OSCILLATEURS - corrigé des exercices


A. EXERCICES DE BASE

I. Suspension des voitures


 • La période des oscillations du dispositif de suspension (plus ou moins amorties par le dispositif amortisseur) est de l’ordre de grandeur de celle des oscillations propres :  T≈2πω0=2πMkT≈\frac{2π}{ω_0} =2π \:\sqrt{\frac{M}{k}} .  La raideur du dispositif de suspension est donc :  k≈4π2MT2≈9.104N.m−1k≈\frac{4π^2 \,M}{T^2} ≈9.10^4 \:\mathrm{N.m^{-1}} .
• L’abaissement d’une voiture, lorsqu’on y introduit une malle de masse  m=70kgm=70 \:\mathrm{kg} ,  est par conséquent :  h=mgk≈7,5mmh=\frac{m \:g}{k}≈7,5 \:\mathrm{mm} .
• Pour un camion, dont la charge est beaucoup plus grande, l’abaissement ne peut pas être exagérément augmenté ; il faut donc une raideur d’autant plus grande. Pour que la période des oscillations soit la même, il faudrait donc que la masse du camion soit augmentée dans les mêmes proportions que sa charge ; or ceci ne serait pas rentable.
• La raideur et l’abaissement imposant un rapport mM\frac{m}{M} plus grand, la période des oscillations est plus petite et le camion est moins confortable (les passagers ont la sensation d’être “secoués”).


II. Conditions aux limites

1. • La pulsation est :  ω0=2πT0=3,14rad.s−1ω_0=\frac{2π}{T_0} =3,14 \:\mathrm{rad.s^{-1}} .
• Sachant que la vitesse initiale est positive, la position lors de la première annulation de la vitesse correspond à l'abscisse maximale (avec  ω0t1+φ=0ω_0 \:t_1+φ=0 ) :  x1=Xmcos⁡(ω0t1+φ)=Xm=0,5mx_1=X_m \:\cos⁡\left(ω_0 \:t_1+φ\right)=X_m=0,5 \:\mathrm{m} .
• L'expression proposée correspond à :  x˙=−ω0Xmsin(ω0t+φ)\dot{x} = -ω_0 \:X_m \:\sin \left(ω_0 \:t+φ \right) .
• En particulier :  x˙(0)=−ω0Xmsin⁡(φ)\dot{x}\left(0\right) = -ω_0 \:X_m \:\sin⁡\left(φ\right)  ;  sin⁡(φ)=−x˙(0)ω0Xm=−0,637\sin⁡\left(φ\right)=-\frac{\dot{x}\left(0\right)}{ω_0 \:X_m}=-0,637  ;  φ=−0,690rad=−39,5°φ= -0,690 \:\mathrm{rad} = -39,5 \mathrm{°} .


2. • L'expression proposée correspond à :  x(t)=Xmcos⁡(φ)cos⁡(ω0t)−Xmsin⁡(φ)sin⁡(ω0t)x\left(t\right)=X_m \:\cos⁡\left(φ\right) \:\cos⁡\left(ω_0 \,t\right)-X_m \:\sin⁡\left(φ\right) \:\sin⁡\left(ω_0 \,t\right) .
• En particulier :  A=Xmcos⁡(φ)=0,386mA=X_m \:\cos⁡\left(φ\right) =0,386 \:\mathrm{m}  ;  B=−Xmsin⁡(φ)=0,318mB=- X_m \:\sin⁡\left(φ\right)=0,318 \:\mathrm{m} .


