SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE - exercices


A. EXERCICES DE BASE

Variations d'entropie

1.     • Une mole d'atomes d'hélium est enfermée dans un cylindre dont les parois sont perméables à la chaleur, lui-même plongé dans un thermostat à 273K 273\:\mathrm{K} . Initialement, le gaz est à 300K 300\:\mathrm{K} ; on le laisse refroidir à volume constant.
        a) Sans aucun calcul, indiquer (en justifiant) quelle est la température d'équilibre ?
        b) Quelle est la valeur du coefficient  γ=CpCV\displaystyle γ=\frac{C_p}{C_V}   pour un gaz parfait monoatomique ?
        c) Calculer les variations d'entropie du gaz, du thermostat et de l'ensemble (supposé isolé).

2.     • Partant de l'équilibre précédent, on réduit de moitié le volume du gaz de manière isotherme et réversible. Calculer les variations d'entropie du gaz, du thermostat et de l'ensemble (supposé thermiquement isolé de l'extérieur).


Établissement d'un équilibre

        • Un cylindre vertical dont les parois sont adiabatiques est fermé aux deux extrémités ; il est séparé en deux par la pensée en deux parties AA et BB . Le cylindre contient un gaz parfait ; il est supposé assez haut pour que l'effet de la pesanteur implique une pression dépendant de l'altitude zz .
        • Pour étudier l'équilibre de l'ensemble, on raisonne avec deux sous-systèmes AA et BB en équilibre interne, mais pas forcément entre eux.
        • Déterminer les conditions d'équilibre (mécanique et thermodynamique).
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Variations d'entropie

        • Un corps AA de capacité thermique CpC_p passe de la température initiale T0T_0 à la température finale TfT_f par contacts successifs avec une suite de 𝓃𝓃 thermostats thith_i de températures TiT_i étagées entre T0T_0 et TfT_f (avec  T𝓃=TfT_𝓃=T_f ).  On suppose que les TiT_i sont réparties de telle sorte que :  Ti+1Ti=α\displaystyle \frac{T_{i+1}}{T_i} =α  soit constant (pour simplifier).

1.     a) Justifier que l'interaction avec chaque thermostat est irréversible.
        b) En considérant l'ensemble {A+thi} \{A+th_i\} , montrer qu'il existe une borne inférieure pour la variation d'entropie ∆Si∆S_i correspondante de AA .
        c) Pour la transformation totale, calculer la variation ∆S∆S minimum de AA en fonction de CpC_p , αα et 𝓃𝓃 .

2.     • Étudier la limite de ∆S∆S pour  𝓃→∞𝓃→∞  et comparer à la limite d'une transformation réversible.
        ◊ indication : en notant  τ=TfT0\displaystyle τ=\frac{T_f}{T_0}  et en remarquant que  τ−1/𝓃→1τ^{-1/𝓃}→1 ,  on peut noter :  τ−1/𝓃=1−ετ^{-1/𝓃}=1-ε  ;  on obtient alors :  ln(τ)≈𝓃ε\ln(τ)≈𝓃 \:ε .


Création d'entropie

        • Un solide AA de capacité thermique CC est suspendu à l'extrémité d'un ressort, à l'intérieur d'un récipient aux parois adiabatiques, rempli d'air à la pression pp . Le ressort est initialement maintenu tendu par un dispositif électromagnétique commandé de l'extérieur (symbolisé ci-contre par un pointillé). L'ensemble est à la température TT .
        • Le corps AA est alors libéré et oscille verticalement jusqu'à s'immobiliser après amortissement des oscillations par frottement dans l'air. L'ensemble s'équilibre à une température T′T' .

1.     • Justifier que  T′>TT'>T .
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2.     • Justifier que le processus est irréversible et préciser la variation d'entropie.


