aog - OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE


Équation de l'eikonale

• On considère un milieu transparent non magnétique, inhomogène mais isotrope, d'indice de réfraction n(M)n(M) indépendant du temps tt (milieu constant) et de la longueur d'onde λλ (milieu non dispersif).

Dans la limite où la dimension du dispositif étudié est très supérieure à la longueur d'onde (limite  λ≈0λ≈0 ) la propagation de chaque composante FF du champ électromagnétique d'une onde est régie par l'équation de d'Alembert :  ∆F−n2c2∂2F∂t2=0\displaystyle ∆F-\frac{n^2}{c^2} \: \frac{∂^2 F}{{∂t}^2} =0 .

◊ remarque : en fait plus précisément  ∆E→−n2c2∂2E→∂t2=−∇→(E→⋅∇→(ln(n2)))\displaystyle ∆\overset{→}{E}-\frac{n^2}{c^2} \, \frac{∂^2 \overset{→}{E}}{{∂t}^2} =-\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{E}⋅\overset{→}{∇}\left( \ln(n^2 \,) \right)\right)  pour le champ électrique et  ∆B→−n2c2∂2B→∂t2=∇→×(B→×∇→(ln(n2)))\displaystyle ∆\overset{→}{B}-\frac{n^2}{c^2} \, \frac{∂^2 \overset{→}{B}}{{∂t}^2} =\overset{→}{∇} ×\left(\overset{→}{B} × \overset{→}{∇}\left( \ln(n^2 \,) \right)\right)  pour le champ magnétique, mais les seconds membres de ces équations sont négligeables dans la limite considérée.

• On en cherche alors une solution quasi-monochromatique sous la forme  F(M,t)=a(M,t)eiφ(M,t)F(M,t)=a(M,t) \; \mathrm{e}^{ \mathrm{i} φ(M,t) }  où l'amplitude aa et la phase φφ sont réelles.

Pour une onde quasi-monochromatique on peut considérer une pulsation  ω=−∂φ∂t\displaystyle ω=-\frac{∂φ}{∂t}  et écrire ainsi :  φ(M,t)=−ωt+ωcψ(M)\displaystyle φ(M,t)=-ω \:t+\frac{ω}{c} ψ(M)  où la quantité ψ(M)ψ(M) est nommée “eikonale”.

• En reportant dans l'équation on obtient :
∆F=[∆a−ω2c2a.(∇→ψ)2+iωc(a∆ψ+2∇→a⋅∇→ψ)]exp(−iωt+iωcψ)\displaystyle ∆F=\left[∆a-\frac{ω^2}{c^2} \, a .\left(\overset{→}{∇}ψ\right)^2+\mathrm{i} \frac{ω}{c} \left(a \:∆ψ+2 \,\overset{→}{∇}a⋅\overset{→}{∇}ψ\right)\right] \; \exp\left(-\mathrm{i} ω \:t+\mathrm{i} \frac{ω}{c} ψ\right) ;
n2c2∂2F ∂t2=n2c2 (∂2a∂t2 −2iω∂a∂t−ω2a)exp(−iωt+iωcψ)\displaystyle \frac{n^2}{c^2} \, \frac{∂^2 F}{{∂t}^2} =\frac{n^2}{c^2} \left(\frac{∂^2 a}{{∂t}^2} -2 \,\mathrm{i} ω \frac{∂a}{∂t}-ω^2 \: a\right) \; \exp\left(-\mathrm{i} ω \:t+\mathrm{i} \frac{ω}{c} ψ\right) .

La partie imaginaire donne :  a∆ψ+2∇→a⋅∇→ψ+2n2c∂a∂t=0\displaystyle a \:∆ψ+2 \:\overset{→}{∇}a⋅\overset{→}{∇}ψ+2 \, \frac{n^2}{c} \frac{∂a}{∂t}=0 , ce qui peut s'écrire sous la forme :  ∇→⋅(a2∇→ψ)+n2c∂(a2)∂t=0\displaystyle \displaystyle \overset{→}{∇}⋅\left(a^2 \;\overset{→}{∇}ψ\right)+\frac{n^2}{c} \frac{∂(a^2 \,)}{∂t}=0 .  Cette relation est liée au vecteur de Poynting et traduit la conservation de l'énergie moyenne du champ électromagnétique.

La partie réelle donne :  ∆a−ω2c2a.(∇→ψ)2+n2c2(ω2a−∂2a∂t2)=0\displaystyle ∆a-\frac{ω^2}{c^2} \, a .\left(\overset{→}{∇}ψ\right)^2+\frac{n^2}{c^2} \left(ω^2 \: a-\frac{∂^2 a}{{∂t}^2} \right)=0 , mais les variations temporelles de l'amplitude a sont négligeables en comparaison de celles de l'eikonale ψψ ; on peut pour cela penser à un train d'onde, dont la durée est très supérieure à la période d'oscillation. On peut ainsi considérer :  ∆a+ω2c2a.(n2−(∇→ψ)2)=0\displaystyle ∆a+\frac{ω^2}{c^2} \, a .\left(n^2-\left(\overset{→}{∇}ψ\right)^2 \,\right)=0 .

