MIROIR CONVERGENT

MIROIR CONVERGENT - TP*

Mesure rapide d’une distance focale

Rayons particuliers pour les miroirs convergents (concaves)

• Pour un miroir “sphérique”, les rayons passant par le centre

C

ne sont pas déviés ; ils sont réfléchis selon le retour inverse.

◊ remarque : pour les miroirs, le côté image est le même que le côté objet ; on distingue par contre le côté réel (côté des rayons incidents et réfléchis) et le côté virtuel (“derrière” le miroir).

• Cette propriété est toutefois peu utilisée, car on est généralement amené à se limiter aux miroirs de faible courbure étudiés dans les conditions de Gauss. Le centre de la surface sphérique est alors assez éloigné du sommet, donc on utilise plutôt la propriété de ce dernier : les rayons passant par le sommet

S

sont réfléchis symétriquement par rapport à l’axe optique.

◊ remarque : dans les conditions de Gauss, la zone du miroir utilisée est de faible dimension et on convient de la représenter symboliquement comme quasi-plane sur les schémas (en indiquant tout de même symboliquement le sens de courbure du miroir).

• Les rayons incidents parallèles convergent (approximativement) en un foyer image, situé à mi-distance entre le centre et le “sommet”.

• De même, les rayons incidents issus d’un foyer objet (situé à mi-distance entre le centre et le “sommet”) sont réfléchis (approximativement) parallèles : les foyers objet et les foyers image sont ici les mêmes points de “l’espace matériel”, mais considérés simplement avec les deux sens de propagation de la lumière.

Mesure à l'aide d’une image ou d’un objet très éloigné

☞ remarque : afin de pouvoir récapituler les résultats en fin de TP, il faut étudier le même miroir (de focale

≈ 200

300 \:\mathrm{mm}

) pour l’ensemble des expériences.

• Pour connaître rapidement l’ordre de grandeur de la distance focale d’un miroir convergent, il suffit d’utiliser un objet lumineux TRÈS éloigné (en pratique, au moins

7 \:\mathrm{m}

environ) : les rayons lumineux qui en proviennent sont quasi-parallèles, donc son image est presque dans le plan focal image.

Ou symétriquement : les rayons réfléchis quasi-parallèles forment une image TRÈS éloignée (presque à l'infini) si l'objet lumineux est (presque) dans le plan focal objet.

• Mesurer ainsi la distance focale d’un miroir convergent (c’est plus difficile qu’avec une lentille convergente, car ici le côté image est le même que le côté objet, or on ne peut pas déplacer un écran devant le miroir pour voir l’image : il faut utiliser un “demi-écran” laissant passer la lumière incidente sur l'un des côtés du faisceau, donc permettant l'observation de l'image en retour sur l'autre côté du faisceau).

☞ remarque : pour un miroir convergent, la distance focale objet est

\widebar{SF}\lt 0

mais la distance focale image est

-\widebar{SF\prime }\gt 0

(le changement de convention de signe, à cause de la propagation en sens inverse, est nécessaire pour retrouver une distance focale image positive dans le cas d’un miroir convergent).

Mesure par “retour” de la lumière

• On peut procéder également de façon un peu analogue à la méthode par autocollimation pour une lentille convergente ; en effet, un miroir convergent se comporte de même que l’association d’un miroir plan et d’une lentille convergente.

Utiliser le miroir convergent pour former une image

A'B'

dans le plan de l’objet

AB

et en déduire la distance focale (ceci correspond à :

\widebar{SA}=\widebar{SA\prime }=2\: \widebar{SF}=\widebar{SC}

) ; comparer cette méthode à la précédente.

Formation d’une image par un miroir convergent

Image réelle d’un objet réel

• L’image de

B

peut être reconstruite à l'aide de rayons particuliers qui se recoupent en

B′

, image de

B

formée par la lentille :

le rayon incident $BS$ , passant par le sommet du miroir, est réfléchi symétriquement ;
le rayon incident provenant de $B$ et parallèle à l’axe ressort en passant par le foyer image $F′$ ;
le rayon incident $BF$ , passant par le foyer objet $F$ , ressort parallèle à l’axe.

◊ remarque : il suffirait en principe de tracer deux de ces trois rayons pour connaître la position de

B′

, mais il est prudent de reconstruire les trois si on veut obtenir plus de précision (de toute façon, cette reconstruction n’est bien sûr valable avec précision que dans les conditions de Gauss).

◊ remarque : on pourrait tracer aussi le rayon passant par le centre de courbure du miroir et qui est réfléchi par retour inverse (mais ce tracé est souvent plus “encombrant” et moins utile).

◊ remarque : l’image

A′

A

ne peut pas être reconstruite ainsi, mais (pour un miroir de faible courbure) l’image

A'B'

est non déformée et parallèle à l’objet

AB

; il suffit donc de considérer que

A′

est sur l’axe (le rayon

AS

est réfléchi par retour inverse) et que

A'B'

est perpendiculaire à l’axe.

