INCERTITUDES DE MESURE - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE

I. “Propagation” des incertitudes       

II. “Propagation” des incertitudes

1.	• En coupant la surface latérale d'un cône le long d'une droite passant par le sommet, on peut la déplier “à plat” et obtenir ainsi une portion de disque.                • Soit  $a=\sqrt{r^2+h^2}$  la longueur du côté du cône, le périmètre de la base est  $2π \:r$  et l'aire de la surface latérale est une proportion  $\frac{2π \:r}{2π \:a}$  de l'aire  $π \:a^2$  du disque de rayon  $a$. • L’aire latérale d’un cône droit est donc :  $A=π \:a \:r=π \:r \:\sqrt{r^2+h^2}$ . ◊ remarque : l’aire élémentaire délimitée par le sommet et par un élément  $d𝓁=r \:dθ$  du bord de la base est :  $dS=\frac{1}{2} a \:d𝓁$  ;  ainsi  $A=∫\frac{a \:r}{2} dθ=π \:a \:r=π \:r \:\sqrt{r^2+h^2}$ .
2.	• On a mesuré :   $r=30,0±0,2 \:\mathrm{mm}$   et  $h=50,0±0,2 \:\mathrm{mm}$. • Les influences de $r$ et $h$ sont :  $\frac{∂A}{∂r}=\frac{π.\left(2 \:r^2+h^2\right)}{\sqrt{r^2+h^2}}≈232 \:\mathrm{mm}$   ;   $\frac{∂A}{∂h}=\frac{π \:r \:h}{\sqrt{r^2+h^2}}≈81 \:\mathrm{mm}$. • Au total, avec la relation “pessimiste” :  $∆A=\left|\frac{∂A}{∂r}\right| ∆r+\left|\frac{∂A}{∂h}\right| \:∆h≈62 \mathrm{mm}^2$ . • Les mesures des longueurs $r$ et $h$ peuvent être corrélées, par exemple si elles sont obtenues avec une même règle comportant une part d'incertitude systématique. On peut malgré cela souhaiter estimer l'incertitude statistique en ignorant les corrélations :  $∆A=\sqrt{\left(\frac{∂A}{∂r} ∆r\right)^2+\left(\frac{∂A}{∂h} ∆h\right)^2}≈49 \:\mathrm{mm}^2$ . ◊ remarque : dans de nombreuses circonstances, la différence entre ces deux modes d'évaluation n'a que peu de conséquences sur l'interprétation des phénomènes physiques. • Finalement on peut proposer :  $A=π \:r \:\sqrt{r^2+h^2}=5496±50 \:\mathrm{mm}^2$ .

