MESURE D’UNE CAPACITÉ THERMIQUE - corrigé du TP


Correction des transferts de chaleur parasites

• On considère qu'en bonne approximation les transferts parasites avec l’extérieur sont décrits par un “flux thermique” de la forme :  δQdt=A+B.(T−Te) \displaystyle \frac{δQ}{dt}=A+B.(T-T_e)  où TeT_e est la température extérieure.

• Si la température varie de façon affine :  T=Ti+αtT=T_i+α \:t  (où la notation simplifiée tt désigne en fait  t−tit-t_i ), le transfert de chaleur parasite correspond à :
Qe=∫titfA+B.(Ti−Te+αt)dt=∆t.[A+B.(Ti−Te)]+Bα12(∆t)2Q_e=∫_{t_i}^{t_f} \,A+B .(T_i-T_e+α \:t) \; dt=∆t \,.[A+B .(T_i-T_e )]+B \:α \, \frac{1}{2} {(∆t)}^2 .

Mais par ailleurs  Tf=Ti+α∆tT_f=T_i+α \:∆t  donc :
Qe=∆t12[A+B.(Ti−Te)]+∆t12[A+B.(Tf−Te)]=∆t12(P(Ti)+P(Tf))Q_e=∆t \: \frac{1}{2} \:[A+B .(T_i-T_e )]+∆t \, \frac{1}{2} \:[A+B .(T_f-T_e )]=∆t \: \frac{1}{2}\,\left(P(T_i )+P(T_f )\right) .

En outre, l'expression du flux P(T)P(T) étant affine :
(Ti−Te)+(Tf−Te)2=Ti+Tf2−Te\displaystyle \frac{(T_i-T_e )+(T_f-T_e )}{2}=\frac{T_i+T_f}{2}-T_e  ;  Qe=∆tP(Ti)+P(Tf)2=∆tP(Ti+Tf2)\displaystyle Q_e=∆t \, \frac{P(T_i )+P(T_f )}{2}=∆t \:\:P\left(\frac{T_i+T_f}{2}\right) .

• Le bilan thermodynamique avec correction peut s'écrire :  ∆U=W+Qe∆U=W+Q_e  ;  par linéarité des équations, on peut le décomposer en deux étapes, la première correspondant au cas idéal  ∆Uid=W∆U_{id}=W  ensuite seulement suivie d'une perturbation  ∆Ue=Qe∆U_e=Q_e .  La variation correspondante de la température est alors ∆θ∆θ telle que  ∆Ue=C∆θ=Qe∆U_e=C \:∆θ=Q_e  ;  ainsi  ∆θ≈QeC\displaystyle ∆θ≈\frac{Q_e}{C}  (cela n'est qu'approximatif car les flux des fuites thermiques dépendent de la température et celle-ci ne varierait pas linérairement dans un tel processus, mais l'écart n'est que du second ordre).

◊ remarque : si la variation de TT est effectivement à peu près affine pour le chauffage électrique, l'approximation est plus grossière pour la méthode des mélanges.

Manipulation

Capacité thermique de l’eau et méthode du chauffage électrique

• On réalise le montage avec une résistance chauffante  R≈5Ω R≈5\:\mathrm{Ω}  ; la résistance dépend un peu de la température et il importe surtout de mesurer la tension  𝒰=11,5±0,02V 𝒰=11\text{,}5±0\text{,}02\:\mathrm{V}  et le courant  I=2,30±0,05A I=2\text{,}30±0\text{,}05\:\mathrm{A} .

Le calorimètre et les autres parties d'aluminium ont une masse  m0=71,0±0,2g m_0=71\text{,}0±0\text{,}2\:\mathrm{g}  ;  on y ajoute l'eau et on repèse pour connaître par différence la masse d’eau  m2=288,0±0,2g m_2=288\text{,}0±0\text{,}2\:\mathrm{g} .

CapTherm_corTP_Im/chauffage.png

◊ remarque : les températures sont ici mesurées avec des thermomètres de haute précision.

• Pour corriger les fuites thermiques, on ajuste des droites sur les mesures avant et après chauffage ; leur prolongement jusqu'au milieu de la durée du chauffage donne une estimation de l'effet de la puissance moyenne des fuites (cela revient à calculer quelles seraient les températures aux limites si le travail électrique WW avait été fourni instantanément, donc sans fuite).

On obtient une variation  ∆T=5,55±0,05°C∆T=5\text{,}55±0\text{,}05 \:\mathrm{°C}  en une durée  ∆t=270±6s ∆t=270±6\:\mathrm{s}  ;  la variation corrigée des fuites est  ∆T=5,58±0,05°C∆T=5\text{,}58±0\text{,}05 \:\mathrm{°C}  donc la correction est pratiquement négligeable (inférieure aux incertitudes).

