T.VII* - PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT


Systèmes hors d'équilibre

• Soumis à des actions extérieures, un système peut être hors d'équilibre ; or, un certain nombre de grandeurs physiques sont des moyennes, “débarrassées” des fluctuations aléatoires liées à l'agitation thermique.

Pour un déséquilibre violent, certaines grandeurs peuvent ne plus être définies. On se limite ici aux déséquilibres modérés, tels que les grandeurs conservent une signification “locale” ; par exemple, on suppose qu'on peut tout de même définir une température en chaque point.

Conduction électrique : loi d'Ohm

• Un “déséquilibre” du potentiel électrique 𝒱𝒱 cause un courant électrique qu'on peut décrire par un vecteur “densité de courant” :  j→=∑(ρi⟨v→i⟩) \overset{→}{j}=∑\,(ρ_i \: \langle\,\overset{→}{v}_i \,\rangle)  ,  somme des contributions des différents types (i)(i) de particules chargées.

Pour un déséquilibre modéré, le courant est proportionnel à l'effet qui le provoque :  j→=γE→=−γ∇→𝒱\overset{→}{j}=γ\: \overset{→}{E}=-γ\: \overset{→}{∇}𝒱  (loi d'Ohm locale) ; le coefficient γγ est nommé “conductivité”.

• Le courant total dans une portion de conducteur peut s'écrire :  I=∬j→⋅dS→I=∬ \,\overset{→}{j}⋅d\overset{→}{S} ,  ce qui aboutit à une relation analogue :  I=G𝒰=−G∆𝒱I=G \:𝒰= -G \:∆𝒱  (loi d'Ohm globale).

• Pour toute région de l'espace, la conservation de la charge électrique s'exprime par ailleurs avec le courant sortant :  Isort=−dQintdt\displaystyle I_{sort}=-\frac{dQ_{int}}{dt} .  En particulier en régime permanent :  Isort=0I_{sort}=0  (au total algébrique).

• Ces propriétés ne sont pas exclusivement spécifiques au courant électrique : on peut définir d'autres “courants” pour décrire des phénomènes similaires correspondant à d'autres déséquilibres.

Diffusion de particules

Courant de particules ; loi de Fick

• On considère un milieu contenant une ou plusieurs sortes de particules, plus ou moins mobiles (solution, mélange de gaz...).

Lorsqu'il existe un déséquilibre de concentration, ou de densité volumique 𝓃𝓃 , pour l'un des types de particules, il apparaît un courant de particules de ce type, tendant à rétablir l'équilibre : on dit qu'il y a “diffusion” des particules.

◊ remarque : la densité volumique 𝓃𝓃 (unité de base : m−3\mathrm{m^{-3}} ) doit ne pas être confondue avec un nombre de moles de constituants.

◊ remarque : il ne s'agit pas d'un déséquilibre de la densité volumique totale, qui correspondrait à un déséquilibre de pression et à un courant “global” ; dans un gaz, par exemple, il s'agit d'un déséquilibre de pression partielle sans déséquilibre de la pression totale.

• On peut définir un vecteur “densité de courant de particules” :  j→𝓃=𝓃⟨v→⟩ \overset{→}{j}_𝓃=𝓃\;\langle\,\overset{→}{v}\,\rangle  (pour le type de particules considéré).

Pour un déséquilibre modéré :  j→𝓃=−D∇→𝓃\overset{→}{j}_𝓃=-D \;\overset{→}{∇}𝓃  (loi de Fick locale) où le coefficient de proportionnalité DD est nommé “coefficient de diffusion”.

On peut définir globalement un “flux de particules” ou “courant de particules” à travers une surface SS :  I𝓃=∬j→𝓃⋅dS→I_𝓃=∬ \,\overset{→}{j}_𝓃⋅d\overset{→}{S} .

