NOTIONS DE THERMODYNAMIQUE

NOTIONS DE THERMODYNAMIQUE - exercices

A. EXERCICES DE BASE

Extensivité

1. • Lorsqu'on regroupe deux ensembles respectivement de

N_1

N_2

constituants (de même type), cela peut modifier leurs conditions d'interactions et faire qu'une grandeur additive

G

pour l'ensemble soit alors

G'=G'_1+G'_2≠G_1+G_2

; peut-on alors considérer qu'elle est ainsi non proportionnelle à

N=N_1+N_2

?

2. • La masse est-elle une grandeur extensive ?

3. • Compte tenu des effets de dilatation et/ou de compression, le volume est-il une grandeur extensive ?

Baromètre de Huygens

• Le baromètre de Huygens comprend une cuve à mercure

A

: soit

S

la surface libre (annulaire) du mercure dans

A

• Le tube barométrique comporte un renflement

B

de section

s_1

surmonté d’un tube

C

de section

s_2<s_1

. Le mercure monte jusqu’au niveau

N_1

, environ au milieu de

B

; il est surmonté par de la glycérine dont la surface libre est au niveau

N_2

. L’espace au dessus de

N_2

est pratiquement vide (la pression de vapeur de la glycérine est négligeable).

• Calculer la variation du niveau

N_2

pour une variation

∆p

de la pression atmosphérique ; en déduire le gain en précision par rapport au baromètre ordinaire.

données :

S=50 \:\mathrm{cm^2}

;

s_1=5\text{,}0 \;\mathrm{cm^2}

;

s_2=0\text{,}20 \;\mathrm{cm^2}

;
masses volumiques : mercure :

ρ=13\text{,}6 \;\mathrm{kg.L^{-1}}

; glycérine :

μ=1\text{,}05 \;\mathrm{kg.L^{-1}}

Pression dans un liquide et gaz parfait

• Un tube cylindrique retourné sur une cuve à mercure contient dans sa partie supérieure un gaz parfait. La hauteur de gaz dans le tube est

10 \:\mathrm{cm}

; la hauteur de mercure dans le tube, au dessus du niveau dans la cuve, est

60 \:\mathrm{cm}

. La masse volumique du mercure est :

ρ=13\text{,}6 \;\mathrm{kg.L^{-1}}

.
• On enfonce alors le tube de

20 \:\mathrm{cm}

, à température constante (on attend au besoin qu’elle se rééquilibre avec l’extérieur) et on constate que la hauteur de mercure dans le tube, au dessus du niveau dans la cuve, n’est plus que

45 \:\mathrm{cm}

. En déduire la pression atmosphérique.

Pression dans un liquide et gaz parfait

• Un cylindre vertical fermé aux deux extrémités est séparé en deux compartiments égaux par un piston homogène, cylindrique et sans frottement, dont la hauteur est

5\text{,}0 \:\mathrm{cm}

et dont la masse volumique est

μ=2\text{,}7 \;\mathrm{g.cm^{-3}}

. Chacun des deux compartiments, de

50 \:\mathrm{cm}

de hauteur, contient un gaz parfait à

0 \:\mathrm{°C}

.
• La pression dans le compartiment inférieur correspond à une dénivellation de

100 \:\mathrm{mm}

dans un baromètre à mercure (la masse volumique du mercure est

ρ=13\text{,}6 \;\mathrm{kg.L^{-1}}

et le coefficient de la pesanteur est

g=9\text{,}81 \;\mathrm{m.s^{-2}}

).
• On échauffe alors l’ensemble à

100 \:\mathrm{°C}

. En négligeant la dilatation du cylindre et du piston, calculer la nouvelle position du piston.

Pression dans un liquide et gaz parfait

• Un cylindre vertical fermé aux deux extrémités est séparé en deux compartiments égaux par un piston homogène, cylindrique et sans frottement, dont la hauteur est

5\text{,}0 \:\mathrm{cm}

et dont la masse volumique est

μ=2\text{,}7 \;\mathrm{g.cm^{-3}}

. Chacun des deux compartiments, de

50 \:\mathrm{cm}

de hauteur, contient un gaz parfait à

0 \:\mathrm{°C}

.
• La pression dans le compartiment inférieur correspond à une dénivellation de

100 \:\mathrm{mm}

dans un baromètre à mercure (la masse volumique du mercure est

ρ=13\text{,}6 \;\mathrm{kg.L^{-1}}

et le coefficient de la pesanteur est

g=9\text{,}81 \;\mathrm{m.s^{-2}}

).
• On retourne alors l’ensemble de haut en bas, en maintenant la température constante (ou en la laissant se rééquilibrer avec l’extérieur à

0 \:\mathrm{°C}

). Calculer la nouvelle position du piston.

