PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT - exercices


A. EXERCICES DE BASE

Diffusion de neutrons ; stabilité d'un réacteur

        • On considère un ensemble de neutrons, dans un milieu où ils subissent de nombreux chocs qui leur communiquent une vitesse d'agitation moyenne vv constante. Lorsque la densité volumique  𝓃(x,t) 𝓃(x,t)  des neutrons dépend de la position (uniquement par l'abscisse xx ), il existe un courant de neutrons caractérisé par un vecteur densité de courant j→𝓃\overset{→}{j}_𝓃 .

1.     • Le milieu absorbe les neutrons ; on suppose que chaque neutron parcourt une même distance λλ avant d'être absorbé (en réalité c'est une moyenne). Montrer que le nombre d'absorptions par unité de volume et par unité de temps est de la forme :  C=𝓃vλ\displaystyle C=\frac{𝓃 \:v}{λ} .

2.     • Le milieu contient en outre des sources de neutrons : le nombre de créations par unité de volume et par unité de temps est S(x)S(x) . Effectuer un bilan des différentes causes d'évolution de 𝓃𝓃 , puis établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par 𝓃𝓃 .

3.     • On considère un milieu sans source de neutrons  ( S=0S=0 ).  Ce milieu correspond au demi-espace avec  x>0x>0  limité en  x=0x=0  par une source de neutrons plane délivrant N0N_0 neutrons par unité de surface et par unité de temps. Calculer 𝓃(x)𝓃(x) en régime stationnaire.

4.     • On considère un régime stationnaire dans un milieu multiplicateur de neutrons (régime stable d'un réacteur nucléaire). En admettant, pour simplifier, que chaque absorption provoque une fission libérant KK neutrons, calculer S(x)S(x) . Établir l'équation vérifiée par 𝓃𝓃 dans un tel milieu.

5.     • On considère un réacteur nucléaire compris entre deux faces planes, perpendiculaires à l'axe OxOx , aux abscisses  x=±a2\displaystyle x=±\frac{a}{2} ,  telles que la densité volumique de neutrons y est nulle :  𝓃(±a2)=0\displaystyle 𝓃\left(±\frac{a}{2}\right)=0 .
        a) Quelles conditions doivent être satisfaites pour que le réacteur atteigne effectivement un régime stable (régime “critique”) ?
        b) Quelle est la répartition correspondante pour 𝓃(x)𝓃(x) ?


Diffusion et marche au hasard ; problème à une dimension

        • L'équation de diffusion, dans un milieu à une dimension, sans création ni absorption, peut s'écrire :  ∂𝓃∂t=D∂2𝓃∂x2\displaystyle \frac{∂𝓃}{∂t}=D \:\frac{∂^2 𝓃}{∂ x^2}  où  𝓃=dNdx\displaystyle 𝓃=\frac{dN}{dx}  est la densité linéique de particules et où DD est le coefficient de diffusion.

1.     • Montrer qu'une solution possible de cette équation est :  𝓃(x,t)=N04πDtexp(−x24Dt)\displaystyle 𝓃(x, t)=\frac{N_0}{\sqrt{4π \:D \:t}} \:\exp\left(-\frac{x^2}{4 \,D \:t}\right) .

2.     a) Calculer :  N=∫−∞∞𝓃(x,t)dxN=∫_{-∞}^{∞} \, 𝓃(x, t) \:dx ,  puis :  ⟨x⟩=∫−∞∞xdNN\displaystyle \langle\,x\,\rangle=\frac{∫_{-∞}^{∞} \, x \:dN}{N} ,  puis :  ⟨x2⟩=∫−∞∞x2dNN\displaystyle \langle\, x^2 \,\rangle=\frac{∫_{-∞}^{∞} \, x^2 \:dN}{N} .
        b) En déduire une interprétation physique de la solution donnée à la question précédente.

        ☞ indication :  ∫0∞e−αx2dx=π4α∫_0^{∞} \,\mathrm{e}^{-αx^2} \:dx={\displaystyle \sqrt{\frac{π}{4 \,α}}}   et   ∫0∞xe−αx2dx=12α∫_0^{∞}\, x \;\mathrm{e}^{-αx^2} \:dx={\displaystyle \frac{1}{2 \,α}} .

