T.IV - UTILISATIONS DES GAZ PARFAITS


Notion de réversibilité

• On appelle “transformation réversible” un changement d’état thermodynamique pendant lequel le système reste en quasi-équilibre. Les conditions sont alors quasi-identiques à celles de la transformation inverse.

Les transformations avec frottements, hystérésis, etc... sont irréversibles.

☞ remarque : un changement d’état n’est produit qu’en créant un déséquilibre (la transformation réversible n’est qu’une limite théorique) ; en pratique on considère des transformations “quasi réversibles” (proches de la limite).

☞ remarque : il est nécessaire, mais non suffisant qu’une transformation soit “quasi statique” pour être quasi réversible : une lente fuite d’une bouteille de gaz est irréversible (le gaz ne peut pas ainsi rentrer dans la bouteille ! ).

Détentes irréversibles et lois de Joule

Loi de Joule/Gay-Lussac

• La première loi de Joule pour les gaz (Joule/Gay-Lussac) exprime que l'énergie interne ne dépend que de la température :  U(T,V)=U(T)U(T,V)=U(T) .

En particulier, pour un gaz parfait :  U=nRTγ−1\displaystyle U=\frac{n \:R \:T}{γ-1} .

• Cette loi peut être testée avec un assemblage de deux récipients à parois rigides et adiabatiques, reliés par un tube muni d'un robinet.

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Initialement : le robinet est fermé, le premier récipient est rempli d'un gaz à la température TT , le second récipient est “vide” (pression négligeable).

On ouvre alors le robinet : le gaz se répartit dans le volume total disponible et, après une très courte durée nécessaire pour équilibrer la pression, on mesure la variation de température ∆T∆T du gaz.

• Mécaniquement :  ∆Em=0∆E_m=0  (le gaz se déplace mais il est à nouveau immobile à la fin) et  Wenc=−∫pfredV=0W_{enc}=-∫ \,p_{fre} \; dV=0  ( pfre=0p_{fre}=0  à la limite du vide où le volume varie) ; d'après l'isolation thermique :  Q=0Q=0  ;  donc  ∆U=0∆U=0 .

Or, pour un gaz parfait, on mesure  ∆T=0∆T=0  donc  U(T,V2)=U(T,V1)U(T,V_2)=U(T,V_1)  ;  ainsi UU ne dépend pas de VV .

◊ remarque : l’expérience est délicate car il faut s’assurer que les transferts d’énergie avec les récipients sont négligeables.

Loi de Joule/Thomson (ou Joule/Kelvin)

• La deuxième loi de Joule pour les gaz (Joule/Thomson) exprime que  l'enthalpie ne dépend que de la température :  H(T,p)=H(T)H(T,p)=H(T) .

En particulier, pour un gaz parfait :  H=U+pV=γnRTγ−1\displaystyle H=U+p \:V=\frac{γ \:n \:R \:T}{γ-1} .

• Cette loi peut être testée avec un assemblage de deux récipients à parois rigides et adiabatiques, reliés par une paroi poreuse. Les volumes sont réglables par des pistons adiabatiques.

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Le récipient de gauche est rempli de gaz à température T1T_1 et son piston est manipulé de façon à imposer une pression p1p_1 constante ; le second récipient est de même à une pression  p2<p1p_2<p_1  constante.

On laisse s'établir un écoulement permanent, assez lent pour pouvoir négliger l’énergie cinétique macroscopique en comparaison de l’énergie interne (soit  ∆Em≈0∆E_m≈0 ),  puis on mesure la variation de température ∆T∆T du gaz.

• Mécaniquement :  Wenc=−∫p1dV1−∫p2dV2=−p1∆V1−p2∆V2W_{enc}=-∫ \,p_1 \: dV_1-∫ \,p_2 \: dV_2=-p_1 \: ∆V_1-p_2 \: ∆V_2  et  Q=0Q=0  (isolation thermique) ; donc  ∆H=∆(U1+p1V1)+∆(U2+p2V2)=0∆H=∆(U_1+p_1 \: V_1)+∆(U_2+p_2 \: V_2)=0 .

Or, pour un gaz parfait, on mesure  ∆T=0∆T=0  donc  H(T,p2)=H(T,p1)H(T,p_2)=H(T,p_1)  ;  ainsi HH ne dépend pas de pp .

