PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE - corrigé des exercices


A. EXERCICES DE BASE

Notions d'énergie interne et de chaleur

1.      
 • On suppose pour simplifier que, dans les conditions considérées, la Terre et la Lune peuvent être décrites par des points matériels (plus de détails compliquerait nettement et ne changerait rien au principe).
• Une telle description nécessite a priori de prendre en compte :
  • les énergies cinétiques de la Terre et de la Lune ;
  • l'énergie potentielle d'interaction Terre-Lune ;
  • les énergies potentielles de la Terre et de la Lune par rapport au reste du système solaire.


2.a.   
• Cette autre description nécessite de prendre en compte dans l'énergie mécanique :
  • l'énergie cinétique du barycentre II , associée au mouvement d'ensemble ;
  • l'énergie potentielle d'interaction avec le reste du système solaire, calculée en II .
• Ce à quoi il faut ajouter en tant qu'énergie interne :
  • l'énergie cinétique interne, associée au mouvement relatif par rapport à II ;
  • l'énergie potentielle (interne) d'interaction Terre-Lune ;
  • l'écart (s'il n'est pas négligeable) de l'énergie potentielle avec le reste du système solaire, puisque la Terre et la Lune ne sont pas exactement en II (ce qui est une propriété interne).


2.b.   
• Avec cette description, les “travaux” (ainsi nommés par rapport à la première description) liés aux déformations internes ne peuvent pas être décrits comme tels ; ils interviennent en tant que “transfert thermique”, modifications de l'énergie non descriptibles comme travail.


2.c.   
• Une description selon la seconde méthode semblerait plus logiquement devoir intervenir pour décrire des systèmes plus complexes, par exemple une galaxie formée d'un très grand nombre d'étoiles. L'intérêt d'envisager un système extrêmement simple est de montrer que les notions considérées interviennent fondamentalement dès ce niveau très basique.
• L'étude correspondante du système Terre-Lune semblerait y être plus logiquement adapté pour une étude “vue de loin”, quand on ne connaît pas précisément les informations “internes”, mais il faut noter que rien n'interdit d'omettre volontairement ces informations (même si elles sont très bien connues) : les notions d'énergie interne et de chaleur ne sont pas définies de façon intrinsèque. Une telle omission d'une partie de l'information contribue alors à la notion d'entropie du système.
• Par contre, pour un tel système ainsi décrit, on ne disposerait pas d'un jeu de variables d'état (telle que pression, température...) en fonction desquelles on puisse exprimer l'énergie interne. En particulier le système n'est pas en équilibre thermique (et il en est d'ailleurs de même pour une galaxie) ; il n'est en outre pas assez “chaotique” pour qu'on y retrouve des comportements internes du type “usuel” (des effets de résonances régissent de façon importante les interactions planétaires).


Mélange de gaz parfaits

1.      
 • Pour un gaz parfait  H=U+pV=U+nRTH=U+p \:V=U+n \:R \:T ,  où HH et UU ne dépendent que de la température. Ainsi  Cp=∂H∂T=∂U∂T+nR=CV+nR\displaystyle C_p=\frac{∂H}{∂T}=\frac{∂U}{∂T}+n \:R=C_V+n \:R  (relation de Mayer). On en déduit :  γ=CpCV=1+nRCV\displaystyle γ=\frac{C_p}{C_V} =1+\frac{n \:R}{C_V}  ;  CV=nRγ−1\displaystyle C_V=\frac{n \:R}{γ-1} .

2.      
 • On peut calculer :  γ=CpmCVm=CpCV=n1Cpm1+n2Cpm2n1CVm1+n2CVm2\displaystyle γ=\frac{C_{p\mathrm{m}}}{C_{V\text{m}}} =\frac{C_p}{C_V} =\frac{n_1 \: C_{p\mathrm{m}1}+n_2 \: C_{p\mathrm{m}2}}{n_1 \: C_{V\text{m}1}+n_2 \: C_{V\text{m}2}} .
• Mais par ailleurs :  Cpmi=CVmi+R=γiCVmiC_{p\mathrm{m}i}=C_{V\text{m}\,i}+R=γ_i \; C_{V\text{m}\,i}   donc   CVmi=Rγi−1\displaystyle C_{V\text{m}\,i}=\frac{R}{γ_i-1}   et   Cpmi=γiRγi−1\displaystyle C_{p\mathrm{m}i}=γ_i \, \frac{R}{γ_i-1} .
• En remplaçant, on obtient ainsi :  γ=γ1n1γ1−1+γ2n2γ2−1n1γ1−1+n2γ2−1\displaystyle γ=\frac{γ_1 \, \frac{n_1}{γ_1-1}+γ_2 \, \frac{n_2}{γ_2-1}}{\frac{n_1}{γ_1-1}+ \frac{n_2}{γ_2-1}} .


