MIROIR CONVERGENT - corrigé des exercices


Image dans un miroir

1.      
 • Les yeux sont au niveau du visage ; l'image est symétrique du visage par rapport au miroir ; pour une vision "sans fatigue" il faut se placer à  d2≈20cm\displaystyle \frac{d}{2}≈20 \:\mathrm{cm} .
• Une image de taille donnée (celle du visage a la même taille que ce dernier) est vue sous un angle d'autant plus grand qu'on regarde de plus près :  tan(α)=A′B′¯AA′¯\displaystyle \tan(α)=\frac{\widebar{A'B'}}{\widebar{AA'}}  où la distance d'observation est AA′¯\widebar{AA'} .  En regardant de plus près on voit plus gros, mais cela fatigue plus (sauf si on est très jeune car les yeux sont encore très "souples"). Par exemple en se plaçant à 15cm15 \:\mathrm{cm} (l'image est à 30cm30 \:\mathrm{cm} de l'œil) on voit ≈33%≈33 \:% plus gros.


2.a.   
• La relation de Descartes  1SA′¯+1SA¯=1SF′¯\displaystyle \frac{1}{\widebar{SA'}} +\frac{1}{\widebar{SA}}=\frac{1}{\widebar{SF'}}  pour un objet réel  SA¯<0\widebar{SA}<0  et une image virtuelle  SA′¯>0\widebar{SA'}>0  correspond à :  1SF′¯−1SA¯>0\displaystyle \frac{1}{\widebar{SF'}} -\frac{1}{\widebar{SA}}>0  ;  −1SA¯>−1SF′¯>0\displaystyle -\frac{1}{\widebar{SA}}>-\frac{1}{\widebar{SF'}}>0  ;  0<−SA¯<−SF′¯0<-\widebar{SA}<-\widebar{SF'}  ;  0>SA¯>SF′¯0>\widebar{SA}>\widebar{SF'} .  On doit donc placer le visage à moins de  f′=24cmf'=24 \:\mathrm{cm}  du miroir, mais dans ce cas limite l'image est à l'infini.


2.b.   
• L'observation sans fatigue correspond à  SA′¯=SA¯+d\widebar{SA'}=\widebar{SA}+d  ;  en notant  x=SA¯x=\widebar{SA}  et  f′=−SF′¯f'=-\widebar{SF'}  on peut écrire :  1x+d+1x=−1f′\displaystyle \frac{1}{x+d}+\frac{1}{x}=-\frac{1}{f'}  ;  x2+(2f′+d)x+f′d=0x^2+(2 \,f'+d) \: x+f' \:d=0  ;  la seule racine vérifiant la condition précédente est :  SA¯=x=−f′−d2+f′2+d24≈−12,8cm\displaystyle \widebar{SA}=x=-f'-\frac{d}{2}+\sqrt{{f'}^2+\frac{d^2}{4}}≈-12\text{,}8 \:\mathrm{cm} .


2.c.   
• Soit hh la hauteur d'une partie du visage observée (objet) et taille de l'image virtuelle avec un miroir plan, l'angle de vue serait  α=arctan(hd)\displaystyle α=\arctan\left(\frac{h}{d}\right) .
• Avec le miroir grossissant, la taille de l'image est telle que  γ=h′h=Γ=−x+dx\displaystyle γ=\frac{h'}{h}=Γ=-\frac{x+d}{x}  ;  on obtient ainsi :  h′=hx+d−x≈2,13h\displaystyle h'=h \: \frac{x+d}{-x}≈2\text{,}13 \;h .  La distance d'observation étant la même :  α′=arctan(h′d)\displaystyle α'=\arctan\left(\frac{h'}{d}\right)  et (en se limitant aux petits angles) le grossissement est :  g=α′α≈h′h≈2,13\displaystyle g=\frac{α'}{α}≈\frac{h'}{h}≈2\text{,}13 .
• L'argument du vendeur est exagéré ; si on essaye de s'approcher plus, alors pour  d=30cmd=30 \:\mathrm{cm}  on obtient  x≈−10,7cmx≈-10\text{,}7 \:\mathrm{cm}  puis  h′h=x+d−x≈1,8\displaystyle \frac{h'}{h}=\frac{x+d}{-x}≈1\text{,}8  ;  certes on voit ainsi un peu plus gros (parce qu'on est plus près), mais l'avantage du miroir convergent est dans ce cas encore moins bien, en ce sens que la diminution de  dd  a moins d'effet pour ce miroir que pour le miroir plan.