Masse de l’atmosphère terrestre

• En considérant que l’air se comporte comme un gaz parfait de masse molaire

M=29 \;\mathrm{g.mol^{-1}}

et de température

T=10 \:\mathrm{°C}

, calculer la masse de l’atmosphère terrestre.
données :

p_0=101300 \:\mathrm{Pa}

;

g=9\text{,}8 \;\mathrm{m.s^{-2}}

; rayon terrestre :

r_\mathrm{T}=6370 \:\mathrm{km}

Pression d’un pneu

• La pression d’un pneu de roue de voiture est ajustée l’hiver à

2\text{,}0 \:\mathrm{bars}

pour une température

-10 \:\mathrm{°C}

. Sachant que le conducteur ressent les effets néfastes d’un écart relatif de pression de

15 \:%

, sera-t-il nécessaire de corriger cette pression l’été lorsque la température sera

30 \:\mathrm{°C}

(en supposant les fuites et la dilatation du pneu négligeables) ?

Calcul d'une fuite

• De l'hélium (gazeux) est enfermé dans un récipient de volume

V=1\text{,}0\:\mathrm{L}

; la pression initiale est

p=133 \:\mathrm{Pa}

. Ce récipient communique par un trou avec un autre récipient identique, initialement vide ; le tout est maintenu à

0 \:\mathrm{°C}

. Le trou a une aire

s=1\text{,}0 \:\mathrm{μm^2}

.
• Au bout de quelle durée la pression dans le second récipient aura-t-elle atteint la valeur

\displaystyle p'=\frac{p}{10}

?
donnée :

M(\mathrm{He})=4\text{,}0 \:\mathrm{g.mol^{-1}}

Libre parcours moyen

1. • On considère un gaz parfait de particules sphériques de rayon

r

(de l'ordre de grandeur des rayons atomiques). On souhaite calculer le libre parcours moyen entre deux collisions, dans des conditions “usuelles” de température et de pression.
        a) Dans un premier temps, on suppose que seule l'une des particules est mobile, comme si toutes les autres avaient été “figées” à un instant donné. Déterminer le “libre parcours moyen” dans ces conditions.
        b) Considérer maintenant le cas d'une particule se déplaçant dans le gaz dont toutes les particules sont en mouvement.

2.     a) Justifier qu'il existe des conditions telles que le libre parcours moyen soit nettement plus grand que la taille du récipient.
        b) Dans de telles conditions, préciser comment interpréter la notion de pression en chaque point.

Pression de vapeur à l'équilibre de changement d'état

• Pour déterminer la pression de vapeur du béryllium, on perce un trou de

8\text{,}0 \:\mathrm{mm^2}

dans la paroi d'un récipient contenant de la vapeur de béryllium en équilibre avec le solide à

1537\:\mathrm{K}

, le tout placé dans une enceinte à vide où la pression est négligeable. Il s'échappe une masse de

8\text{,}88 \:\mathrm{mg}

\mathrm{Be}

15\text{,}1 \:\mathrm{min}

. En déduire la pression de vapeur “saturante” pour

\mathrm{Be}

1537\:\mathrm{K}

.
☞ indication : de même qu'à pression fixée les changements d'état d'un corps pur se produisent à une température caractéristique de l'équilibre (par exemple : la glace fond à

0 \:\mathrm{°C}

pour la pression usuelle), on constate qu'à température fixée les changements d'état se produisent à une pression caractéristique nommée “pression de vapeur saturante” ; l'équilibre considéré ici est l'équilibre de sublimation-condensation.
donnée :

M(\mathrm{Be})=9\text{,}0 \;\mathrm{g.mol^{-1}}

Température Fahrenheit

1. • L’échelle de température Fahrenheit se déduit de l’échelle Celsius par une transformation affine. Sachant que :

32 \:\mathrm{°F}≘0 \:\mathrm{°C}

212 \:\mathrm{°F}≘100 \:\mathrm{°C}

, convertir

451 \:\mathrm{°F}

(température d’ignition du papier) dans l’échelle Celsius.

2. • À quelle température les deux échelles donnent-elles la même indication numérique ?