En considérant alors que  ωc=2πλ0\displaystyle \frac{ω}{c}=\frac{2π}{λ_0}  où λ0λ_0 est la longueur d'onde dans le vide, si les variations considérées sont dans un domaine de dimension LL on peut considérer  ω2c2|a∆a|≈(2πLλ0)2\displaystyle \frac{ω^2}{c^2} \: \left|\frac{a}{∆a}\right|≈\left(\frac{2π\: L}{λ_0} \right)^2 négligeable dans la limite étudiée. L'équation se limite donc à :  (∇→ψ)2=n2\displaystyle \left(\overset{→}{∇}ψ\right)^2=n^2  (équation de l'eikonale) ; cela constitue l'approximation de l'optique géométrique.

• On peut alors utiliser :  ψ(M)=ψ0+∇→ψ⋅OM⟶ψ(M)=ψ_0+\overset{→}{∇}ψ⋅\overset{⟶}{OM}  et  ∇→ψ=nu→\overset{→}{∇}ψ=n \;\overset{→}{u}  où u→\overset{→}{u} est un vecteur unitaire selon la propagation.

Ainsi :  φ(M,t)=ωc(ψ0+∇→ψ⋅OM⟶)−ωt=φ0+k→⋅OM⟶−ωt\displaystyle φ(M,t)=\frac{ω}{c} \:\left(ψ_0+\overset{→}{∇}ψ⋅\overset{⟶}{OM} \right)-ω \:t=φ_0+\overset{→}{k}⋅\overset{⟶}{OM}-ω \:t  avec un vecteur d'onde  k→=∇→φ=ωcnu→\displaystyle \overset{→}{k}=\overset{→}{∇}φ=\frac{ω}{c} n\; \overset{→}{u} .

Principe de Fermat

• Dans le cadre de l'optique géométrique, on cherche le trajet d'un rayon lumineux entre deux points M1M_1 et M2M_2 .

Pour un déplacement infinitésimal, la phase varie de :  dφ=k→⋅dOM⟶−ωdtdφ=\overset{→}{k}⋅d\overset{⟶}{OM}-ω \:dt  donc au total :  φ(M2,t2)−φ(M1,t1)=∫M1M2k→⋅dOM⟶−ω.(t2−t1) φ(M_2,t_2)-φ(M_1,t_1 )=∫_{M_1}^{M_2}\:\overset{→}{k}⋅d\overset{⟶}{OM}-ω .(t_2-t_1 ) .

De façon analogue au principe d'action stationnaire, on considère ici que ce déphasage est stationnaire lorsqu'on varie le trajet entre les deux limites fixées :  δ(∫M1M2k→⋅dOM⟶)=ωcδ(∫M1M2nu→⋅dOM⟶)=ωcδ(∫M1M2nd𝓁)=0δ\left(∫_{M_1}^{M_2} \:\overset{→}{k}⋅d\overset{\longrightarrow}{OM}\right)={\displaystyle \frac{ω}{c} }\: δ\left(∫_{M_1}^{M_2} \:n \;\overset{→}{u}⋅d\overset{\longrightarrow}{OM}\right)={\displaystyle \frac{ω}{c} }\: δ\left(∫_{M_1}^{M_2} \:n \:d𝓁\right)=0 .

La quantité  ∫ndℓ \int n\: d\mathrm{\ell }  est nommée “chemin optique” et mesure la durée de propagation puisque  ∫M1M2ndℓ=c∫M1M2dℓvφ=c∫M1M2dt\int_{M_{1}}^{M_{2}} \,n\: d\mathrm{\ell }={\displaystyle c\, \int_{M_{1}}^{M_{2}} \, \frac{d\mathrm{\ell }}{v_{\varphi }}}=c\; \int_{M_{1}}^{M_{2}} \,dt  ; le principe de Fermat revient donc à minimiser cette durée de propagation.
◊ remarque : il est utile de remarquer que l'intervalle  t2−t1t_{2}-t_{1}  intervenant dans la variation ∆φ∆φ , bien que sans influence puisque considéré comme constant, ne peut en fait pas être choisi arbitrairement puisqu'il se déduit du calcul ; ceci suggère de considérer tt aussi comme une coordonnée, ce qui mène au raisonnement relativiste.

