DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE

I. Fonction de deux variables

1.    • La fonction est définie pour :   $x \:y>0$   et   $y≥0$  ;  c’est-à-dire :   $x>0$   et   $y>0$ .

2.    • En considérant  $y$  constant, on obtient :  $\frac{∂f\left(x, \:y\right)}{∂x}=\frac{1}{x}$ .

       • En considérant  $x$  constant, on obtient :  $\frac{∂f\left(x, \:y\right)}{∂y}=\frac{1}{y}+\frac{3}{2}\sqrt{y}$ .

       • Pour  $x=1$  et  $y=2$,  on obtient en particulier :

              $f\left(x, y\right)=\ln\left({2}\right)+2 \:\sqrt{2}-1≈2,52$   ;   $\frac{∂f\left(x, \:y\right)}{∂x}=1$   ;   $\frac{∂f\left(x, \:y\right)}{∂y}=\frac{1}{2}+\frac{3}{\sqrt{2}}≈2,62$ .

II. Dérivées partielles et dérivée totale

       • Les dérivées partielles sont respectivement :  $\frac{∂f\left(x, \:y\right)}{∂x}=2 \:x \:\sin\left({y}\right)$   et    $\frac{∂f\left(x, \:y\right)}{∂y}={x}^{2} \:\cos\left({y}\right)-1$ .

       • On peut écrire :  $df\left(x,y\right)=\frac{∂f\left(x,y\right)}{∂x} dx+\frac{∂f\left(x,y\right)}{∂y} dy$   puis :  $\frac{df\left(t\right)}{dt}=\frac{df\left(x,y\right)}{dt}=\frac{∂f\left(x,y\right)}{∂x} \frac{dx\left(t\right)}{dt}+\frac{∂f\left(x,y\right)}{∂y} \frac{dy\left(t\right)}{dt}$ .

       • Compte tenu des dérivées partielles calculées précédemment, la dérivée “totale” a donc effectivement l’expression indiquée.

B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT

III. Dérivées partielles et dérivée totale

1.    • La fonction est définie pour  $x \:y .(y^2-x)≥0$ .

       • La relation  $(y^2-x)≥0$  correspond à  $x≤y^2$  (zone hachurée) :

       • La relation  $x \:y≥0$  correspond aux quarts de plan :  ($x≥0$  et  $y≥0$)  ou  ($x≤0$  et  $y≤0$).

       • Le domaine de définition cherché correspond à :  ($x \:y≥0$  et  $x≤y^2$)  ou  ($x \:y≤0$  et  $x≥y^2$)  ;  donc par combinaison des deux conditions (zone hachurée) :

2.    • On obtient :  $\frac{∂f(x, y)}{∂x}=\frac{y.\left(y^2-2 \:x\right)}{2 \:\sqrt{x \:y.\left(y^2-x\right)}}$  ;  $\frac{∂f(x, y)}{∂y}=\frac{x.\left(3 \:y^2-x\right)}{2 \:\sqrt{x \:y.\left(y^2-x\right)}}$ .

       • Pour :  $x=1$  et  $y=2$ :  $f(x,y)=\sqrt{6}≈2,45$   ;   $\frac{∂f(x, y)}{∂x}=\frac{2}{\sqrt{6}}≈0,816$   ;   $\frac{∂f(x, y)}{∂y}=\frac{11}{2 \:\sqrt{6}}≈2,25$ .

3.    • En substituant  $y=y(x)=2 x+1$,  on obtient (il y a d’autres formulations possibles) :

              $f(x)=f\left(x, y(x)\right)=\sqrt{x .(2 \:x+1)\left((2 \:x+1)^2-x)\right)}=\sqrt{x .(2 \:x+1)(4 \:x^2+3 \:x+1)}\:$  ;

              $\frac{∂f(x, y)}{∂x}=\frac{(2 \:x+1)(4 \:x^2+2 \:x+1)}{2 \:\sqrt{x.(2 \:x+1)(4 \:x^2+3 \:x+1)}}$   ;   $\frac{∂f(x, y)}{∂y}=\frac{x.(12 \:x^2+11 \:x+3)}{2 \:\sqrt{x.(2 \:x+1)(4 x^2+3 \:x+1)}}$ .

       ◊ remarque : l’équation correspond à une courbe au moins partiellement dans le domaine de définition de la fonction (la partie pour  $x≥0$  et celle pour   $x≤-\frac{1}{2}$ ).

       • La dérivée totale peut s’écrire, après simplification :  $\frac{df(x)}{dx}=\frac{32 \:x^3+30 \:x^2+ 10 \:x+1}{2 \:\sqrt{x.(2 \:x+1)(4 \:x^2+3 \:x+1)}}$ .

       • Par comparaison, après regroupement au même dénominateur et simplifications, on peut vérifier qu’on obtient le même résultat pour :
              $\frac{∂f(x, y)}{∂x}+\frac{∂f(x, y)}{∂y} \frac{dy(x)}{dx}=\frac{(2 \:x+1)(4 \:x^2+2 \:x+1)+2 \:x.(12 \:x^2+11 \:x+3)}{2 \:\sqrt{x.(2 \:x+1)(4 \:x^2+3 \:x+1)}}$ .