• On mesure par exemple pour la diffusion des isotopes dans un mélange gazeux (dans les conditions usuelles) :
pour  2H2{}^2 \mathrm{H}_2  dans  1H2{}^1 \mathrm{H}_2 :  D=1,13.10−4m2.s−1D=1\text{,}13.{10}^{-4} \; \mathrm{m^2.s^{-1}}  ;
pour  20Ne{}^{20} \mathrm{Ne}  dans  22Ne{}^{22} \mathrm{Ne} :  D=0,452.10−4m2.s−1D=0\text{,}452.{10}^{-4} \; \mathrm{m^2.s^{-1}} .

De même par exemple pour la diffusion des solutés dans l'eau :
pour  NaCl\mathrm{NaCl}  ( Na+;Cl−\mathrm{Na^+} ; \mathrm{Cl^-} ) :  D=1,9.10−9m2.s−1D=1\text{,}9.{10}^{-9} \; \mathrm{m^2.s^{-1}}  ;
pour le saccharose :  D=0,52.10−9m2.s−1D=0\text{,}52.{10}^{-9} \; \mathrm{m^2.s^{-1}} .

◊ remarque : ces coefficients dépendent de la température ; ils dépendent aussi de la pression dans le cas des gaz.

◊ remarque : la diffusion existe aussi dans les solides (cristallisés ou non) mais elle est extrêmement lente ; dans un cristal métallique en cours d'oxydation, par exemple, il y a diffusion des ions oxyde à partir de la surface au contact de l'air ; le cas des parois poreuses est aussi analogue.

Conservation des particules ; équation de la diffusion

• Pour un système dans lequel il n'y a ni formation, ni disparition de particules, la conservation peut s'exprimer globalement en considérant le nombre  N=𝓃VN=𝓃 \:V  de particules dans un volume donné :  In_sort=−dNintdt\displaystyle I_{n\text{_}sort}=-\frac{dN_{int}}{dt} .

Dans le cas d'un système ne dépendant que d'une coordonnée cartésienne xx avec  𝓃=𝓃(x,t)𝓃=𝓃(x,t) ,  la densité de courant peut s'écrire :  j→𝓃=j𝓃(x,t)u→x\overset{→}{j}_𝓃=j_𝓃 (x,t) \;\overset{→}{u}_x  ;  la conservation des particules peut alors s'exprimer localement :  ∂j𝓃∂x=−∂𝓃∂t\displaystyle \frac{∂j_𝓃}{∂x}=-\frac{∂𝓃}{∂t} .

• En combinant avec la loi de Fick locale, dans le cas (fréquent) où DD est uniforme, on peut aussi écrire :  ∂𝓃∂t=D∂2𝓃∂x2\displaystyle \frac{∂𝓃}{∂t}=D \: \frac{∂^2 𝓃}{{∂x}^2}  (équation de la diffusion).

◊ remarque : s'il y a création (ou disparition) de particules, il faut ajouter un terme de création (algébrique) :  ∂j𝓃∂x=−∂𝓃∂t]diff−∂𝓃∂t]créé\displaystyle \frac{∂j_𝓃}{∂x}=-\left.\frac{ ∂𝓃}{∂t}\right]_{diff}-\left.\frac{∂𝓃}{∂t}\right]_{créé} .

Exemples d'application

Fuite à travers un tuyau poreux
• Soit une situation où une action extérieure entretient un déséquilibre de 𝓃(x)𝓃(x) stationnaire entre deux limites x1x_1 et x2x_2 ; la densité de courant est de la forme :  j→𝓃=j𝓃(x)u→x\overset{→}{j}_𝓃=j_𝓃 (x) \;\overset{→}{u}_x .

Mais puisque  ∂𝓃∂t=0\displaystyle \frac{∂𝓃}{∂t}=0 ,  on obtient de plus :  ∂j𝓃∂x=0\displaystyle \frac{∂j_𝓃}{∂x}=0  et  ∂2𝓃∂x2=0\displaystyle \frac{∂^2 𝓃}{{∂x}^2} =0  ;  le courant uniforme est :  j𝓃=−D𝓃(x2)−𝓃(x1)x2−x1\displaystyle j_𝓃=-D \: \frac{𝓃(x_2)-𝓃(x_1)}{x_2-x_1} .

