dans l'approximation des lentilles minces sont donc inchangés.
◊ remarque : le changement d'indice déplace forcément un peu le centre optique, donc (comme pour les modifications des courbures) il faut vérifier que l'approximation des lentilles minces reste valable.

B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT

Généralisation aux lentilles épaisses

1.a.	• L'angle d'incidence est $i=\widehat{AIC}$ et l'angle de réfraction est $r=\widehat{A'IC}$ . Pour des petits angles, on peut confondre $h≈\widebar{SI}$ avec une perpendiculaire à l'axe et les angles avec leur tangente et/ou leur sinus. On note $α=\widehat{SAI}$ ; $α'=\widehat{SA'I}$ et l'angle au centre $θ=\widehat{SCI}$ . • On obtient ainsi : $\displaystyle θ≈\frac{h}{\widebar{SC}}$ ; $\displaystyle i=α-θ≈\frac{h}{\widebar{SA}}-\frac{h}{\widebar{SC}}$ ; $\displaystyle r=α'-θ≈\frac{h}{\widebar{SA'}}-\frac{h}{\widebar{SC}}$ . En simplifiant par $h$ la loi de la réfraction de Descartes donne : $\displaystyle n.\left(\frac{1}{\widebar{SA}}-\frac{1}{\widebar{SC}}\right)≈n' .\left(\frac{1}{\widebar{SA'}}-\frac{1}{\widebar{SC}}\right)$ donc : $\displaystyle \frac{n'}{\widebar{SA'}}-\frac{n}{\widebar{SA}}≈\frac{n'-n}{\widebar{SC}}$ . • On peut se ramener à l'origine au centre en décomposant : $\displaystyle n'.(\widebar{SC}+\widebar{CA})-n .(\widebar{SC}+\widebar{CA'})≈(n'-n) \, \left(\widebar{SC}+\widebar{CA}+\widebar{CA'}+\frac{\widebar{CA} \: \widebar{CA'}}{\widebar{SC}}\right)$ ; $\displaystyle n' \: \widebar{CA}-n \: \widebar{CA'}≈(n'-n) \, \left(\widebar{CA}+\widebar{CA'}+\frac{\widebar{CA} \: \widebar{CA'} }{\widebar{SC}}\right)$ ; $\displaystyle \frac{n'}{\widebar{CA'}}-\frac{n}{\widebar{CA}}≈(n'-n) \, \left(\frac{1}{\widebar{CA'}}+\frac{1}{\widebar{CA}}+\frac{1}{\widebar{SC}}\right)$ ; $\displaystyle \frac{1}{n'} \, \frac{1}{\widebar{CA'}}-\frac{1}{n} \, \frac{1}{\widebar{CA}}≈\left(\frac{1}{n'} -\frac{1}{n}\right) \frac{1}{\widebar{CS}}$ (ce sont donc plutôt les inverses des indices qui interviennent ici).

1.b.	• On obtient la distance focale objet en considérant l'image à l'infini : $\displaystyle \widebar{SF}≈-\frac{n}{n'-n} \, \widebar{SC}$ ; de même la distance focale image pour un objet à l'infini : $\displaystyle \widebar{SF'}≈\frac{n'}{n'-n} \, \widebar{SC}$ . • On peut aussi considérer : $\displaystyle \widebar{CF}≈\frac{n'}{n'-n} \, \widebar{CS}$ et $\displaystyle \widebar{CF'}≈-\frac{n}{n'-n} \, \widebar{CS}$ . • On peut remarquer que ces distances ne sont pas symétriques, ni par rapport au sommet, ni par rapport au centre (mais le décalage est inversé symétriquement quand on change d'origine).

1.c.	• Le tracé à l'allure suivante ; on peut noter la convergence approximative si on représente correctement la courbure du dioptre. • Bien sûr, la convergence semble meilleure pour un tracé symbolique négligeant de représenter la courbure, mais cela n'est qu'une apparence.

1.d.	• Le rayon passant par le centre n'étant pas dévié, on obtient simplement : $\displaystyle γ=\frac{\widebar{A' B'}}{\widebar{AB}}=\frac{\widebar{CA'}}{\widebar{CA}}$ ; d'après les relations obtenues précédemment, ceci donne : $\displaystyle γ=\frac{\widebar{A' B'}}{\widebar{AB}}=\frac{n}{n'} \frac{\widebar{SA'}}{\widebar{SA}}$ .

2.a.	• Le foyer $F'$ est l'image par la lentille d'un objet à l'infini, donc l'image par le second dioptre du foyer image $F'_1$ du premier dioptre. • Puisqu'on utilise le second dioptre en sens inverse, on intervertit l'objet et l'image, ainsi que les foyers ; il faut donc considérer $\displaystyle \frac{n}{\widebar{SA'}}-\frac{n'}{\widebar{SA}}=\frac{n-n'}{\widebar{SC}}$ (les mesures algébriques sont cohérentes). • On peut considérer : $\displaystyle \frac{n}{\widebar{S_2 F'}}-\frac{n'}{\widebar{S_2 F'_1}}=\frac{n-n'}{\widebar{S_2 C_2}}$ avec $\displaystyle \frac{n'}{e+\widebar{S_2 F'_1}}=\frac{n'}{\widebar{S_1 F'_1}}=\frac{n'-n}{\widebar{S_1 C_1}}$ donc $\displaystyle \widebar{S_2 F'_1}=\frac{n'}{n'-n} \,\widebar{S_1 C_1}-e$ . • En notant $\widebar{R}_1=\widebar{S_1 C_1}$ ; $\widebar{R}_2=\widebar{S_2 C_2}$ ; $\displaystyle E=e \: \frac{n'-n}{n'}$ on obtient ainsi : $\displaystyle \widebar{S_2 F'}=\frac{n}{n'-n} \, \frac{\widebar{R}_2 .(\widebar{R}_1-E)}{\widebar{R}_2-\widebar{R}_1+E}$ . • De même en intervertissant les indices, ce qui change le signe pour $E$ : $\displaystyle \widebar{S_1 F}=\frac{n}{n'-n} \, \frac{\widebar{R}_1 .(\widebar{R}_2+E)}{\widebar{R}_1-\widebar{R}_2-E}$ .