Mesure d'une capacité thermique massique

1.      
 • En notant DD le débit massique, le déplacement d'une tranche de liquide pendant une durée  dtdt  correspond à l'entrée d'une masse  dm=Ddtdm=D \:dt  à la température T1T_1 et la sortie d'une même masse à la température T2T_2 .
• En régime stationnaire, toute la partie médiane reste inchangée (y compris la résistance chauffante), donc le déplacement de la tranche équivaut à un remplacement d'une masse  dmdm  de température T1 T_1 par une masse  dmdm  de température T2T_2 .
• Ainsi :  dHi(Ti)=dmcTidH_i (T_i)=dm \:c \:T_i   et donc  dH=dmc.(T2−T1)dH=dm \:c .(T_2-T_1) .

2.      
 • Si on choisit d'inclure la résistance dans le système, ce dernier ne reçoit pas de chaleur mais reçoit le travail électrique  δW=RI2dtδW=R \:I^2 \: dt .
◊ remarque : pour un liquide, incompressible et indilatable, les travaux des forces pressantes de part et d'autre se compensent ; mais en fait il suffit de raisonner avec l'enthalpie pour éviter de devoir en détailler le calcul.
• Si on n'inclut pas la résistance dans le système, ce dernier ne reçoit pas de travail ; il faut par contre préciser qu'en régime stationnaire, la température de la résistance restant constante, celle-ci elle transmet au liquide sous forme de chaleur autant d'énergie qu'elle reçoit électriquement :  δQ=RI2dtδQ=R \:I^2 \: dt .
• Le premier principe donne :  dU≈dH=dmc.(T2−T1)=RI2dtdU≈dH=dm \;c .(T_2-T_1)=R \:I^2 \: dt  ;  donc :  Dc.(T2−T1)=RI2D \:c .(T_2-T_1)=R \:I^2  et finalement :  c=RI2D.(T2−T1)=758J.K−1.kg−1\displaystyle c=\frac{R \:I^2}{D .(T_2-T_1)}=758 \;\mathrm{J .K^{-1}.kg^{-1}} .


Mesure d'une capacité thermique massique

1.      
 • On note MM la masse d'eau équivalant au colorimètre plus l'eau contenue et m1m_1 la masse de liquide intérieur. En notant DD le débit massique, le déplacement d'une tranche de liquide pendant une durée dtdt correspond à l'entrée d'une masse  dm=Ddtdm=D \:dt  à la température T1T_1 et la sortie d'une même masse à la température T(t)T(t) .
• L'application du premier principe donne :  dU≈dH=(Mc+m1c1)dT+dmc1.(T−T1)=0dU≈dH=(M \:c+m_1 \: c_1) \:dT+dm \:c_1 .(T-T_1)=0  où on considère la capacité thermique de la quantité de liquide dont la température a changé.
• Ceci correspond à :  (Mc+m1c1)dTdt+Dc1.(T−T1)=0\displaystyle (M \:c+m_1 \: c_1) \, \frac{dT}{dt}+D \:c_1 .(T-T_1)=0  donc finalement :  T=T1+(T0−T1)e−t/τT=T_1+(T_0-T_1)\: \mathrm{e}^{-t/τ}  avec une constante de temps  τ=Mc+m1c1Dc1\displaystyle τ=\frac{M \:c+m_1 \: c_1}{D \:c_1} .

2.      
 • D'après les données :  τ=tln(T0−T1T−T1)=840s\displaystyle τ=\frac{t}{\ln\left(\frac{T_0-T_1}{T-T_1}\right)} =840 \:\mathrm{s} .  On en déduit :  c1=McDτ−m1=1,01±0,05J.g−1.K−1\displaystyle c_1=\frac{M \:c}{D \:τ-m_1}=1\text{,}01±0\text{,}05 \;\mathrm{J .g^{-1}.K^{-1}} .

3.      
 • En négligeant la contribution de la masse de liquide dans le calcul de la capacité thermique totale, on obtient :  c1≈McDτ=0,995J.g−1.K−1\displaystyle c_1≈\frac{M \:c}{D \:τ}=0\text{,}995 \;\mathrm{J .g^{-1}.K^{-1}} .  On constate que l'écart est négligeable en comparaison des incertitudes de mesures (il faudrait effectuer plusieurs mesures, plus précises, sur des durées plus longues, en prenant beaucoup de précautions pour l'isolation thermique...).