III. Associations de ressorts

a. • Les forces verticales (poids et réaction de la tige) se compensent ; on peut donc se limiter à une étude algébrique selon l’axe OxOx horizontal.
• Le mobile est soumis à la traction du ressort de droite ; l’équilibre (traction nulle) correspond donc à la position “à vide” de ce ressort. En outre, les actions réciproques entre les deux ressorts sont opposées ; elles s’annulent donc en même temps et l’équilibre correspond aussi à la position “à vide” du ressort de gauche. En notant  x1=𝓁1−𝓁01x_1=𝓁_1-𝓁_01  et  x2=𝓁2−𝓁02 x_2=𝓁_2-𝓁_02  les allongements des deux ressorts, l’écart du mobile de masse mm par rapport à l’équilibre est donc :  x=x1+x2x=x_1+x_2 .
• L’équation du mouvement correspond à :  mẍ=−k2x2m \:\ddot{x}=-k_2 \:x_2  avec x2x_2 tel que :  k1x1=k2x2k_1 \:x_1=k_2 \:x_2  (actions réciproques).  On en déduit :  x=x1+x2=x2.(1+k2k1)x=x_1+x_2=x_2 .\left(1+\frac{k_2}{k_1} \right)  et finalement :  mẍ=−Kxm \:\ddot{x}=-K \:x  avec  K=k1k2k1+k2K=\frac{k_1 \:k_2}{k_1+k_2} .
• Ceci correspond à un mouvement sinusoïdal de période  T=2πmKT=2π \:\sqrt{\frac{m}{K}} .


b. • Les forces verticales (poids et réaction de la tige) se compensent ; on peut donc se limiter à une étude algébrique selon l’axe OxOx horizontal.
• Le mobile est soumis à la traction des deux ressorts ; l’équilibre (somme des tractions nulle) ne correspond pas à la position “à vide”, mais à l’égalité (en norme) des deux tractions :  k1ξe1=k2ξe2k_1 \:ξ_{e1}=k_2 \:ξ_{e2}  (en notant  ξ1=𝓁1−𝓁01ξ_1=𝓁_1-𝓁_{01}  et  ξ2=𝓁2−𝓁02ξ_2=𝓁_2-𝓁_{02}  les allongements des deux ressorts).
• En outre, la longueur totale est constante ; c’est-à-dire qu’en choisissant l’origine à l’équilibre et en notant xx le déplacement du mobile par rapport à l’équilibre, on obtient :  ξ1=ξe1+xξ_1=ξ_{e1}+x  et  ξ2=ξe2−xξ_2=ξ_{e2}-x .
• L’équation du mouvement correspond à :  mẍ=k2ξ2−k1ξ1=−(k1+k2)x+(k2ξe2−k1ξe1)m \:\ddot{x}=k_2 \:ξ_2-k_1 \:ξ_1=-\left(k_1+k_2 \right) \:x+\left(k_2 \:ξ_{e2}-k_1 \:ξ_{e1}\right)  ;  donc finalement :  mẍ=−Kxm \:\ddot{x}=-K \:x  avec  K=k1+k2K=k_1+k_2 .
• Ceci correspond à un mouvement sinusoïdal de période  T=2πmKT=2π \:\sqrt{\frac{m}{K}} .


c. • Les forces verticales (poids et réaction de la tige) se compensent ; on peut donc se limiter à une étude algébrique selon l’axe OxOx horizontal.
• Le mobile est soumis à la traction des deux ressorts ; l’équilibre ne correspond pas à la position “à vide” des ressort, mais à une somme algébrique nulle des tractions :  k1.(𝓁e−𝓁01)+k2.(𝓁e−𝓁02)=0k_1 .\left(𝓁_e-𝓁_{01} \right)+k_2 .\left(𝓁_e-𝓁_{02} \right)=0  (les deux ressorts ont même longueur et, à l’équilibre, l’un des ressorts est étiré et l’autre est comprimé).
• Avec l’origine à l’équilibre, en notant xx le déplacement par rapport à l’équilibre  (𝓁=𝓁e+x𝓁=𝓁_e+x),  l’équation du mouvement s’écrit :  mẍ=−k1.(𝓁−𝓁01)−k2.(𝓁−𝓁02)=−(k1+k2)x−[k1.(𝓁e−𝓁01)+k2.(𝓁e−𝓁02)]m \:\ddot{x}=-k_1 .\left(𝓁-𝓁_{01} \right)-k_2 .\left(𝓁-𝓁_{02} \right)=-\left(k_1+k_2 \right) \:x-\left[k_1 .\left(𝓁_e-𝓁_{01} \right)+k_2 .\left(𝓁_e-𝓁_{02} \right)\right]  ;  donc finalement :  mẍ=−Kxm \:\ddot{x}=-K \:x  avec  K=k1+k2K=k_1+k_2 .
• Ceci correspond à un mouvement sinusoïdal de période  T=2πmKT=2π \:\sqrt{\frac{m}{K}} .