3.     • On se propose d'interpréter l'expression de ⟨x2⟩\langle\, x^2 \,\rangle à l'aide d'un modèle de “marche au hasard”. On considère ainsi N0N_0 particules initialement placées en  x=0x=0 .  Ces particules effectuent une marche au hasard : elles peuvent aller, avec la même probabilité, vers la droite ou vers la gauche, effectuant à chaque fois un “pas” de longueur 𝓁𝓁 (constante). La durée d'un “pas” est ττ (constante).

        a) Quel est le nombre mm de pas (depuis le départ) effectués à l'instant  t≫τt≫τ  ?
        b) Soit pp le nombre de pas à droite effectués à l'instant tt , relier l'abscisse xx à 𝓁𝓁 , pp et mm .
        c) Montrer qu'à l'instant  t≫τt≫τ  toutes les particules sont sur un segment  [−a,a][-a \,, a]  et préciser la demi-largeur aa .
        d) Montrer que la répartition statistique des particules sur ce segment correspond à un simple problème d'analyse combinatoire.
        e) Pour  t≫τt≫τ  et  N0≫1N_0≫1  cette répartition peut être considérée comme continue. Préciser alors dNdx\displaystyle \frac{dN}{dx} en admettant, pour  m≫1m≫1 ,  l'approximation suivante :  Cmp2m≈2πmexp(−(m2−p)2m2)\displaystyle \frac{C_m^p}{2^m}≈\sqrt{\frac{2}{π \:m}} \;\exp\left(-\frac{\left(\frac{m}{2}-p\right)^2}{\frac{m}{2}}\right) .
        f) Relier dans ce cas le coefficient de diffusion DD à 𝓁𝓁 et ττ .


Équilibre de l'atmosphère isotherme et diffusion

        • L'atmosphère est assimilée à un gaz parfait de masse molaire MM ; on suppose cette atmosphère en équilibre thermique (à la température TT ) et en équilibre mécanique.

1.     • D'après la condition d'équilibre mécanique pour une tranche de gaz comprise entre  zz  et  z+dzz+dz ,  montrer que la pression est telle que :  p(z)=p0e−z/Hp(z) = p_0 \;\mathrm{e}^{-z/H}  ;  exprimer HH en fonction de RR , TT , MM et gg .

2.     • D'après la loi précédente, la densité volumique 𝓃𝓃 des particules dépend de zz . Il existe donc un phénomène d'autodiffusion caractérisé par la densité de courant :  j→𝓃=−D∇→𝓃\overset{→}{j}_𝓃=-D \;\overset{→}{∇}𝓃  où on considère (pour un gaz parfait) :  D≈⟨𝓁⟩⟨v⟩3\displaystyle D≈\frac{\langle\, 𝓁 \;\rangle \: \langle\, v \,\rangle}{3}  (en notant 𝓁𝓁 le libre parcours entre deux chocs). C'est alors le poids des molécules, dont l'effet s'oppose à la diffusion, qui permet d'atteindre un état d'équilibre statistique.

        a) Pour analyser l'effet du poids, on considère l'action d'une force constante F→\overset{→}{F} agissant sur chaque molécule de masse mm d'un gaz parfait. Écrire l'équation du mouvement d'une molécule, puis l'intégrer entre les instants séparant deux chocs consécutifs.

        b) On note  v→0\overset{→}{v}_0 la vitesse d'une molécule juste après un choc ; on note ττ la durée moyenne entre deux chocs. Donner l'expression de la moyenne  ⟨v→⟩\langle\, \overset{→}{v} \,\rangle  en fonction de F→\overset{→}{F} , mm  et  ττ .

        c) Montrer que la force F→\overset{→}{F} provoque un mouvement d'ensemble les particules, caractérisé par une densité de courant :  j→F=𝓃⟨v→⟩\overset{→}{j}_F=𝓃 \;\langle\, \overset{→}{v} \,\rangle .

3.     • Dans le cas de l'équilibre isotherme, la force agissant sur les molécules est leur poids P→\overset{→}{P} . En exprimant la compensation statistique entre les effets du poids et de la diffusion, montrer que 𝓃(z)𝓃(z) est de la forme :  𝓃(z)=𝓃0e−z/H′𝓃(z)=𝓃_0 \;\mathrm{e}^{-z/H'} .

4.     • Appliquer le principe d'équipartition de l'énergie, en considérant  ⟨v2⟩≈⟨v⟩2\langle\, v^2 \;\rangle≈\langle\, v \,\rangle{}^2  ;  comparer ainsi HH et H′H' . Conclure.


Équation de la chaleur et séparation des variables

        • L'équation décrivant la propagation de la chaleur dans un corps homogène et isotrope peut s'écrire, dans un cas unidirectionnel :  μcV∂T∂t=K∂2T∂x2\displaystyle μ \:c_V \:\frac{∂T}{∂t}=K \:\frac{∂^2 T}{∂x^2}  où μμ est la masse volumique, cVc_V la capacité thermique massique, KK la conductivité thermique.