Formulation hamiltonienne de l'optique géométrique

• En choisissant de paramétrer par tt , on peut écrire :
∫M1M2ndℓ=∫M1M2n(xi)∑(dxidt)2dt\int_{M_{1}}^{M_{2}} \,n\; d\mathrm{\ell }={\displaystyle \int_{M_{1}}^{M_{2}} n\left(x_{i}\right)\: \sqrt{\sum {\left(\frac{dx_{i}}{dt}\right)}^{2}}\: dt}  ;  ℒ(xi,x˙i,t)=n(xi)∑x˙i2\mathcal{L}\left(x_{i}\, ,{\dot{x}}_{i}\, , t\right)=n\left(x_{i}\right)\: \sqrt{\sum {\dot{x}}_{i}^{\,2}} .

On en déduit les moments conjugués :  pi=∂ℒ∂x˙i=n∑x˙i2x˙i\displaystyle p_{i}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_{i}}=\frac{n}{\sqrt{\sum {\dot{x}}_{i}^{\,2}}}\: {\dot{x}}_{i} .

Le hamiltonien est alors dans ce cas :  ℋ=∑(pix˙i)−ℒ=n∑x˙i2−ℒ=0\mathcal{H}=\sum \left(p_{i}\: {\dot{x}}_{i}\right)-\mathcal{L}=n\; \sqrt{\sum {\dot{x}}_{i}^{\,2}}\;-\mathcal{L}=0 .

On en déduit pour l'action 𝒮\mathcal{S} :
∂𝒮∂t=−ℋ=0\displaystyle \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}=-\mathcal{H}=0  ;  ∂𝒮∂xi=pi\displaystyle \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}=p_{i}  ;  (∇→𝒮)2=n2{\left(\overset{→}{\mathrm{\nabla }}\mathcal{S}\right)}^{2}=n^{2}  (équation de l'eikonale).

• Cette description utilise les notations hamiltoniennes pour leur aspect mathématique mais n'utilise pas l'analogie avec leur utilisation physique pour la mécanique newtonienne du point matériel. On peut alors préférer une écriture plus complète (respectant une unité  J.s \mathrm{J.s}  pour l'action) en partant du fait que le terme temporel a été simplifié dans le raisonnement précédent :
ℏωc∫M1M2ndℓ=ℏωc∫M1M2ndℓ−ℏω∫M1M2dt=∫M1M2ℏωc(n(xi)∑x˙i2−c)dt{\displaystyle \frac{\mathrm{\hbar }\omega }{c}} \:\int_{M_{1}}^{M_{2}} n\; d\mathrm{\ell }= {\displaystyle \frac{\mathrm{\hbar }\omega }{c}} \:\int_{M_{1}}^{M_{2}} n\; d\mathrm{\ell }-\mathrm{\hbar }\omega \, \int_{M_{1}}^{M_{2}} \,dt= {\displaystyle \int_{M_{1}}^{M_{2}} \: \frac{\mathrm{\hbar }\omega }{c}} \left(n\left(x_{i}\right)\; \sqrt{\sum {{\dot{x}}_{i}}^{2}}-c\right)\; dt  ;
ℒ(xi,x˙i,t)=ℏωcn(xi)∑x˙i2−ℏω\displaystyle \mathcal{L}\left(x_{i}\, ,{\dot{x}}_{i}\, , t\right)=\frac{\mathrm{\hbar }\omega }{c} \,n\left(x_{i}\right)\; \sqrt{\sum {{\dot{x}}_{i}}^{2}}-\mathrm{\hbar }\omega  ;  pi=∂ℒ∂x˙i=ℏωcn∑x˙i2x˙i\displaystyle p_{i}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_{i}}=\frac{\mathrm{\hbar }\omega }{c}\, \frac{n}{\sqrt{\sum {\dot{x}}_{i}^{\,2}}}\: {\dot{x}}_{i}  ;
ℋ=∑(pix˙i)−ℒ=ℏωcn∑x˙i2−ℒ=ℏω\displaystyle \mathcal{H}=\sum \left(p_{i}\: {\dot{x}}_{i}\right)-\mathcal{L}=\frac{\mathrm{\hbar }\omega }{c} \, n\; \sqrt{\sum {\dot{x}}_{i}^{\,2}}\,-\mathcal{L}=\mathrm{\hbar }\omega  ;
∂𝒮∂t=−ℋ=−ℏω\displaystyle \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}=-\mathcal{H}=-\mathrm{\hbar }\omega  ;  ∂𝒮∂xi=pi\displaystyle \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}=p_{i}  ;  (∇→𝒮)2=(ℏωcn)2 \displaystyle {\left(\overset{→}{\nabla}\mathcal{S}\right)}^{2}={\left(\frac{\mathrm{\hbar}\omega }{c}\, n\right)}^{2} .