• On définit le “grandissement” de l’image par la relation :

\displaystyle \gamma ≝\frac{\widebar{A′B′}}{\widebar{AB}}

(définition).

On montre alors d’une façon générale les deux relations algébriques suivantes (relations de conjugaison), donnant la position

A′

et le grandissement

γ

de l’image (attention aux signes) :

$\displaystyle \frac{1}{\widebar{SA′}}+\frac{1}{\widebar{SA}}=\frac{1}{\widebar{SF′}}=\frac{1}{\widebar{SF}}$ et $\displaystyle -\frac{\widebar{SA′}}{\widebar{SA}}=\gamma$ (propriété).

En comparant les différents triangles mis en évidence précédemment, essayer le démontrer ces relations.

◊ remarque : bien que l’usage en soit moins pratique, dans la mesure où le sommet

S

est plus facile à repérer que le centre de courbure

C

, on utilise parfois des relations analogues, avec “origine au centre” :

$\displaystyle \frac{1}{\widebar{CA′}}+\frac{1}{\widebar{CA}}=\frac{1}{\widebar{CF′}}=\frac{1}{\widebar{CF}}$ et $\displaystyle \frac{\widebar{CA′}}{\widebar{CA}}=\gamma$ (propriété).

• Placer donc le miroir convergent à une distance de l’objet supérieure au double de sa distance focale, puis chercher la position de l’image en déplaçant un écran (un demi-écran) jusqu’à y obtenir une image.

Mesurer (et noter, pour tracer en fin de manipulation des graphiques récapitulatifs généraux) les grandeurs suivantes :

\widebar{SA}

\widebar{SA'}

\widebar{AB}

\widebar{A'B'}

. Vérifier qu’elles sont bien en accord avec les relations de conjugaison.

◊ remarque : pour des raisons pratiques (pour ne pas être gêné par l’objet), quand on travaille sur un banc d’optique, l'écran (ou le demi-écran) doit être placé entre l’objet et le miroir ; ceci impose que l’objet soit situé à une distance du miroir supérieure au rayon de courbure (double de la distance focale).

• Par symétrie (retour inverse de la lumière) on suppose ici qu’on peut obtenir de même une image dans les conditions “interverties”, c’est-à-dire qu’avec

AB

de la taille et à la position où on a précédemment obtenu

A'B'

, on obtiendrait inversement

A'B'

de la taille et à la position où on a précédemment placé

AB

◊ remarque : il est plus difficile de vérifier ceci expérimentalement, car il faut alors tourner légèrement l’axe optique du miroir par rapport au banc d’optique (à cause de l'encombrement de la source lumineuse) et déplacer l’écran sur le côté de l’objet.

• Procéder de même pour plusieurs distances objet-miroir (tout de même supérieures au double de la distance focale), en mesurant les différentes grandeurs à chaque fois.

Image réelle d’un objet virtuel

• Dans les cas où on utilise un objet virtuel (situé “derrière” le miroir), on obtient une image réelle rétrécie et située entre le sommet et le(s) foyer(s).

• Le tracé des rayons passant respectivement par

S

F

F′

permet de même dans ce cas de reconstruire l’image réelle

A'B'

.

Les positions et grandeurs des objets et images sont liées par les mêmes relations de conjugaison (algébriques), mais elles sont ici plus difficiles à démontrer et à vérifier par les mesures.

• Les mesures peuvent être effectuées à l’aide d’une lentille annexe permettant de former une image réelle, utilisée ensuite comme objet virtuel (pour avoir la place de manipuler, éviter de construire l'image trop proche de la lentille annexe).

Derrière un objet lumineux, on place une lentille annexe et un écran dans des positions telles qu’il se forme une image sur l’écran. Dans ces conditions, on repère expérimentalement la distance lentille-écran et la taille de l’image

AB

(repérage de la position et de la taille de l’objet virtuel).

On enlève alors l’écran et on place le miroir étudié derrière la lentille annexe. On ajoute enfin l’écran (le demi-écran) “entre”

F

S

, puis on ajuste sa position pour obtenir une image.

Dans ces conditions, la lentille étudiée donne sur l’écran une image

A'B'

de l’objet virtuel

AB

(image réelle initiale utilisée comme objet virtuel). Connaissant la position et la taille de

AB

, il suffit de mesurer la position et la taille de

A'B'

pour comparer aux relations de conjugaison.

• Réaliser au moins deux mesures de ce type (et plus si possible) ; noter à chaque fois les grandeurs

\widebar{SA}

\widebar{SA'}

\widebar{AB}

\widebar{A'B'}

; vérifier qu’elles sont bien en accord avec les relations de conjugaison.

Image virtuelle d’un objet réel

• Dans les cas où l’objet

AB

(réel) est placé à une distance du miroir inférieure à la distance focale, l’image est alors virtuelle et toujours agrandie.