◊ remarque : pour un gaz parfait, il n’y a pas de “frottement” dans la paroi poreuse ; le fait que les trous soient petits et que la probabilité de passage des molécules soit faible suffit à “freiner” cette traversée.

◊ remarque : si l’écoulement est tel que la variation d’énergie mécanique n’est pas négligeable, on obtient  ∆Em+∆H=0∆E_m+∆H = 0  et la température varie.

Compressions/détentes quasi-réversibles

Compression isotherme quasi-réversible

• Soit un gaz maintenu à température constante par un thermostat ; on considère une compression isotherme quasi-réversible : assez lente pour maintenir la température ( pp s'équilibre vite, mais TT s'équilibre lentement).

La loi caractéristique est :  pV=p1V1p \:V=p_1 \: V_1  (quantité constante à TT constante).

• Le travail fourni au système est :
W=∫δW=−∫pdV=−nRT∫dVV=nRTln(V1V2)W=∫δW=-∫ \,p \:dV={\displaystyle -n \:R \:T\, ∫ \frac{dV}{V}=n \:R \:T \; \ln\left(\frac{V_1}{V_2} \right)}  ;
c'est un travail moteur pour une compression, résistant pour une détente.

◊ remarque : on peut aussi écrire :  W=−∫pdV=nRT∫dpp=nRTln(p2p1)W=-∫\,p \:dV={\displaystyle n \:R \:T \,∫ \frac{dp}{p}=n \:R \:T \; \ln\left(\frac{p_2}{p_1} \right)}   ce qui est cohérent avec le calcul précédent puisque   p2V2=p1V1p_2 \: V_2=p_1 \: V_1 .

• La chaleur fournie au système (par le thermostat) lors de la transformation découle de la première loi de Joule :  ∆U=W+Q=0 ∆U=W+Q=0  à température constante, c'est-à-dire :  Q=nRTln(V2V1)\displaystyle Q=n \:R \:T \; \ln\left(\frac{V_2}{V_1} \right) .  Le système cède de la chaleur pour une compression au sens strict, il reçoit de la chaleur pour une détente.

Compression adiabatique quasi-réversible

• Soit un gaz isolé thermiquement ; on considère une compression adiabatique quasi-réversible : assez lente pour permettre à la pression de s'équilibrer (ici la contrainte est nettement moins importante que pour le cas isotherme).

La loi caractéristique d'une telle transformation peut se déduire de :  δQ=0δQ=0 ,  qui peut s’écrire :  dU=δWdU=δW ,  c'est-à-dire :  CVdT=−pdVC_V \: dT=-p \:dV .

La loi des gaz parfaits  pV=nRTp \:V=n \:R \:T  impose de plus :  dpp+dVV=dTT\displaystyle \frac{dp}{p}+\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T} .  En éliminant dTdT et avec :  γ=CpCV\displaystyle γ=\frac{C_p}{C_V}   on obtient :  dpp+γdVV=0\displaystyle \frac{dp}{p}+γ \, \frac{dV}{V}=0  dont l'intégration donne la loi d'évolution :  pVγ=p1V1γp \:V^γ=p_1 \: V_1^γ   (loi de Laplace).

• D'après la loi des gaz parfaits, la loi de Laplace (entre pp et VV ) impose aussi des relations équivalentes entre pp et TT , ou entre VV et TT .

Pour l'air ( γ=1,4γ=1\text{,}4 ) comprimé d'un rapport  V1V2=7\displaystyle \frac{V_1}{V_2} =7  dans une pompe de bicyclette :  T1=293K T_1=293\:\mathrm{K}  ( 20°C20 \:\mathrm{°C} )  donne  T2=T1.(V1V2)γ−1=638K\displaystyle T_2=T_1.\left(\frac{V_1}{V_2} \right)^{γ-1}=638 \:\mathrm{K}  ( 365°C365 \:\mathrm{°C} ).