1.     a) Montrer que l'équation précédente admet des solutions de la forme :  T(x,t)=f(t)g(x)+TcT(x,t)=f(t)\: g(x)+T_c  où TcT_c est une constante.
        b) Montrer que f(t)f(t) ne peut pas physiquement être une fonction croissante. Écrire explicitement les solutions du type précédent.

2.     • On considère un solide limité par deux plans perpendiculaires à l'axe OxOx , situés à  x=0x=0  et  x=𝓁x=𝓁 ,  dans lequel existe initialement une répartition de température :  T(x,0)=T0+(T1−T0)sin(πx𝓁)\displaystyle T(x,0)=T_0+(T_1-T_0) \;\sin\left(\frac{π \:x}{𝓁}\right) .
        a) À  t=0t=0  on plonge le solide dans un bain maintenu à la température T0T_0 . Donner la loi d'évolution de la température T(x,t)T(x,t) dans le solide.
        b) Déterminer les instants t1t_1 et t2t_2 tels que la température en  x=𝓁2\displaystyle x=\frac{𝓁}{2}  soit égale à  T0+12(T1−T0)T_0+\frac{1}{2}\,(T_1-T_0)  puis  T0+110(T1−T0)T_0+\frac{1}{10}\,(T_1-T_0) .

         
 Données : T0=0°CT_0=0 \:\mathrm{°C}  ;  T1=50°CT_1=50 \:\mathrm{°C}  ;  K=376W.m−1.K−1K=376\; \mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}  ;
cV=420J.K−1.kg−1c_V=420 \;\mathrm{J .K^{-1}.kg^{-1}}  ;  𝓁=0,10m𝓁=0\text{,}10 \:\mathrm{m}  ;  μ=8,9.103kg.m−3μ=8\text{,}9.10^3 \;\mathrm{kg.m^{-3}} .


Résolution numérique de l'équation de la chaleur

        • L'équation décrivant la propagation de la chaleur dans un corps homogène et isotrope peut s'écrire, dans un cas unidirectionnel :  μcV∂T∂t=K∂2T∂x2\displaystyle μ \:c_V \:\frac{∂T}{∂t}=K \:\frac{∂^2 T}{∂x^2}  où μμ est la masse volumique, cVc_V la capacité thermique massique, KK la conductivité thermique.
        • On considère un solide limité par deux plans perpendiculaires à l'axe OxOx , situés à  x=0x=0  et  x=𝓁x=𝓁 .  Ce solide est caractérisé par :  KμcV=1,0.10−4m2.s−1\displaystyle \frac{K}{μ \:c_V}=1\text{,}0.10^{-4} \;\mathrm{m^2.s^{-1}} .

1.     • Le solide est porté à la température T2T_2 . À l'instant  t=0t=0  on le plonge dans un bain maintenu à la température T0T_0 .
        • On se propose de calculer numériquement la loi d'évolution de la température T(x,t)T(x,t) dans le solide. À cet effet, on partage l'intervalle [0,𝓁] [0\,,𝓁] en segments égaux de longueur ∆x∆x et le temps en intervalles égaux de durée ∆t∆t . On désigne par Tn;mT_{n;m} la température au point d'abscisse  x=n∆xx=n \:∆x  et au temps  t=m∆tt=m \:∆t .
        • Montrer qu'en choisissant :  (∆x)2=2KμcV∆t\displaystyle (∆x){}^2=2 \,\frac{K}{μ \:c_V} \,∆t  on obtient la relation :
Tn;(m+1)=12(T(n+1);m+T(n−1);m)T_{n;(m+1)}=\frac{1}{2}\left(T_{(n+1);m}+T_{(n-1);m}\right) .

2.     • Utiliser cette relation pour suivre numériquement l'évolution de T(x,t)T(x,t) représentée, par exemple, dans un tableau à double entrée avec le temps en ordonnée.
        a) Analyser l'évolution dans un intervalle compris entre  t=0t=0  et  10 ∆t10 \,∆t .
        b) Représenter la distribution de température en fonction de xx pour  t=5st=5 \:\mathrm{s} .

Données :  T0=0°CT_0=0 \:\mathrm{°C}  ;  T2=100°CT_2=100 \:\mathrm{°C}  ;  𝓁=10cm𝓁=10 \:\mathrm{cm}  ;  ∆x=𝓁10\displaystyle ∆x=\frac{𝓁}{10} .