Il est alors impossible de placer un écran pour y former

A'B'

(puisque cette image est virtuelle, c’est-à-dire “derrière” le miroir) ; par contre, on peut facilement l’observer en plaçant l’œil devant le miroir (“grossissant”).

• Le tracé des rayons passant respectivement par

S

F

permet de même dans ce cas de reconstruire l’image virtuelle

A'B'

Les positions et grandeurs des objets et images sont liées par les mêmes relations de conjugaison (algébriques), mais elles sont ici plus difficiles à démontrer et à vérifier par les mesures.

• Les mesures peuvent être effectuées à l’aide d’un “œil artificiel” (viseur) : puisqu’on peut observer l’image virtuelle en plaçant l’œil derrière la lentille, il suffit de reconstruire un dispositif réalisant la même opération.

Derrière un objet lumineux, on place une lentille annexe (cristallin) et un écran (rétine) dans des positions telles qu’il se forme une image sur l’écran.

Placer l’œil artificiel “devant” le miroir étudié (“à l'envers” par rapport à l'orientation de la lumière incidente), puis l'ajuster pour qu'il “voie” l'image virtuelle sur l’écran-rétine.

Dans ces conditions, l’œil donne sur l’écran (rétine) une image

A″B″

de l’image virtuelle

A'B'

(utilisée comme objet observé par l’œil). Repérer la position

S

du miroir et la taille de l'image

A″B″

sur la rétine.

Enlever le miroir, puis déplacer la source lumineuse (objet

AB

) en face de l'œil (éteindre la source pendant le déplacement). Ajuster la position de la source jusqu'à ce que l'œil le voie nettement sur la rétine. Puisque l'œil n'a pas été modifié, l'objet

AB

se trouve maintenant à une position

A_{2}B_{2}

qui est la même que celle où était l'image

A'B'

avant qu'on enlève le miroir ; repérer cette position.

En comparant la taille de l'objet et celle de son image

A″_{2}B″_{2}

sur la rétine (avec la nouvelle position de l'objet), mesurer le rapport de grandissement de l'œil :

\displaystyle \gamma =\frac{\widebar{A″_{2}B″_{2}}}{\widebar{A_{2}B_{2}}}

. Connaissant ce rapport (non modifié), en déduire quelle était la taille de l'image

A'B'

donnée par la loupe :

\displaystyle \gamma =\frac{\widebar{A″B″}}{\widebar{A′B′}}

.

• Cette manipulation n’est toutefois que très difficilement réalisable car, ici encore, il faut tourner l’axe optique du miroir par rapport au banc d’optique et décaler la source sur un pied un peu à côté du banc d’optique (sur lequel on a réglé l'œil artificiel).

On peut donc préférer se contenter de supposer que les mesures correspondantes peuvent se déduire de celles du paragraphe précédent par “symétrie”, c’est-à-dire en intervertissant le rôle de l’objet et de l’image.

Graphiques récapitulatifs

• Les graphiques récapitulatifs concernent les relations de conjugaison. Pour visualiser la relation sur les positions respectives des objets et des images, on peut représenter

\displaystyle p′ =-\frac{1}{\widebar{SA′}}

en fonction de :

\displaystyle p=\frac{1}{\widebar{SA}}

.

◊ remarque : on peut utiliser

\displaystyle p′ =\frac{1}{\widebar{SA′}}

mais le sens de propagation suggère de changer le signe.

Pour un miroir, la vergence est définie par :

\displaystyle v=-\frac{1}{\widebar{SF}}=\frac{1}{\widebar{CF}}

; la première relation de conjugaison correspond à la droite d’équation :

p'=p+v

.

◊remarque : la portion en pointillés est difficile à observer mais peut être déduite par retour inverse de la lumière.

• Pour visualiser la relation sur les grandissements des images par rapport aux objets, on peut représenter

\displaystyle \Gamma =-\frac{\widebar{SA′}}{\widebar{SA}}

en fonction du grandissement

\displaystyle \gamma ≝\frac{\widebar{A′B′}}{\widebar{AB}}

.

La seconde relation de conjugaison correspond à la droite d’équation :

Γ=γ

Approfondissement : miroir divergent

• S'il reste du temps, effectuer éventuellement quelques mesures avec un miroir divergent (par analogie).

MIROIR CONVERGENT - TP*

Matériel

au bureau

lentilles et miroirs de focales diverses (des convergents et des divergents)
mètre ruban
ruban adhésif dépoli

Pour chaque groupe (9 ou 10 groupes)

un banc d’optique avec accessoires
une lampe de poche
une tige (diamètre

8 \:\mathrm{mm}

? longueur

50 \:\mathrm{cm}

?)
une tige (diamètre

8 \:\mathrm{mm}

? longueur

25 \:\mathrm{cm}

4

noix de serrage (petites)