• Le travail fourni au système lors de la transformation peut s’écrire :
W=∫δW=−∫pdV=−p1V1γ∫dVVγ=p2V2−p1V1γ−1=nRγ−1(T2−T1)W=∫ \,δW=-∫ \,p \:dV={\displaystyle -p_1 \: V_1^γ \, ∫ \frac{dV}{V^γ} =\frac{p_2 \: V_2-p_1 \: V_1}{γ-1}= \frac{n \:R}{γ-1} \, (T_2-T_1 )}  ;
mais plus simplement  Q=0Q=0  donne directement :  W=∆U=CV∆TW=∆U=C_V \: ∆T .

C'est un travail moteur pour une compression (d'où un échauffement) et un travail résistant pour une détente (d'où un refroidissement).

◊ remarque : ce raisonnement se généralise au cas “polytropique” correspondant à la proportionnalité  δQ=λδWδQ=λ \;δW .

Calorimétrie et propriétés thermoélastiques

• Les coefficients calorimétriques ne sont pas indépendants des propriétés thermoélastiques. Considérons par exemple les coefficients de compressibilité isotherme :  χT=−1V[∂V∂p]T\displaystyle χ_T=-\frac{1}{V} \, \left[\frac{∂V}{∂p}\right]_T  et adiabatique :  χQ=−1V[∂V∂p]{δQ=0}\displaystyle χ_Q=-\frac{1}{V} \, \left[\frac{∂V}{∂p}\right]_{\{δQ=0\}} .

Dans un diagramme de Clapeyron (en un point commun aux deux courbes) :

Par comparaison :  χTχQ=γ\displaystyle \frac{χ_T}{χ_Q} =γ  (relation de Reech).

• D'autres grandeurs usuelles dépendent du coefficient γγ , par exemple la vitesse de propagation du son dans les gaz :  v=γpμ=γRTM\displaystyle v=\sqrt{\frac{γ \:p}{μ}}=\sqrt{\frac{γ \:R \:T}{M}}  où μμ est la masse volumique et MM la masse molaire.

📖 exercices n° I, II, III, IV, V et VI.

Cycle moteur et cycle de Carnot

Notion de cycle moteur

• Une transformation thermodynamique peut “changer” de la chaleur en travail (par exemple la dilatation causée par chauffage…)  ;  mais pour effectuer ceci en grande quantité, la seule méthode efficace est utiliser une suite de transformations “cyclique” (dont l’état final est identique à l’état initial).

• Le cycle moteur ci-contre, décrit le fonctionnement d'un moteur à explosion à quatre temps.

Le premier temps (admission) correspond à l'entrée du gaz ( A′AA'A ) ; cette étape ne participe que de façon négligeable aux transfert thermiques ; elle ne participe pas au travail car elle est compensée par le dernier temps.
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Le deuxième temps (compression) correspond en première approximation à une compression adiabatique quasi-statique ( ABAB ) ; cette étape est assez “lente” pour que la pression s'équilibre (c'est quasi-instantané) mais trop rapide pour qu'un transfert de chaleur puisse avoir lieu.

Entre le deuxième et le troisième temps, “l’explosion” correspond en première approximation à une augmentation de pression “isochore” ( BCBC , à volume constant) ; le gaz est renouvelé à chaque cycle, mais cela est équivalent à ce qu'on pourrait obtenir en conservant le même gaz et en lui transférant à chaque cycle, depuis l'extérieur, l'équivalent en chaleur de l’énergie dégagée par la combustion.

Le troisième temps (détente) correspond en première approximation à une détente adiabatique quasi-statique ( CDCD ) ; analogue au deuxième temps.

Le quatrième temps (échappement) peut être en première approximation décomposé en deux étapes : une diminution de pression isochore ( DADA ) suivie d'une éjection du gaz à pression constante ( AA′AA' ) ; le gaz est renouvelé à chaque cycle, mais cela est équivalent à ce qu'on pourrait obtenir en conservant le même gaz et en lui prenant à chaque cycle, depuis l'extérieur, l'équivalent en chaleur de l'énergie emportée par le gaz qui s'échappe.

Par compensation de ( A′AA'A ) et ( AA′AA' ), le cycle équivaut à ( ABCDAABCDA ).

◊ remarque : le graphique d'un cycle moteur  ( −W>0-W>0 )  est parcouru dans le sens “horaire”.