• En intégrant sur la section SS à travers laquelle circule le courant de particules on obtient :  I𝓃=G𝓃.[𝓃(x1)−𝓃(x2)]I_𝓃=G_𝓃 .\left[𝓃(x_1)-𝓃(x_2)\right]  où le coefficient  G𝓃=DSL\displaystyle G_𝓃=\frac{D \:S}{L}  (avec  L=x2−x1L=x_2-x_1 )  est nommé “conductance particulaire” (loi de Fick globale).

• Soit un tube de longueur 𝓁𝓁 , de rayon rr et d'épaisseur  e≪re≪r ,  utilisé pour transporter du gaz méthane à une pression voisine de la pression extérieure. Si le tube est légèrement poreux, en négligeant la concentration du méthane à l'extérieur ( 𝓃ext≈0𝓃_{ext}≈0 ), à travers la surface  S=2πr𝓁S=2π \:r \:𝓁  le courant de fuite est :  I𝒶=DSe𝓃\displaystyle I_𝒶=\frac{D \:S}{e} \, 𝓃  avec  𝓃=NAnV=NApRT\displaystyle 𝓃=N_\mathrm{A} \, \frac{n}{V}=N_\mathrm{A} \; \frac{p}{R \:T} .

En notant mm la masse d'une molécule CH4\mathrm{CH_4} et MM la masse molaire, on en déduit le débit massique de fuite :  Φ=mI𝓃=D2πr𝓁eMpRT\displaystyle Φ=m \:I_𝓃=\frac{D \:2π \:r \:𝓁}{e} \, \frac{M \:p}{R \:T} .

◊ remarque : il y a aussi un peu d'air extérieur qui diffuse à l'intérieur du tube ; par ailleurs, la fuite est semblable mais plus importante s'il y a une surpression intérieure (le problème est de nature différente avec un déséquilibre de pression globale).

Étalement d'un soluté dans une solution
• On considère NN molécules d'un soluté introduites dans une solution à l'instant  t=0t=0  dans le plan  x=0x=0  (le problème ne dépend ainsi que de la coordonnée xx ). Le régime est alors non stationnaire : soluté s'étale par diffusion.

On peut vérifier (la recherche directe n'est pas simple) que la solution s'exprime sous la forme :  𝓃(x,t)=N4πDtexp(−x24Dt)\displaystyle 𝓃(x,t)=\frac{N}{\sqrt{4π \:D \:t}} \; \exp\left(-\frac{x^2}{4 \,D \:t}\right) .

◊ remarque : dans l'approximation où NN molécules sont initialement dans un intervalle de largeur “nulle”, la densité volumique est alors “infinie” en  x=0x=0 .

L'évolution en fonction du temps correspond au graphique suivant (avec des échelles arbitraires).

phenTransport_Im/diffusion.png

Calcul cinétique du coefficient d'auto-diffusion

• On considère la diffusion, dans un gaz, de molécules semblables ayant pratiquement les mêmes propriétés (par exemple marquées par un isotope radioactif). On suppose que la densité volumique 𝓃𝓃 ne dépend que de xx .

• Pour trouver l'ordre de grandeur du flux de particules traversant  dS⊥OxdS⊥Ox , on peut considérer que les particules qui traversent vers la droite proviennent en moyenne de  x+=x−⟨𝓁x⟩x_+ =x- \langle\,𝓁_x \,\rangle ,  où  ⟨𝓁x⟩\langle\, 𝓁_x \,\rangle  est le libre parcours moyen selon l'axe OxOx .

phenTransport_Im/phenTransport_Im1.jpg

Leur densité volumique “moyenne” est  𝓃+≈12𝓃(x+) 𝓃_+≈\frac{1}{2}𝓃(x_+ )  puisque les autres vont dans l'autre sens. Or l'isotropie implique  ⟨v2⟩=⟨vx2⟩+⟨vy2⟩+⟨vz2⟩=3⟨vx2⟩\langle\,v^2 \,\rangle=\langle\,v_x^{\:2} \,\rangle+\langle\,v_y^{\:2} \,\rangle+\langle\,v_z^{\:2} \,\rangle= 3 \:\langle\,v_x^{\:2} \,\rangle  donc leur vitesse est  ⟨|vx|⟩≈⟨v⟩3\displaystyle \langle\,|v_x |\,\rangle≈\frac{\langle\,v\,\rangle}{\sqrt{3}}  et de même  ⟨𝓁x⟩≈⟨𝓁⟩3\displaystyle \langle\,𝓁_x \,\rangle≈\frac{\langle\,𝓁 \,\rangle}{\sqrt{3}} .