B. EXERCICE D’APPROFONDISSEMENT

IV. Grandes oscillations du pendule pesant

1. • En développant  sin⁡(θ)\sin⁡(θ)  jusqu'au premier terme non nul suivant l'ordre 1, c'est-à-dire à l'ordre 3, on obtient :  θ̈+ω02θ−ω02θ36≈0\ddot{θ}+ω_0^{\:2} \:θ-ω_0^{\:2} \,\frac{θ^3}{6\:}≈0 .


2. • Si on cherche une solution approchée sous la forme :   θ=θ0[sin⁡(ωt)+εsin⁡(3ωt)]θ= θ_0 \:\left[\sin⁡\left(ω \,t\right)+ε\; \sin⁡\left(3ω \,t\right) \right]  avec  ε≪1ε≪1,  on obtient (à l'ordre 1 en εε) :

 0≈θ0sin⁡(ωt)[ω02−ω2]+εθ0sin⁡(3ωt)[ω02−9ω2]⋯0≈θ_0\:\sin⁡\left(ω\,t\right)\:\left[ω_0^{\:2}−ω^2\right]+ε\;θ_0\:\sin⁡\left(3ω\,t\right)\:\left[ω_0^{\:2}−9\,ω^2\right] \:⋯

⋯−ω02θ036[sin3⁡(ωt)+3εsin⁡(3ωt)sin2⁡(ωt)]⋯\: -ω_0^{\:2} \:\frac{θ_0^{\:3}}{6\:} \:\left[\sin^3⁡\left(ω \,t\right)+3ε \;\sin⁡\left(3ω \,t\right) \:\sin^2⁡\left(ω \,t\right) \right] .
• On peut alors utiliser les relations trigonométriques :

 sin3⁡(ωt)=34sin⁡(ωt)−14sin⁡(3ωt)\sin^3⁡\left(ω \,t\right)=\frac{3}{4} \:\sin⁡\left(ω \,t\right)-\frac{1}{4} \:\sin⁡\left(3ω \,t\right)  ;

sin⁡(3ωt)sin2⁡(ωt)=−14sin⁡(ωt)+12sin⁡(3ωt)−14sin⁡(5ωt)\sin⁡\left(3ω \,t\right) \:\sin^2⁡\left(ω \,t\right)=-\frac{1}{4} \:\sin⁡\left(ω \,t\right)+\frac{1}{2} \:\sin⁡\left(3ω \,t\right)-\frac{1}{4} \:\sin⁡\left(5ω \,t\right) .
• Ceci donne :
0≈θ_0 \:\sin⁡\left(ω \,t\right) \:\left[ω_0^{\:2}-ω^2 \right]+ε \:θ_0 \:\sin⁡\left(3ω \,t\right) \:\left[ω_0^{\:2}-9 \,ω^2 \

 0≈sin⁡(ωt)[ω02−ω2−ω02θ028+εω02θ028]⋯0≈\sin⁡\left(ω \,t\right) \:\left[ω_0^{\:2}-ω^2-ω_0^{\:2} \:\frac{θ_0^{\:2}}{8\,}+ε \:ω_0^{\:2} \:\frac{θ_0^{\:2}}{8\,}\right]\:⋯