2.b.	• On peut considérer un objet $AB$ placé en $F'_1$ ( $A$ est confondu avec $F'_1$ ) et chercher son image par le second dioptre. Le rayon incident parallèle à l'axe (en fait issu de $F_1$ ) passant virtuellement par $B$ passe ensuite par $F'_2$ mais aussi par $F'$ cherché. • Le rayon passant virtuellement par $F_2$ et par $B$ ressort parallèle à l'axe ; l'intersection donne $B'$ et donc $F'$ (confondu avec $A'$ ). On peut préciser que le rayon provenant virtuellement de $C_2$ n'est pas dévié ; cela confirme. • On peut procéder de même symétriquement pour $F$ .

2.c.	• Un rayon incident parallèle à l'axe converge virtuellement en $F'_1$ mais après le second dioptre il converge en $F'$ . Les prolongements virtuels dans la lentille des rayons incident et émergent se recoupent dans le plan principal image, permettant ainsi de repérer $H'$ . ◊ remarque : on peut aussi déterminer la position à l'aide des relations de conjugaison, mais les expressions sont compliquées et cela n'apporte rien d'essentiel ici. • On procède de façon équivalente pour $H$ .

2.d.	• Pour les rayons passant par les foyers, tout se passe du côté objet comme si $H$ tenait un rôle en partie analogue à celui du centre optique $O$ d'une lentille mince ; de même du côté image comme si $H'$ était en partie analogue à $O$ , en “omettant” l'épaisseur $HH'$ . ☞ remarque : si les indices avant et après diffèrent ( $n$ et $n″$ ), on obtient $f'=\widebar{H' F'} ≠-\widebar{HF}=-f$ (plus précisément $\displaystyle \frac{f'}{f}=-\frac{n″}{n}$ ) ; mais ici ils sont identiques. • Dès lors qu'on peut reconstruire ces rayons, cela suffit pour tous les tracés de rayons associés, par exemple pour la formation d'une image virtuelle d'un objet réel. • En outre, cela peut être décrit par la relation de conjugaison : $\displaystyle \frac{1}{\widebar{H' A'}}-\frac{1}{\widebar{HA}}=\frac{1}{\widebar{H' F'}}=-\frac{1}{\widebar{HF}}$ .

3.a.

• Pour qu'un rayon soit globalement non dévié, il faut et il suffit que les déviations par les deux dioptres se compensent, donc que les angles soient les mêmes, donc que les normales aux deux points d'intersection soient parallèles entre elles. Or les normales passent par les centres, donc il suffit de tracer à partir de ces droites ; le centre optique

O

est à l'intersection avec l'axe.
• On nomme point nodal objet

N

l'intersection virtuelle du rayon incident avec l'axe et point nodal image

N'

l'intersection virtuelle du rayon émergent. Dans le cas où les indices optiques avant et après la lentilles sont égaux, les points nodaux sont confondus avec les points principaux

H

H'

lentilleConv_cor_Im/lentilleConv_cor_Im12.jpg

3.b.

• En considérant les triangles semblables :

\displaystyle \frac{\widebar{OC_2}}{\widebar{OC_1}}=\frac{\widebar{S_2 C_2}}{\widebar{S_1 C_1}}=\frac{\widebar{R}_2}{\widebar{R}_1}

et donc :

\displaystyle \frac{\widebar{OS_2}}{\widebar{OS_1}}=\frac{\widebar{OC_2}-\widebar{S_2 C_2}}{\widebar{OC_1}-\widebar{S_1 C_1}}=\frac{\widebar{R}_2}{\widebar{R}_1}

.
• Mais par ailleurs :

\displaystyle \frac{\widebar{OS_2}}{\widebar{OS_1}}=1+\frac{e}{\widebar{OS_1}}=\frac{\widebar{R}_2}{\widebar{R}_1}

donc

\displaystyle \widebar{S_1 O}=e \: \frac{\widebar{R}_1}{\widebar{R}_1-\widebar{R}_2}

\displaystyle \widebar{S_2 O}=e \: \frac{\widebar{R}_2}{\widebar{R}_1-\widebar{R}_2}

.
◊ remarque : pour les reconstructions géométriques, on peut utiliser de même

\displaystyle \frac{\widebar{ON'}}{\widebar{ON}}=\frac{\widebar{R}_2}{\widebar{R}_1 }

3.c.

• Dans la mesure où les points nodaux sont confondus avec les points principaux, puisqu'on a prolongé les rayons jusqu'à ces points, ils jouent un rôle analogue au centre optique (non représenté puisque dans la zone “omise”).

lentilleConv_cor_Im/lentilleConv_cor_Im13.jpg