Chauffage d'une maison

1.     a) À partir de l'équation de Fourier, en supposant qu'il y a conservation de l'énergie thermique, établir “l'équation de la chaleur” pour un milieu homogène et ne dépendant que d'une coordonnée xx .
        b) Montrer que, dans le cas stationnaire, la variation de T(x)T(x) est nécessairement affine. Quelle est dans ce cas la particularité de la densité de courant j→Q\overset{→}{j}_Q ?

2.     • On considère une maison dont on suppose (pour simplifier) que le sol et le toit ont le même comportement thermique que les murs ; on suppose de même que les fenêtres, munies de doubles vitrages, ont le même comportement thermique que les murs.
        • Calculer le débit de chaleur dans les conditions suivantes :

3.     • On arrête le chauffage de la maison et on laisse la température intérieure décroître. Quelle est la température intérieure deux heures après l'arrêt du chauffage ?


Chauffage par le sol

        • Pour réaliser le chauffage par le sol d'un local, on dispose successivement :
        • La température des éléments chauffants est  T1=100°CT_1=100 \:\mathrm{°C}  et celle du sous sol (sous la vermiculite) est identique à la température de la surface du marbre  T0=20°CT_0=20 \:\mathrm{°C} .

1.     a) Justifier que les écarts de température entre les limites des différentes couches sont proportionnels aux quotients  eiKi\displaystyle \frac{e_i}{K_i}  entre épaisseurs et conductivités.
        b) Expliquer comment cette propriété est liée à la notion de “résistance thermique”.
        c) En déduire les températures atteintes par les différentes surfaces de séparation.

2.     • Quelle est la fraction d'énergie thermique perdue par le sol en dessous de la vermiculite ?

3.     • On considère ensuite qu'une épaisseur de terre de 1m1 \:\mathrm{m} (conductivité  K4=418.10−5W.K−1.cm−1K_4=418.10^{-5} \;\mathrm{W.K^{-1}.cm^{-1}} ) participe à l'isolement ; en dessous de cette épaisseur, la température est 10°C10 \:\mathrm{°C} ; quelle est dans ce cas la fraction d'énergie calorifique perdue vers le bas ?


Structure réfractaire composite

        • Une couche de briques réfractaires, de conductivité thermique  Kb=6,22kJ.h−1.m−1.K−1K_b=6\text{,}22 \;\mathrm{kJ .h^{-1}.m^{-1}.K^{-1}}  et d'épaisseur  b=50mmb=50 \:\mathrm{mm} ,  est placée entre deux plaques d'acier d'épaisseur  a=6,3mma=6\text{,}3 \:\mathrm{mm}  et de conductivité thermique  Ka=186,4kJ.h−1.m−1.K−1K_a=186\text{,}4 \;\mathrm{kJ .h^{-1}.m^{-1}.K^{-1}} .
        • Les faces des briques adjacentes aux plaques sont rugueuses et elles ne sont en contact avec l'acier que sur 30%30 \:% de leur surface. L'épaisseur des aspérités est en moyenne  e=0,8mme=0\text{,}8 \:\mathrm{mm} .  L'air enfermé dans ces aspérités ne peut en pratique pas se déplacer : il n'y a pas de mouvement de convection et l'air ne peut transmette la chaleur que par conduction. La conductivité thermique de l'air est  K=0,13kJ.h−1.m−1.K−1K=0\text{,}13 \;\mathrm{kJ .h^{-1}.m^{-1}.K^{-1}} .

1.     • Représenter schématiquement une portion du mur ainsi réalisé ; indiquer un schéma électrique équivalent.

2.     • Calculer, pour chaque couche, la résistance thermique par unité de surface du mur. Commenter.

3.     • Sachant que les températures extérieures des plaques d'acier sont respectivement  T0=93°CT_0=93 \:\mathrm{°C}  et  T1=427°CT_1=427 \:\mathrm{°C} ,  déterminer le flux thermique par unité de surface du mur.


B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT

Diffusion dans un tuyau poreux

        • On considère l'état stationnaire de diffusion gazeuse dans un tube cylindrique de rayon rr et de très grande longueur LL . Les concentrations (densités volumiques) des molécules diffusantes sont maintenues constantes :  𝓃0𝓃_0  en  x=0x=0  ;  𝓃1𝓃_1  en  x=Lx=L .  Le coefficient de diffusion est DD .
        • Le tube est de plus légèrement poreux ; ainsi des molécules diffusent vers l'extérieur à travers la paroi latérale, d'épaisseur  e≪re≪r ,  caractérisée par un coefficient de diffusion  D′≪DD'≪D .

1.     • Effectuer le bilan du flux de molécules, à l'état stationnaire, dans une tranche de longueur dxdx . En déduire une relation entre la densité de courant j𝓃j_𝓃 dans le tube et la concentration 𝓃𝓃 .