Le courant de particules est donc :
j𝓃=j𝓃++j𝓃−≈[𝓃(x+)−𝓃(x−)]⟨v⟩23≈−∂𝓃∂x⟨𝓁⟩⟨v⟩3\displaystyle j_𝓃=j_{𝓃_+}+j_{𝓃_-}≈\left[𝓃(x_+ )-𝓃(x_- )\right] \, \frac{\langle\,v\,\rangle}{2 \:\sqrt{3}}≈-\frac{∂𝓃}{∂x} \, \frac{\langle\,𝓁\,\rangle \: \langle\,v\,\rangle}{3} .

Ceci conduit au coefficient de diffusion :  D≈⟨𝓁⟩⟨v⟩3\displaystyle D≈\frac{\langle\,𝓁\,\rangle \: \langle\,v\,\rangle}{3}  ;  un calcul complet donne le même résultat avec un coefficient un peu différent, dépendant de la forme des molécules.

• Pour un gaz parfait :  ⟨v⟩=8RTπM\displaystyle \langle\,v\,\rangle=\sqrt{\frac{8 \,R \:T}{π \:M}}   et   ⟨𝓁⟩=1𝓃σ2\displaystyle \langle\,𝓁\,\rangle=\frac{1}{𝓃 \:σ \:\sqrt{2}}  avec  𝓃=NApRT\displaystyle 𝓃=N_\mathrm{A} \, \frac{p}{R \:T}  et où σσ est la “section efficace” de collision (“surface moyenne” apparente des particules en projection sur le plan perpendiculaire à la direction de collision) ; ainsi :  D≈316π2(RT)3/2NAσpM\displaystyle D≈\frac{3}{16} \: \sqrt{\frac{π}{2}} \: \frac{(R \:T)^{3/2}}{N_\mathrm{A} \: σ \:p \:\sqrt{M}} .

La dépendance en 1M\displaystyle \frac{1}{\sqrt{M}} est bien vérifiée (loi de Graham), ainsi que la dépendance en 1p\displaystyle \frac{1}{p} . Par contre, la dépendance en T3/2T^{3/2} , plus sensible aux interactions entre molécules, n'est qu'approximative pour les gaz réels (on trouve par exemple un exposant  1,65±0,051\text{,}65±0\text{,}05  pour la diffusion de 36A{}^{36}\mathrm{A} dans 40A{}^{40}\mathrm{A} .

☞ remarque : ceci montre que DD n'est généralement pas uniforme, bien que cette simplification soit souvent utilisée en première approximation.

📖 exercices n° I, II et III.

Conduction de la chaleur

Courant d'énergie thermique ; loi de Fourier

• On considère un système en déséquilibre thermique modéré, dans lequel on peut définir localement une température TT correspondant à une distribution de Maxwell (quasi-équilibre thermique local).

• Pour un déséquilibre modéré, on peut définir un vecteur “densité de courant de chaleur” :  j→Q=−K∇→T\overset{→}{j}_Q=-K \:\overset{→}{∇}T  (loi de Fourier locale) où le coefficient de proportionnalité KK est nommé “conductivité thermique”.

On peut définir globalement un “flux thermique” ou “courant de chaleur” à travers une surface SS :  IQ=∬j→Q⋅dS→I_Q=∬ \,\overset{→}{j}_Q⋅d\overset{→}{S} .

☞ remarque : ce type de courant n'est pas un effet de convection (s'il y en a un, il faut ajouter d'autres termes pour le décrire) ; il ne peut pas être défini à partir de la vitesse moyenne de déplacement des particules, car  ⟨v→⟩=0→\langle\,\overset{→}{v}\,\rangle=\overset{→}{0}  dans ce cas ; c'est ici uniquement de l'énergie d'agitation thermique des particules qui est transférée de proche en proche.