Thermocouple

1. • La f.e.m. du thermocouple plomb-cobalt (dont l’une des soudures est maintenue à

0 \:\mathrm{°C}

) est :

$E=1\text{,}114 \:\mathrm{mV}$ à $50 \:\mathrm{°C}$ ; $E=3\text{,}902 \:\mathrm{mV}$ à $150 \:\mathrm{°C}$ ; $E=7\text{,}436 \:\mathrm{mV}$ à $250 \:\mathrm{°C}$ .

• Montrer que dans le domaine de

𝓉=50 \:\mathrm{°C}

250 \:\mathrm{°C}

cette f.e.m. peut être représentée par une expression de la forme :

E(𝓉)=a \:𝓉 + b \:𝓉^2

et déterminer les coefficients

a

b

.

2. • La représentation est moins bonne si on utilise une expression

E_1 (𝓉)

seulement linéaire, étalonnée à

250 \:\mathrm{°C}

. À quelle température (entre

50 \:\mathrm{°C}

250 \:\mathrm{°C}

) l’écart sur

𝓉

est-il maximal ? Quel est cet écart ?

Thermistance

1. • La résistance électrique d’une “thermistance” est :

$R=33\text{,}8 \:\mathrm{kΩ}$ à $273 \:\mathrm{K}$ ; $R=3\text{,}16 \:\mathrm{kΩ}$ à $333 \:\mathrm{K}$ ; $R=0\text{,}994 \:\mathrm{kΩ}$ à $373 \:\mathrm{K}$ .

• Montrer que cette résistance peut être représentée empiriquement par une expression de la forme :

R(T)=A \:\mathrm{e}^{B/T}

(déterminer les coefficients

A

B

).

2. • On veut utiliser cette thermistance à

≈300\:\mathrm{K}

pour mesurer de très petites variations de température. Sachant qu’on peut détecter pour

R

une variation relative de

{10}^{-4}

, quelle est la plus petite variation de température détectable ?

Développement du viriel

1. • On considère un gaz décrit par l'équation d'état de Dieterici (pour simplifier les calculs on fixe

n=1 \:\mathrm{mol}

, c'est à dire que

V

est le volume molaire) :

\displaystyle p=R \:T \; \frac{\mathrm{e}^{-a/RTV}}{V-b}

.
• Exprimer le coefficient de dilatation isobare sous la forme :

\displaystyle α=\frac{1}{T}\, f(V,T)

. En donner un développement limité au premier ordre en

\displaystyle \frac{1}{V}

.

2. • Montrer que dans la limite des faibles pressions on peut écrire :

\displaystyle p \:V≈R \:T .\left(1+\frac{B}{V}+\frac{C}{V^2} \right)

et calculer les “coefficients du viriel”

B

C

Masse volumique de l’eau

1. • Entre

𝓉=0 \:\mathrm{°C}

𝓉=40 \:\mathrm{°C}

le volume massique de l’eau sous la pression normale peut s’écrire, sous la forme :

v≈v_0+v_1\: 𝓉+v_2 \: 𝓉^2+v_3 \: 𝓉^3

où

𝓉

représente la température en

\mathrm{°C}

. Calculer la température à laquelle l’eau présente une masse volumique maximale.

données :

v_0=999\text{,}87 \;\mathrm{cm^3.kg^{-1}}

;

v_1=- 6\text{,}426.{10}^{-2} \; \mathrm{cm^3.kg^{-1}.{°C}^{-1}}

;

v_2=8\text{,}5045.{10}^{-3} \; \mathrm{cm^3.kg^{-1}.{°C}^{-2}}

;

v_3=- 6\text{,}79.{10}^{-5} \; \mathrm{cm^3.kg^{-1}.{°C}^{-3}}

2. • Calculer le coefficient de dilatation (isobare) à

25 \:\mathrm{°C}

Compressibilité du dioxygène

• Calculer le coefficient de compressibilité isotherme du dioxygène dans les conditions “normales” (

p=101325 \:\mathrm{Pa}

T=273\text{,}15\:\mathrm{K}

) sachant que son volume molaire est alors

22\text{,}393\:\mathrm{L}

.
donnée :

R=8\text{,}3144 \;\mathrm{J.K^{-1}.mol^{-1}}

B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT

Équilibre d’un barrage

• Un mur de barrage, retenu uniquement par son contact avec le sol, a le profil ci-contre (en coupe), avec une hauteur

h=50 \:\mathrm{m}

, une largeur

L

et une longueur

𝓁=100 \:\mathrm{m}

.
• La densité du matériau de construction est

d=2

; le “coefficient de frottement solide” au sol est

λ=0\text{,}5

(valeur maximum du rapport entre le frottement et la réaction normale du sol à la limite de glissement).