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• La chaleur “reçue” lors de l'explosion s'écrit :  Q1=∫BCCVdT≈CV.(TC−TB) Q_1=∫_B^C\,C_V \: dT≈C_V .(T_C-T_B )  si on néglige les variations de CVC_V . De même, la chaleur “cédée” lors de l'échappement peut s'écrire :  −Q2=−∫DACVdT≈CV.(TD−TA) -Q_2=-∫_D^A\,C_V \: dT≈C_V .(T_D-T_A )  (cette chaleur peut être considérée comme “perdue”).

Lors d’un cycle, le travail  −W-W  fourni par le moteur doit vérifier la relation :  ∆U=W+Q1+Q2=0∆U=W+Q_1+Q_2=0  ;  le rendement (thermodynamique) du moteur est donc :  η=−WQ1=1+Q2Q1=1−TD−TATC−TB\displaystyle η=\frac{-W}{Q_1} =1+\frac{Q_2}{Q_1}=1-\frac{T_D-T_A}{T_C-T_B} .

Compte tenu de la loi de Laplace pour les adiabatiques quasi réversibles :  (V2V1)1−γ=TDTC=TATB=TD−TATC−TB\displaystyle \left(\frac{V_2}{V_1} \right)^{1-γ}=\frac{T_D}{T_C} =\frac{T_A}{T_B} =\frac{T_D-T_A}{T_C-T_B}  ;  par suite :  η=1−(V2V1)1−γ\displaystyle η=1-\left(\frac{V_2}{V_1} \right)^{1-γ} .

Dans les moteurs usuels :  V2V1≈9\displaystyle \frac{V_2}{V_1} ≈9  et  γ≈1,4γ≈1\text{,}4  ;  ainsi :  η≈58%η≈58 \:%  (mais ce calcul simplifié est trop optimiste ; le cycle réel correspond à  η≈35%η≈35 \:% ).

◊ remarque : puisque le rendement augmente en fonction du taux de compression V2V1\displaystyle \frac{V_2}{V_1} , les motoristes augmentent la résistance des carburants à la compression (indice d'octane) pour augmenter V2V1\displaystyle \frac{V_2}{V_1} et améliorer le rendement.

◊ remarque : le second principe de la thermodynamique montre qu'il est possible de réduire la perte de chaleur correspondant à Q2Q_2 , mais pas de l'éliminer : le cycle “idéal” correspond au “cycle de Carnot”.

Cas “idéal” du cycle de Carnot-Clausius

• On dit qu'un système à fonctionnement cyclique effectue un “cycle de Carnot” lorsqu'il n'échange de la chaleur qu'avec deux sources et de façon réversible. Cela correspond au rendement maximum.

On obtient un cycle de Carnot pour un gaz parfait en raccordant deux isothermes et deux adiabatiques.

☞ remarque : dans un diagramme de Clapeyron, le cycle est très “aplati” ; pour plus de lisibilité, on utilise ici  γ=53γ=\frac{5}{3}  (maximum possible).
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Les quantités de chaleur reçues lors des transformations isothermes ( ABAB ) et ( CDCD ) sont :  Q1=nRT1ln(pApB)>0\displaystyle Q_1=n \:R \:T_1 \;\ln\left(\frac{p_A}{p_B} \right)>0  et  Q2=nRT2ln(pCpD)<0\displaystyle Q_2=n \:R \:T_2 \; \ln\left(\frac{p_C}{p_D} \right)<0 .

Mais compte tenu de la loi de Laplace pour les adiabatiques ( DADA ) et ( BCBC ) :  (T1T2)γ1−γ=pDpA=pCpB\displaystyle \left(\frac{T_1}{T_2} \right)^\frac{γ}{1-γ}=\frac{p_D}{p_A} =\frac{p_C}{p_B}  ;  donc :  Q1T1+Q2T2=0\displaystyle \frac{Q_1}{T_1} +\frac{Q_2}{T_2} =0  (relation de Carnot-Clausius).

Le rendement est donc :  η=−WQ1=1+Q2Q1=1−T2T1\displaystyle η=\frac{-W}{Q_1} =1+\frac{Q_2}{Q_1} =1-\frac{T_2}{T_1} .

◊ remarque : dans ce cas c'est taux d'échauffement T1T2\displaystyle \frac{T_1}{T_2} qu'il est souhaitable d'augmenter pour améliorer le rendement.

📖 exercices n° VII, VIII et IX.