• On mesure par exemple pour des gaz (dans les conditions usuelles) :
K(H2)=18,2.10−1W.m−1.K−1K(\mathrm{H_2})=18\text{,}2.{10}^{-1} \; \mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}  ;  K(N2)=2,61.10−2W.m−1.K−1K(\mathrm{N_2})=2\text{,}61.{10}^{-2} \; \mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}} .

De même pour l'eau liquide et divers solides :
K(H2O)=0,60W.m−1.K−1K(\mathrm{H_2 O})=0\text{,}60 \;\mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}  ;  K(Cu)=390W.m−1.K−1 K(\mathrm{Cu})=390 \;\mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}  ;
K(bois)=0,2W.m−1.K−1K(bois)=0\text{,}2 \;\mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}  ;  K(polystyrène)=0,01W.m−1.K−1K(polystyrène)=0\text{,}01 \;\mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}} .

◊ remarque : ces coefficients dépendent de la température (ils dépendent peu de la pression) ; les métaux, bon conducteurs électriques, sont aussi bons conducteurs thermiques.

Conservation de l'énergie ; “équation de la chaleur”

• Pour un système dans lequel il y a uniquement transfert thermique, la conservation de l'énergie peut s'exprimer globalement pour l'énergie interne dans un volume fixé :  IQ_sort=−δQδt=−dUintdt=−CV∂T∂t\displaystyle I_{Q\text{_}sort}=-\frac{δQ}{δt}=-\frac{dU_{int}}{dt}=-C_V \, \frac{∂T}{∂t} .

Dans un cas dépendant d'une seule coordonnée xx , la densité de courant s'écrit :  j→Q=jQ(x,t)u→x\overset{→}{j}_Q=j_Q (x,t) \;\overset{→}{u}_x  ; avec l'énergie interne volumique 𝓊𝓊 et la masse volumique μμ , la conservation de l'énergie peut aussi s'exprimer localement :
−d𝓊dt=−μcV∂T∂t=∂jQ∂x\displaystyle -\frac{d𝓊}{dt}=-μ \:c_V \, \frac{∂T}{∂t}=\frac{∂j_Q}{∂x} .

• En combinant avec la loi de Fourier locale, dans le cas (fréquent) où KK est uniforme, on peut aussi écrire :  μcV∂T∂t=K∂2T∂x2\displaystyle μ \:c_V \, \frac{∂T}{∂t}=K \, \frac{∂^2 T}{{∂x}^2}  (équation de la chaleur).

◊ remarque : on obtient de même à pression constante :  μcp∂T∂t=K∂2T∂x2\displaystyle μ \:c_p \, \frac{∂T}{∂t}=K \, \frac{∂^2 T}{{∂x}^2} .

◊ remarque : s'il y a en plus transfert d'énergie sous forme de travail, il faut ajouter un terme :  ∂jQ∂x=−μcV∂T∂t−δWδt\displaystyle \frac{∂j_Q}{∂x}=-μ \:c_V \, \frac{∂T}{∂t}-\frac{δW}{δt} .

Exemples d'applications

Fuite à travers une vitre
• Soit une situation où une action extérieure entretient un déséquilibre de T(x)T(x) stationnaire entre deux limites x1x_1 et x2x_2 (sans travail dans cette zone) ; la densité de courant est de la forme :  j→Q=jQ(x)u→x\overset{→}{j}_Q=j_Q (x)\;\overset{→}{u}_x .

Mais puisque  ∂T∂t=0\displaystyle \frac{∂T}{∂t}=0  on obtient de plus :  ∂jQ∂x=0\displaystyle \frac{∂j_Q}{∂x}=0  et  ∂2T∂x2=0\displaystyle \frac{∂^2 T}{{∂x}^2} =0  ;  le courant est uniforme :  jQ=−KT(x2)−T(x1)x2−x1\displaystyle j_Q=-K \: \frac{T(x_2)-T(x_1)}{x_2-x_1}  et la température varie de façon affine.

