DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES - exercices

A. EXERCICES DE BASE

I. Fonction de deux variables

1.    • Indiquer (dans le plan $\left(x, y\right)$...) le domaine de définition de la fonction :  $f\left(x, y\right)=\ln\left({x \:y}\right)+{y}^{3/2}-1$ .

2.    • Calculer les expressions respectives de  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂x}$  et  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂y}$.

       • Calculer les valeurs respectives de  $f$, $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂x}$ et $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂y}$ pour :  $x=1$  et  $y=2$.

II. Dérivées partielles et dérivée totale

       • On considère la fonction :  $f\left(x, y\right)={x}^{2} \;\sin\left({y}\right)-y$,  où les quantités  $x=x\left(t\right)$  et  $y=y\left(t\right)$  dépendent elles mêmes du temps $t$.

       • Calculer les dérivées partielles  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂x}$  et  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂y}$.

       • Montrer que la fonction définie par :  $f\left(t\right)=f\left(x\left(t\right), \:y\left(t\right)\right)$  a pour dérivée “totale” par rapport au temps :  $\frac{df\left(t\right)}{dt}=\dot{f}=2 \:x \:\sin\left({y}\right) \:\dot{x}+\left({x}^{2} \;\cos\left({y}\right)-1\right) \:\dot{y}$ .

       ◊ remarque : les $\dot{⬚}$ désignent la dérivation par rapport au temps.

B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT

III. Dérivées partielles et dérivée totale

1.    • Indiquer (dans le plan $\left(x, y\right)$...) le domaine de définition de la fonction :  $f\left(x, y\right)=\sqrt{x \;y.\left({y}^{2}-x\right)}$ .

2.    • Calculer les expressions respectives de  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂x}$  et  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂y}$.

       • Calculer les valeurs respectives de  $f$,  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂x}$  et  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂y}$  pour :  $x=1$  et  $y=2$.

3.    • On se limite, dans le plan, à une courbe d’équation  $y=y\left(x\right)=2 \:x+1$  ;  calculer $f\left(x\right)=f\left(x, y\left(x\right)\right)$  et réexprimer de même les dérivées  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂x}$  et  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂y}$  (calculées précédemment) en fonction de $x$ seul.

       • Calculer la dérivée totale  $\frac{df\left(x\right)}{dx}$  et comparer à :  $\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂x}+\frac{∂f\left(x, y\right)}{∂y} \:\frac{dy\left(x\right)}{dx}$ .