Entropie standard

        • Sous la pression de référence  ( pо=1barp^о=1 \:\mathrm{bar} ),  la capacité calorifique molaire du chrome peut s'écrire :  Cpm=a1+a2T−a3T2\displaystyle C_{p\text{m}}=a_1+a_2 \: T-\frac{a_3}{T^2}   avec  a1=22,3J.K−1.mol−1a_1=22\text{,}3 \;\mathrm{J .K^{-1}.mol^{-1}}  ;  a2=9,87.10−3J.K−2.mol−1a_2=9\text{,}87.{10}^{-3} \; \mathrm{J .K^{-2}.mol^{-1}}  ;  a3=184.103J.K.mol−1a_3=184.{10}^3 \; \mathrm{J .K.mol^{-1}} .
        • Sachant que l'entropie molaire standard est :  Smо=23,8J.K−1.mol−1S_\mathrm{m}^о=23\text{,}8 \;\mathrm{J .K^{-1}.mol^{-1}}  à 298K 298\:\mathrm{K} ,  calculer l'entropie molaire standard à 900K 900\:\mathrm{K} .


Entropie de réaction

        • Sachant que l'enthalpie massique de fusion de la glace est (à la pression standard) :  𝓁=334J.g−1𝓁=334 \;\mathrm{J .g^{-1}} ,  calculer l'entropie molaire standard à 273K 273\:\mathrm{K} .


Machine thermique

        • Deux corps identiques, de capacité calorifique CC constante et dont les températures initiales sont T1T_1 et  T2<T1T_2<T_1 ,  servent de sources de chaleur à une machine “idéale”, supposée motrice, fonctionnant par cycles réversibles entre ces deux sources seulement.

1.     • On suppose que chaque cycle met en jeu des transferts d'énergie WW , Q1Q_1 et Q2Q_2 suffisamment faibles pour que la température des sources ne varie pas notablement au cours d'un cycle. Écrire les relations entre ces transferts d'énergie.

2.     • En réalité, ces transferts causent de légères variations des températures des sources ; exprimer les relations entre ∆Ti∆T_i et QiQ_i .

3.     • Au bout d'un temps très long, l'ensemble tend vers une situation d'équilibre. Chaque cycle étant infinitésimal en comparaison du total, on note ici dTidT_i , δQiδQ_i et δWδW les quantités calculées précédemment.
        a) Calculer la température d'équilibre.
        b) Calculer le travail total obtenu (lorsque l'écart à l'équilibre devient négligeable).


Centrale nucléaire

        • Une centrale nucléaire fournissant une puissance de 1000MW1000 \:\mathrm{MW} est installée au bord d'un fleuve dont la température est 300K 300\:\mathrm{K} et le débit 400m3.s−1400 \;\mathrm{m^3.s^{-1}} . La température de la source chaude est 700K 700\:\mathrm{K} . En admettant que le rendement soit seulement 60%60 \:% du rendement de Carnot, quelle est l'élévation de température du fleuve qui résulte du fonctionnement ?


Chauffage d'un appartement

        • On veut maintenir dans un appartement une température  T1=290K T_1=290\:\mathrm{K}  grâce à une pompe à chaleur utilisant comme source froide un lac de température  T2=280K T_2=280\:\mathrm{K}  ;  la température extérieure est uniformément égale à T2T_2 . Le maintien de T1T_1 constante nécessite de compenser juste les pertes de chaleur.

1.     • Pour évaluer les pertes, on arrête le chauffage alors que la température intérieure est initialement T1T_1 . Au bout de 2h2 \:\mathrm{h} , la température n'est plus que 285K 285\:\mathrm{K} . En admettant que la quantité de chaleur perdue pendant un temps  dtdt  est de la forme :  δQ=ACp.(T−T2)dtδQ=A \:C_p .(T-T_2) \;dt ,  où  Cp=1,0.107J.K−1C_p=1,0 .{10}^7 \; \mathrm{J .K^{-1}}  est la capacité calorifique de l'appartement, calculer la constante de proportionnalité AA .

2.     • Sachant que le coefficient d'efficacité réel de la machine n'est que 40%40 \:% de l'efficacité théorique, quelle puissance faut-il fournir pour maintenir une température T1T_1 constante dans l'appartement ?