• En intégrant sur la section SS à travers laquelle circule le courant de chaleur :  IQ=GQ.[T(x1)−T(x2)]I_Q=G_Q .\left[T(x_1)-T(x_2)\right]  où le coefficient  GQ=KSL\displaystyle G_Q=\frac{K \:S}{L}  (avec  L=x2−x1L=x_2-x_1 )  peut être nommé “conductance thermique” (loi de Fourier globale).

• Ainsi, à travers une vitre de surface  S=1m2S=1 \:\mathrm{m^2}  et d'épaisseur  e=4mme=4 \:\mathrm{mm} ,  pour  ∆T=20°C∆T=20 \:\mathrm{°C}  et  K≈1W.m−1.K−1K≈1 \;\mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}} ,  le débit des fuites de chaleur est :  IQ=KSe∆T≈5000W\displaystyle I_Q=\frac{K \:S}{e} \: ∆T≈5000 \:\mathrm{W}  (très mauvaise isolation).

• Pour un double vitrage, séparé par une épaisseur d'air  e′=6mme'=6 \:\mathrm{mm}  avec  K′≈26mW.m−1.K−1K'≈26 \;\mathrm{mW.m^{-1}.K^{-1}} ,  on obtient une continuité du courant :
IQ=KSe∆T(1)=K′Se′∆T(2)=KSe∆T(3)\displaystyle I_Q=\frac{K \:S}{e} \:∆T_{(1)}=\frac{K' \:S}{e'} \:∆T_{(2)}=\frac{K \:S}{e} \:∆T_{(3)} .

Ainsi les résistances thermiques s'ajoutent en série :
∆T=∆T(1)+∆T(2)+∆T(3)=(eKS+e′K′S+eKS)IQ=RQIQ\displaystyle ∆T=∆T_{(1)}+∆T_{(2)}+∆T_{(3)}=\left(\frac{e}{K \:S}+\frac{e'}{K' \: S}+\frac{e}{K \:S}\right) \: I_Q=R_Q \: I_Q  ;
IQ=∆TeKS+e′K′S+eKS≈84W\displaystyle I_Q=\frac{∆T}{\frac{e}{K \:S}+\frac{e'}{K' \:S}+\frac{e}{K \:S}}≈84 \:\mathrm{W}  (très bonne isolation).

◊ remarque : on obtient aussi entre autres (de façon analogue au pont diviseur de tension en électrocinétique)  ∆T(1)=∆TeKS(eKS+e′K′S+eKS)=0,34°C≪∆T\displaystyle ∆T_{(1)}=∆T \: \frac{\frac{e}{K \:S}}{\left(\frac{e}{K \:S}+\frac{e'}{K' \:S}+\frac{e}{K \:S}\right)}=0\text{,}34 \:\mathrm{°C}≪∆T .
Chauffage sinusoïdal
• Considérons le régime sinusoïdal permanent T(x,t)T(x,t) obtenu par chauffage dans le plan  x=0x=0  selon la loi :  T(0,t)=T0+θmcos(ωt) T(0,t)=T_0+θ_m\; \cos(ω \:t) .

On peut montrer que le régime permanent (après un régime transitoire) peut s'écrire :  T(x,t)=T0+θme−αxcos(ωt−αx) T(x,t)=T_0+θ_m\; \mathrm{e}^{-αx} \; \cos(ω \:t-α \:x)  avec  α=ωμcV2K\displaystyle α=\sqrt{\frac{ω \:μ \:c_V}{2 \,K}} .

Ce type d'expression décrit la propagation d'une onde thermique (très) amortie. Dans le cas du chauffage de la surface de la Terre par le rayonnement solaire, la première opposition de phase se produit à ≈0,5m ≈0\text{,}5\:\mathrm{m} de profondeur pour les variations journalières et à ≈8,5m ≈8\text{,}5 \:\mathrm{m} de profondeur pour les variations annuelles. Ceci est représenté par le graphique suivant.

phenTransport_Im/propagation.png

Exemple de calcul cinétique

• On suppose que la température ne dépend que de xx . Pour trouver l'ordre de grandeur du flux thermique traversant dSdS on peut considérer que les particules qui traversent vers la droite proviennent en moyenne de  x+=x−⟨𝓁x⟩x_+ =x-\langle\,𝓁_x \,\rangle ,  où  ⟨𝓁x⟩\langle\,𝓁_x \,\rangle  est le libre parcours moyen selon l'axe OxOx .