Freinage d'un camion

1.      
• Considéré à pression constante, le premier principe peut s’écrire :  dEm+dH=δW+δQdE_m+dH=δW+δQ  (où δWδW représente l’ensemble des travaux autres que ceux des forces pressantes ou des forces prises en compte dans l’énergie potentielle).
• En supposant que le système {camion} est thermiquement parfaitement isolé de l'extérieur, on peut considérer que (globalement) :  δQ=0δQ=0 .  En supposant qu’il est pseudo-isolé mécaniquement et qu’il ne reçoit pas d’autres travaux (électriques, ou autres), on peut considérer que :  δW=0δW=0  (la réaction normale du sol compense le poids ; le frottement au sol ne travaille pas car il ne déplace pas son point d’application tant que le camion ne dérape pas).
• En supposant que le mouvement est horizontal, on peut considérer en outre que pour la pesanteur :  dEp=0dE_p=0 .  Le premier principe se limite donc à :  dEc+dH=0dE_c+dH=0 .
◊ remarque : il serait ici “imprudent” d’essayer de raisonner sur la condition  δQ=0δQ=0  (qui ne correspond pas à une différentielle totale) alors qu’interviennent des frottements (phénomènes irréversibles).
• En considérant la somme des contributions des différentes parties du système (à pression constante), on obtient ainsi :  dEc+dH=d(12Mv2)+CpdTdE_c+dH=d\left(\frac{1}{2} M \:v^2 \right)+C_p \: dT   où   d(12Mv2)d\left(\frac{1}{2} M \:v^2 \right)  décrit le ralentissement du camion et où  CpdTC_p \: dT  décrit le réchauffement des freins.
• En intégrant sur toute la transformation (en supposant constante la quantité  Cp=mcC_p=m \:c ),  on obtient :  ∆Ec+∆H=−12Mv02+mc∆T=0∆E_c+∆H=-\frac{1}{2} M \:v_0^{\:2}+m \:c \:∆T=0  et donc :  ∆T=Mv022mc\displaystyle ∆T=\frac{M \:v_0^{\:2}}{2 \,m \:c}  avec  m=4μVm=4 \,μ \:V  et  V=πr2eV=π \:r^2 \: e .  Ceci donne numériquement :  ∆T=330°C∆T=330 \:\mathrm{°C} .

2.      
• L'échauffement calculé est celui que subiraient les freins s'ils étaient thermiquement isolés, c'est pourquoi ils ne le sont pas (on les place volontairement dans un emplacement bien ventilé).
• Il n'en reste pas moins que l'échauffement serait important et risquerait de provoquer l'ébullition du liquide servant à la transmission des commandes de freinage. Les bulles de gaz apparaissant dans le liquide perturberaient alors la transmission de l'effort de compression imposé par la pédale de frein et le freinage serait inopérant.
• L'utilisation de ralentisseurs électromagnétiques, dont la transmission se fait électriquement, permet d'éviter cet inconvénient.
◊ remarque : les transmissions par câbles et tringles (qui étaient utilisées au début de l'époque de l'automobile) sont plutôt à éviter, à cause des risques trop importants de grippage et/ou d'usure.


B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT

Échauffement d'un résistor

         
• Le travail  électrique reçu est :  δW=PdtδW=P \:dt ,  la quantité de chaleur reçue est :  δQ=−aC.(T−T0)dtδQ=-a \:C .(T-T_0) \:dt , donc la variation de l'enthalpie donne la relation :  dH=CdT=δQ+δW=−aC.(T−T0)dt+PdtdH=C \:dT=δQ+δW=-a \:C .(T-T_0) \:dt+P \:dt .
• Ceci conduit à une variation de TT selon l'équation différentielle linéaire :  dTdt+aT=aT0+PC\displaystyle \frac{dT}{dt}+a \:T=a \:T_0+\frac{P}{C} .
• Les solutions sont de la forme :  T(t)=T0+PaC+Θe−at\displaystyle T(t)=T_0+\frac{P}{a \:C}+Θ \;\mathrm{e}^{-at}   où  ΘΘ  est une constante qui découle des conditions initiales :  T(0)=T0T(0)=T_0   donc  Θ=−PaC\displaystyle Θ=-\frac{P}{a \:C}   et finalement :  T(t)=T0+PaC(1−e−at)\displaystyle T(t)=T_0+\frac{P}{a \:C} \,\left(1-\mathrm{e}^{-at} \right) .
• La température limite au bout d'un temps très long est :  Tlim=T0+PaC\displaystyle T_{lim}=T_0+\frac{P}{a \:C} .