Machine frigorifique

        • Les machines frigorifiques à absorption sont basées sur la variation avec la température de la solubilité des gaz dans les liquides. Elles fonctionnent schématiquement avec trois sources de chaleur telles que  T1<T2<T3T_1<T_2<T_3 . Il n'y a aucune pièce métallique mobile : l'apport d'énergie électrique est entièrement employé à “vaporiser” une solution d'ammoniac dans un générateur à température T3T_3 (le fluide ne reçoit pas le travail électrique WelW_{el} mais la chaleur  Q3=WelQ_3=W_{el} ,  par exemple par effet Joule).
        • L'ammoniac, après avoir été liquéfié (par une détente interne qui ne fait intervenir aucun transfert dans le bilan énergétique), est envoyé dans l'évaporateur à température T1T_1 où il se vaporise en enlevant de la chaleur à la source froide.
        ◊ remarque : l’énoncé dit “évaporateur” (et non vaporisateur) car cela correspond au passage à l'état gazeux mélangé dans le gaz environnant ; il faut éviter la confusion avec le sens usuel (incorrect) du mot “vaporisateur”, dont le vrai nom est “brumisateur” : formation de très fines gouttelettes liquides en suspension dans le gaz environnant.
        • Les vapeurs vont ensuite se dissoudre dans l'eau au niveau d'un absorbeur à la température ambiante T2T_2 en restituant de la chaleur au milieu extérieur.
        ◊ remarque : la dissolution provoque une diminution de pression du gaz, d’où la faible pression de vaporisation dans l’évaporateur, correspondant à la détente (diminution de pression) préalable qui a provoqué la liquéfaction évoquée au début.
        • La solution est ensuite chauffée par une résistance chauffante, ce qui provoque l’évaporation de l’ammoniac (effet de distillation : l’ammoniac est plus volatil que l’eau et sort de la solution en n’entraînant que très peu de vapeur d’eau). Le gaz ainsi séparé est à nouveau liquéfié par une détente... et ainsi de suite.

1.     • En supposant le fonctionnement idéal, exprimer le coefficient d'efficacité (“rendement”) en fonction de T1T_1 , T2T_2 et T3T_3 .

2.     • Comparer à l'efficacité d'une machine à compresseur n'utilisant que les deux sources T1T_1 et T2T_2 .

Données :  T1=265K T_1=265\:\mathrm{K}  ;  T2=293K T_2=293\:\mathrm{K}  ;  T3=373K T_3=373\:\mathrm{K} .


B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT

Entropie d'un gaz parfait

        • En partant de l'expression de l'énergie interne, démontrer l'expression de l'entropie d'un gaz parfait.


“Gaz” formé d'une seule molécule

        • On considère un “gaz” formé d'une seule molécule enfermée dans un cylindre de section 𝒮𝒮 et de longueur aa , fermé par un piston (le volume est  V=𝒮aV=𝒮 \:a ).  Pour simplifier, on suppose que la molécule se déplace uniquement selon l'axe du cylindre (axe OxOx ) en effectuant des allers et retours entre le piston et le fond du cylindre.

1.     • En supposant les chocs élastiques (ce qui équivaut à supposer la paroi adiabatique), calculer la force moyenne qui s'exerce sur le piston, ainsi que la pression pp correspondante, en fonction de l'énergie UU de la molécule. En déduire que l'équation d'état de ce système peut s'écrire :  pV=2Up \:V = 2 \,U .

2.     • On comprime quasi-réversiblement (et adiabatiquement) ce “gaz” en déplaçant le piston. Montrer que l'équation d'une adiabatique quasi-réversible est :  UV2=U1V12U \:V^2 = U_1 \: V_1^{\:2}  (quantité constante).