Leur température est  T+≈T(x+)T_+ ≈T(x_+)  ce qui correspond à une densité volumique d'énergie interne :  𝓊+=μcVT(x+) 𝓊_+ =μ\:c_V \: T(x_+) .

phenTransport_Im/phenTransport_Im1.jpg

Par ailleurs l'isotropie implique  ⟨v2⟩=⟨vx2⟩+⟨vy2⟩+⟨vz2⟩=3⟨vx2⟩\langle\,v^2 \,\rangle=\langle\,v_x^{\:2} \,\rangle+\langle\,v_y^{\:2} \,\rangle+\langle\,v_z^{\:2} \,\rangle= 3 \:\langle\,v_x^{\:2} \,\rangle  donc leur vitesse est  ⟨|vx|⟩≈⟨v⟩3\displaystyle \langle\,|v_x |\,\rangle≈\frac{\langle\,v\,\rangle}{\sqrt{3}}  et de même  ⟨𝓁x⟩≈⟨𝓁⟩3\displaystyle \langle\,𝓁_x \,\rangle≈\frac{\langle\,𝓁 \,\rangle}{\sqrt{3}} .

Le courant de particules est donc (puisque la moitié seulement des particules se déplace dans le bon sens) :
jQ=jQ++jQ−≈μcV.[T(x+)−T(x−)]⟨v⟩23≈−μcV∂T∂x⟨𝓁⟩⟨v⟩3\displaystyle j_Q=j_{Q+}+j_{Q-}≈μ \:c_V .\left[T(x_+)-T(x_-)\right] \: \frac{\langle\,v\,\rangle}{2 \:\sqrt{3}}≈-μ \:c_V \, \frac{∂T}{∂x} \,\frac{\langle\,𝓁\,\rangle \:\langle\,v\,\rangle}{3} .

Ceci conduit à la conductivité thermique :  K=μcV⟨𝓁⟩⟨v⟩3\displaystyle K=μ \:c_V \,\frac{\langle\,𝓁\,\rangle \:\langle\,v\,\rangle}{3}  ;  un calcul complet donne le même résultat avec un coefficient un peu différent, dépendant de la forme des molécules.

• Pour un gaz parfait :  ⟨v⟩=8RTπM\displaystyle \langle\,v\,\rangle=\sqrt{\frac{8 \,R \:T}{π \:M}}   et   ⟨ℓ⟩=1𝓃σ2\displaystyle \langle\,ℓ\,\rangle=\frac{1}{𝓃 \:σ \:\sqrt{2}}  avec  𝓃=NApRT\displaystyle 𝓃=N_\mathrm{A} \: \frac{p}{R \:T}  et où σσ est la “section efficace” de collision ; ainsi :  K≈2532πcVRTNAσM\displaystyle K≈\frac{25}{32} \: \sqrt{π} \: \frac{c_V \: \sqrt{R \:T}}{N_\mathrm{A} \: σ \:\sqrt{M}} .

La dépendance en 1M\displaystyle \frac{1}{\sqrt{M}} est bien vérifiée, ainsi que l'indépendance par rapport à pp (à faible concentration il y a moins de molécules, mais elles se déplacent plus en moyenne).

Par contre, la dépendance en T\sqrt{T} , plus sensible aux interactions entre molécules, n'est qu'approximative pour les gaz réels (on trouve un exposant ≈0,6≈0\text{,}6 à 1,01\text{,}0 ; par exemple 0,850\text{,}85 pour N2\mathrm{N_2} dans les conditions usuelles.

☞ remarque : ceci montre que KK n'est généralement pas uniforme, bien que cette simplification soit souvent utilisée (en première approximation).

📖 exercices n° IV, V, VI, VII et VIII.