◊ remarque : on obtient assez généralement une correction négligeable en procédant symétriquement  par rapport à la température extérieure, ce qui peut se faire en refroidissant préalablement un peu le dispositif (en le posant sur des glaçons).

• Le travail électrique est  W=𝒰I∆t=7140±330J W=𝒰\:I \:∆t=7140±330 \:\mathrm{J}  ;  la capacité thermique de l'aluminium est  C0=c0m0C_0=c_0 \: m_0
avec une capacité thermique massique  c0=0,897±0,005J.K−1.g−1c_0=0\text{,}897±0\text{,}005 \;\mathrm{J .K^{-1}.g^{-1}}  (d'après les tables de données) donc  C0=63,7±0,5J.K−1C_0=63\text{,}7±0\text{,}5 \;\mathrm{J .K^{-1}}  ;  la capacité thermique de l'eau est  C2=W∆T−C0=1216±70J.K−1\displaystyle C_2=\frac{W}{∆T}-C_0=1216±70 \;\mathrm{J .K^{-1}}  et sa capacité thermique massique est  c2=C2m2=4,22±0,25J.K−1.g−1\displaystyle c_2=\frac{C_2}{m_2} =4\text{,}22±0\text{,}25 \;\mathrm{J .K^{-1}.g^{-1}} .

Le résultat est correct mais peu précis avec un seul résultat d'expérience (très peu d'étudiants parviennent à faire plusieurs mesures ; l'efficacité de l'organisation inter-groupes est insuffisante).

Capacité thermique des métaux et méthode des mélanges

• On prépare un bloc de fer de masse  m2=510,2±0,2g m_2=510\text{,}2±0\text{,}2\:\mathrm{g}  à une température  T2=80±2°CT_2=80±2 \:\mathrm{°C}  (dans un bain d’eau chaude à température connue, c'est toutefois la principale cause d'incertitude). On prépare un calorimètre (plus l'agitateur) en aluminium de masse  m0=99,0±0,2g m_0=99\text{,}0±0\text{,}2\:\mathrm{g}  contenant une masse  m1=166,8±0,2g m_1=166\text{,}8±0\text{,}2\:\mathrm{g}  d’eau (on pèse le calorimètre pendant le remplissage, ce qui permet de contrôler la masse d'eau par différence).

CapTherm_corTP_Im/melange.png

• Pour corriger les fuites thermiques, on ajuste des droites sur les mesures avant et après chauffage ; leur prolongement jusqu'au milieu de la durée du chauffage donne une estimation de l'effet de la puissance moyenne des fuites (cela revient à calculer quelles seraient les températures aux limites si le travail électrique WW avait été fourni instantanément, donc sans fuite).

On obtient pour l'eau et le calorimètre une variation  ∆T01=11,3±0,4°C∆T_{01}=11\text{,}3±0\text{,}4 \:\mathrm{°C}  ;  la variation corrigée des fuites est  ∆T01=11,5±0,4°C∆T_{01}=11\text{,}5±0\text{,}4 \:\mathrm{°C}  donc la correction est pratiquement négligeable (inférieure aux incertitudes).

On obtient pour le fer une variation  ∆T2=−40,8±2,2°C∆T_2=-40\text{,}8±2\text{,}2 \:\mathrm{°C}  (incertitude importante principalement à cause des fuites thermiques lors du transvasement initial du bloc, bien qu'on procède le plus rapidement possible, car sa température est alors très différente de celle extérieure).

• On en déduit la capacité thermique du bloc de métal :  C2=−(C0+C1)∆T01∆T2=222±21J.K−1\displaystyle C_2=-(C_0+C_1 )\: \frac{∆T_{01}}{∆T_2}=222±21 \;\mathrm{J .K^{-1}}  ;  ceci correspond à une valeur massique :  c2=0,436±0,040J.K−1.g−1c_2=0\text{,}436±0\text{,}040 \;\mathrm{J .K^{-1}.g^{-1}}  (tout à fait comparable aux valeurs tabulées) et à une valeur molaire :  C2m=24,3±2,3J.K−1.mol−1C_{2\mathrm{m}}=24\text{,}3±2\text{,}3 \;\mathrm{J .K^{-1}.mol^{-1}}  hélas de précision modeste, mais compatible avec la loi de Dulong et Petit.

◊ remarque : les étudiants n'ont pas transmis d'autres mesures pour améliorer la précision ou pour comparer à d'autres métaux ; la principale difficulté est l'organisation entre groupes de TP.