3.     • À la molécule de masse mm et de vitesse vv , la mécanique quantique associe une “onde de De Broglie” (ou “fonction d'onde”) de longueur d'onde  λ=hmv\displaystyle λ=\frac{h}{m \:v}  (où hh est la constante de Planck) ; cette onde doit former par interférence une onde stationnaire. Ceci impose :  a=𝓃λ2\displaystyle a=𝓃 \, \frac{λ}{2}  (quantification avec  𝓃∈ℕ𝓃∈ℕ ).
        a) Montrer que 𝓃𝓃 reste constant lors d'une compression adiabatique quasi-réversible (on peut pour cela montrer que UV2U \:V^2 s'exprime simplement en fonction de 𝓃𝓃 ).
        b) En supposant que cette propriété est également vraie pour un système de molécules constituant un gaz parfait, en déduire que toute transformation adiabatique quasi-réversible est aussi isentropique (avec un nombre d'états  équivalents constant).


Transfert thermique et variation d'entropie

        • On considère une “tranche” de matériau homogène comprise entre deux thermostats aux températures T+T_{+} et T−T_{-} . On note AA l'aire de la surface en contact avec les thermostats et DD l'épaisseur de la tranche. En régime permanent, la théorie de Fourier prévoit dans ce cas que la température s'équilibre pour donner une variation affine de la position, correspondant à un “flux” thermique uniforme et constant dans toute la tranche :  Φ=δQdt=KAD(T+−T−)\displaystyle Φ=\frac{δQ}{dt}=K \, \frac{A}{D} \, (T_{+}-T_{-} )  où la constante KK est la “conductivité thermique” du matériau.
        • Étudier le bilan d'entropie de la tranche en fonction du temps.


Mouvement macroscopique

1.     • On considère un système isolé, décomposé par la pensée en une somme de sous-systèmes {k}\{k\} assez petits pour être représentés par des points matériels M(k)M_{(k)} (volume constant et rotation propre négligeable), mais assez grand pour être considérés comme macroscopiques.
        • On suppose que les sous-systèmes n'ont pas d'interaction qui ferait intervenir une énergie potentielle. Exprimer comment l'entropie de l'ensemble dépend des énergies  E(k)=Em(k)+U(k) E_{(k)}=E_{m(k)}+U_{(k)}  et des impulsions  p→(k)\overset{→}{p}_{(k)}  des sous-systèmes.

2.     • En déduire qu'à l'équilibre thermodynamique le mouvement de l'ensemble s'effectue forcément sans déformation (mouvement entièrement décrit par l'énergie mécanique, sans mouvements internes).
        ☞ indication : utiliser la méthode des multiplicateurs de Lagrange.


Établissement d'un équilibre

1.     • Un cylindre vertical dont les parois sont adiabatiques est fermé aux deux extrémités ; il est séparé en deux par un piston sans frottement, parfaitement diatherme. Les deux compartiments AA et BB contiennent un même gaz parfait.
        • Déterminer les conditions d'équilibre (mécanique et thermodynamique).

2.     • Pour un cylindre analogue, mais sans piston, on souhaite étudier le comportement du gaz dans le cas où la hauteur est assez grande, afin que l'effet de la pesanteur soit non négligeable. On raisonne comme précédemment, mais pour une tranche de gaz de hauteur hh , assez petite pour être “infinitésimale” en comparaison de la hauteur totale.
        • Déterminer les conditions d'équilibre (mécanique et thermodynamique).
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Création d'entropie par les frottements

1.     • Un liquide, de masse volumique μμ et ce capacité thermique massique cc , circule à vitesse constante dans une canalisation horizontale adiabatique de section σσ . Les frottements internes associés à la viscosité du fluide imposent une “perte de pression” lors de la circulation (ci-dessous  p2<p1p_2<p_1 ).

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        • Pour se ramener à un système fermé, on considère une tranche de liquide se déplaçant d'une longueur  dxdx .  Montrer que le premier principe implique une élévation de température :  T2>T1T_2>T_1 .
        ◊ remarque : les travaux des forces de frottement visqueux sont internes, car la vitesse du liquide s'annule au bord de la couche limite en contact avec la canalisation.

2.     • Montrer que cela est associée à une création d'entropie.