2.     a) Écrire l'équation de la diffusion qui régit 𝓃(x)𝓃(x) à l'état stationnaire. La résoudre pour les conditions aux limites données (pour cela, on peut poser :  α=2D′erD\displaystyle α=\sqrt{\frac{2 \,D'}{e \:r \:D}} ).
        b) Étudier le cas  αL≫1α \:L≫1 .


Diffusion et marche au hasard ; problème à trois dimensions

        • L'équation de diffusion, dans un milieu à trois dimensions, sans création ni absorption, peut s'écrire :  ∂n∂t=D∆𝓃\displaystyle \frac{∂n}{∂t}=D \:∆𝓃  avec  𝓃=dNdV\displaystyle 𝓃=\frac{dN}{dV}  la densité volumique de particules ; DD le coefficient de diffusion ;  ∆𝓃∆𝓃  l'opérateur laplacien appliqué à 𝓃𝓃 .
        • On considère des conditions de diffusion à symétrie sphérique autour d'un point, dans lesquelles l'isotropie conduit à raisonner avec  ∆n=1r∂2(r𝓃)∂r2\displaystyle ∆n=\frac{1}{r} \:\frac{∂^2 (r \:𝓃)}{∂r^2}  en coordonnées sphériques.
 
1.     • Montrer qu'une solution possible de cette équation est :  𝓃(r,t)=N0(4πDt)3/2exp(−r24Dt)\displaystyle 𝓃(r, t)=\frac{N_0}{(4π \:D \:t)^{3/2}} \;\exp\left(-\frac{r^2}{4 \,D \:t}\right) .

2.     a) Calculer :  N=∭𝓃dVN=∭ \,𝓃 \:dV   puis  ⟨r2⟩=∭r2dNN\displaystyle \langle\, r^2 \,\rangle=\frac{∭ \,r^2 \:dN}{N} .
        b) En déduire une interprétation de la solution donnée à la question précédente.
        ☞ indication :  ∫0∞e−αx2dx=π4 α∫_0^{∞} \,\mathrm{e}^{-αx^2} \;dx={\displaystyle \sqrt{\frac{π}{4 \,α}}}   et   ∫0∞xe−αx2dx=12α∫_0^{∞} \,x \;\mathrm{e}^{-αx^2} \:dx={\displaystyle \frac{1}{2 \,α}} .

3.     • On se propose d'interpréter l'expression de ⟨r2⟩\langle\, r^2 \,\rangle à l'aide d'un modèle de “marche au hasard”. On considère ainsi N0N_0 particules initialement placées à l'origine OO . Ces particules effectuent une marche au hasard : elles peuvent aller, avec la même probabilité, dans n'importe quelle direction, effectuant à chaque fois un “pas” 𝓁→i\overset{→}{𝓁}_i de même longueur 𝓁𝓁 . La durée d'un “pas” est ττ (ici 𝓁𝓁 et ττ sont considérées constantes).
        a) Quel est le nombre mm de pas effectués à l'instant  t≫τt≫τ  ?
        b) Exprimer la position  r→(t)\overset{→}{r}(t)  d'une particule donnée, sous forme d'une somme de vecteurs.
        c) Calculer  ‖r→(t)‖2\left‖\,\overset{→}{r}(t)\,\right‖^2  et retrouver l'expression de la question (2) par un processus de moyenne.
        d) Quel est la relation entre DD , 𝓁𝓁 et ττ ?


Échauffement dans un réacteur nucléaire

        • On considère un réacteur nucléaire en régime stationnaire, dont les éléments de combustible sont des cylindres pleins de rayon  r0=14,5mmr_0=14\text{,}5 \:\mathrm{mm} ,  dans lesquels se produit un dégagement de chaleur constant et uniforme  q=700W.cm−3q=700 \;\mathrm{W.cm^{-3}} (d'origine nucléaire). On note TeT_e la température extérieure ; la conductivité thermique des barreaux est  K=0,27W.K−1.cm−1K=0\text{,}27 \;\mathrm{W.K^{-1}.cm^{-1}} .

1.     • En appliquant la loi de Fourier à une couche cylindrique de rayon rr et d'épaisseur drdr , établir la variation de la température T(r)T(r) à l'intérieur d'un barreau (compte tenu de sa faible épaisseur drdr , on raisonne pour la couche cylindrique comme pour une tranche plane ; on néglige par ailleurs les “effets de bord” aux extrémités du barreau).

2.     • Calculer la température maximale TmT_m atteinte dans un barreau, puis la différence  Tm−TeT_m-T_e .