1. • Déterminer la résultante des forces de pression ; en déduire la largeur

L

minimum qu’il faut imposer pour que le barrage ne risque pas de glisser sur le sol.

2. • Déterminer le moment résultant des forces de pression ; en déduire la largeur

L

minimum qu’il faut imposer pour que le barrage ne risque pas de basculer autour de l’axe passant par

A

Compressibilité de l’eau de mer

1. • En supposant l’eau de mer incompressible et de masse volumique moyenne

ρ=1\text{,}03 \;\mathrm{kg.L^{-1}}

, quelle est la pression dans une fosse océanique à l’altitude

z=-10 \:\mathrm{km}

(en profondeur) ?

2. • En réalité, la densité de l’eau dépend de

T

p

. On veut reprendre le calcul précédent en négligeant l’effet de la température (ainsi que les variations de la pesanteur), mais en tenant compte d’un coefficient de compressibilité isotherme moyen

χ_T=4\text{,}5.{10}^{-10} \; \mathrm{Pa^{-1}}

(avec

ρ_0=1\text{,}03 \;\mathrm{kg.L^{-1}}

à la surface) :
a) exprimer

χ_T

en fonction de

ρ

et en déduire l’expression de

ρ

en fonction de

p

, ou en fonction de

z

.
b) en déduire l’expression de

p

en fonction de

z

Force pressante sur une surface conique

• Calculer la résultante des forces pressantes exercées par l’eau sur la surface supérieure d’un cône immergé (avec une pesanteur

g

uniforme).

Expérience de Jean Perrin

• Pour déterminer le nombre d'Avogadro

N_\mathrm{A}

à partir de la constante des gaz parfaits

R

(ou inversement), J. Perrin a simulé une "atmosphère" isotherme à l'aide d'une suspension de petits grains sphériques de gomme-gutte, de rayon moyen

r=0\text{,}212 \:\mathrm{μm}

et de masse volumique

ρ=1\text{,}194 \;\mathrm{g.cm^{-3}}

, dans de l'eau de masse volumique

ρ_0=1\text{,}003 \;\mathrm{g.cm^{-3}}

T_0=293\:\mathrm{K}

.

1. • Montrer que la répartition des grains en altitude se fait suivant la loi :

dN=A \;\mathrm{e}^{-z/H} \; dz

où

A

est une constante et où

dN

est le nombre de grains compris entre

z

z+dz

dans une colonne verticale de section constante.
• Exprimer

H

en fonction de

R

N_\mathrm{A}

r

ρ

ρ_0

T_0

g=9\text{,}8 \;\mathrm{m.s^{-2}}

.

2. • À un niveau pris comme origine, dans une tranche de petite épaisseur, J. Perrin a compté

100

grains ; à l'altitude

h=90 \:\mathrm{μm}

au dessus du niveau précédent, dans une tranche de même épaisseur, il a compté

17

grains (en moyenne sur plusieurs essais). En déduire une valeur approximative de

N_\mathrm{A}

.

3. • Afin de montrer l'importance de la petitesse des grains, l'expérience nécessite que

r<H

pour pouvoir observer la décroissance exponentielle ; calculer numériquement

H

et conclure.

donnée :

R=8\text{,}32 \;\mathrm{J.K^{-1}.mol^{-1}}

Coefficients thermoélastiques

• Les propriétés caractérisant “l’élasticité” des matériaux peuvent être décrites à l’aide des “coefficients thermoélastiques” :

$\displaystyle α=\frac{1}{V} \, \left[\frac{∂V}{∂T}\right]_p$ (dilatation isobare) ; $\displaystyle χ_T=-\frac{1}{V} \, \left[\frac{∂V}{∂p}\right]_T$ (compressibilité isotherme) ;
$\displaystyle β=\frac{1}{p} \, \left[\frac{∂p}{∂T}\right]_V$ augmentation thermique de $p$ à volume constant.

1. • Le coefficient

β

est difficile à mesurer (il faut maintenir un volume rigoureusement constant), mais facile à calculer d'après l’existence d'une équation d’état reliant

p

V

T

. Montrer qu'on peut en déduire (même si l'équation d'état n'est pas connue) :

\displaystyle p \:β=\frac{α}{χ_T}

.

2. • Montrer que les coefficients

α

χ_T

vérifient toujours la relation :

\displaystyle \left[\frac{∂α}{∂p}\right]_T=-\left[\frac{∂χ_T}{∂T}\right]_p