⋯+sin⁡(3ωt)[εω02−9εω2+ω02θ0224−εω02θ024]+sin⁡(5ωt)[εω02θ028]⋯⋯\:+\sin⁡\left(3ω \,t\right) \:\left[ε \;ω_0^{\:2}-9ε \;ω^2+ω_0^{\:2} \:\frac{θ_0^{\:2}}{24}-ε \;ω_0^{\:2} \:\frac{θ_0^{\:2}}{4}\right]+\sin⁡\left(5ω\,t\right) \:\left[ε \;ω_0^{\:2} \:\frac{θ_0^{\:2}}{8\,}\right]\:⋯ .
• Le développement en série d'harmoniques a pour terme principal celui en  sin⁡(ωt)\sin⁡\left(ω \,t\right)  (“fondamental”), et pour terme suivant celui en  sin⁡(3ωt)\sin⁡\left(3ω \,t\right) ,  avec un coefficient εε petit : il tend vers zéro quand l'amplitude θ0θ_0 tend vers zéro (isochronisme des petites oscillations). En fait, ceci est un développement en fonction des puissances de θ0θ_0 et on n'utilise la notation temporaire εε que parce qu'on ignore initialement l'ordre du terme suivant. Ainsi on doit négliger le terme en  sin⁡(5ωt)\sin⁡\left(5ω \,t\right)  dans la dernière équation et cela pour trois raisons qui ont la même origine (l'ordre du développement) :

 ◊ on n'a pas pris en compte de terme de la forme  ε′sin⁡(5ωt)ε' \:\sin⁡\left(5ω \,t\right)  dans l'expression de θθ pour décrire l'ordre suivant du développement ;

◊ le coefficient de  sin⁡(5ωt)\sin⁡\left(5ω \,t\right)  dans la dernière équation est d'ordre  εθ02ε \:θ_0^{\:2}  supérieur aux autres termes à l'ordre de développement traités ;

◊ on n'a pas pris en compte de terme en θ5θ^5 dans le développement limité de  sin⁡(θ)\sin⁡\left(θ\right) .
• Pour que le développement soit nul pour tout tt, il faut et il suffit que chaque coefficient soit nul. Le premier terme donne donc, à l'ordre le plus bas en  θ0θ_0 :  ω2=ω02[1−θ028(1−ε)]≈ω02(1−θ028)ω^2=ω_0^{\:2} \:\left[1-\frac{θ_0^{\:2}}{8\,} \left(1-ε\right)\right]≈ω_0^{\:2} \:\left(1-\frac{θ_0^{\:2}}{8\,}\right)  c'est-à-dire :   T≈T0(1+θ0216)T≈T_0 \:\left(1+\frac{θ_0^{\:2}}{16}\right) .


3. • Le second terme donne de même, à l'ordre le plus bas en θ0θ_0 :   ε=θ0292−21θ02≈θ0292ε=\frac{θ_0^{\:2}}{92-21\:θ_0^{\:2}}≈\frac{θ_0^{\:2}}{92} .  Ceci justifie que εε décrit un terme petit intervenant dans le développement en puissances de θ0θ_0 ; ceci justifie donc de même d'avoir négligé les termes en  εθ02ε \:θ_0^{\:2}  en comparaison de εε et θ02θ_0^{\:2}.
◊ remarque : on aurait pu négliger plus tôt dans le calcul le terme  ω02θ036[3εsin⁡(3ωt)sin2⁡(ωt)]ω_0^{\:2} \:\frac{θ_0^{\:3}}{6\,} \:\left[3ε \:\sin⁡\left(3ω \,t\right) \:\sin^2⁡\left(ω \,t\right) \right]  qui ne pouvait qu'être d'ordre supérieur à celui du présent calcul (pour les mêmes raisons) ; il est toutefois intéressant de n'effectuer l'approximation qu'un peu plus loin, car cela permet de se rendre compte que ce terme introduit automatiquement un terme en  sin⁡(5ωt)\sin⁡\left(5ω \,t\right)  dans le développement harmonique.