III. “Propagation” des incertitudes

B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT

IV. “Corrélation” des incertitudes

1.	• Le courant de court-circuit est :  $I_c=\frac{E}{R}=68,6 \:\mathrm{mA}$  . • L'estimation rudimentaire de l'incertitude est :  $∆I_c≈\frac{1}{R} ∆E+\frac{E}{R^2} ∆R=3,2 \:\mathrm{mA}$. • Si on suppose que les incertitudes sont de nature uniquement aléatoire, on peut proposer aussi l'estimation :  $∆I_c≈\sqrt{\left(\frac{1}{R} ∆E\right)^2+\left(\frac{E}{R^2} ∆R\right)^2}=2,3 \:\mathrm{mA}$ .
2.a.	• Si on impose une valeur de $E$ plus grande, la droite la mieux ajustée bascule pour passer au mieux par le barycentre (pondéré) des points mesurés ; cela correspond à une augmentation de $R$ (valeur absolue de la pente).
2.b.	• Dans un plan de coordonnées $R$ et $E$, les courbes d'égales valeur de $I_c$ sont des droites passant par l'origine et de pente $I_c$ :  $E=I_c \:R$ .
2.c.	• Pour le mode de calcul (sans corrélation)  $∆I_c≈\frac{1}{R} ∆E+\frac{E}{R^2} ∆R$ ,  la zone d'incertitude correspond au rectangle de largeur $∆R$ et de hauteur $∆E$. L'intervalle de valeurs  $± ∆I_c≈± 3,2 \:\mathrm{mA}$  peut être retrouvé en traçant les droites limites. • Pour le mode de calcul (sans corrélation)  $∆I_c≈\sqrt{\left(\frac{1}{R} ∆E\right)^2+\left(\frac{E}{R^2} ∆R\right)^2}$ ,  la zone d'incertitude correspond l'ellipse “droite” de largeur $∆R$ et de hauteur $∆E$. On peut la tracer sous forme paramétrique en considérant  $R=R_0+∆R \:\cos⁡\left(θ\right)$  et  $E=E_0+∆E \:\sin⁡\left( θ \right)$ .  L'intervalle de valeurs  $± ∆I_c≈± 2,3 \:\mathrm{mA}$  peut être retrouvé en traçant les droites limites.
2.d.	• Pour le mode de calcul avec corrélation  $∆I_c≈\sqrt{\left(\frac{1}{R} ∆E\right)^2+\left(\frac{E}{R^2} ∆R\right)^2-2 \frac{E}{R^3} \:c\left(E,R\right)}=1,2 \:\mathrm{mA}$ .
2.e.	• La zone d'incertitude correspond l'ellipse “oblique” ; on peut la tracer sous forme paramétrique à l'aide d'un changement de notations. • Dans le cas précédent, on pouvait écrire l'équation de l'ellipse sous la forme  $x^2+y^2=1$  en considérant  $x=\frac{R-R_0}{∆R}=\cos⁡\left(θ\right)$  et  $y=\frac{E-E_0}{∆E}=\sin⁡\left(θ\right)$ . • Dans le cas étudié ici, l'équation est de la forme  $x^2+y^2+2 \:α \:x \:y=1-α^2$  avec  $α=-\frac{c\left(E, R\right)}{∆E \:∆R}$ .  On peut alors utiliser  $x'=\frac{x+y}{\sqrt{2} \:\sqrt{1+α}}=\cos⁡\left(θ\right)$  et  $y'=\frac{x-y}{\sqrt{2} \:\sqrt{1-α}}=\sin⁡\left(θ\right)$   donnant  ${x'}^2+{y'}^2=1$. ◊ remarque : le choix du changement de variables le plus efficace peut se déduire de la diagonalisation de la matrice  $\begin{pmatrix} 1 & α \\ α & 1 \end{pmatrix}$. • En posant par ailleurs :  $\cos⁡\left(φ\right)=\sqrt{\frac{1+α}{2}}$  et  $\sin⁡\left(φ\right)=\sqrt{\frac{1-α}{2}}$ ,  ceci donne :  $R=R_0+∆R \:\sin⁡\left(θ+φ\right)$  et  $E=E_0+∆E \:\cos⁡\left(θ+φ\right)$.  L'intervalle de valeurs  $± ∆I_c≈± 1,2 \:\mathrm{mA}$  peut être retrouvé en traçant les droites limites. ◊ remarque : on retrouve une projection horizontale de l'ellipse correspondant à  $± ∆R$  et une projection verticale correspondant à  $± ∆E$.
3.	• L'ajustement du logiciel spécialisé est cohérent : il aboutit au même résultat quelle que soit la paramétrisation choisie.

V. “Corrélation” des incertitudes

1.	• La résistance est :  $R=\frac{E}{I_c} =15,31 \:\mathrm{Ω}$. • L'estimation rudimentaire de l'incertitude est :  $∆R≈\frac{1}{I_c} ∆E+\frac{E}{{I_c}^2} ∆I_c=1,07 \:\mathrm{Ω}$ . • Si on suppose que les incertitudes sont de nature uniquement aléatoire, on peut proposer aussi l'estimation :  $∆R≈\sqrt{\left(\frac{1}{I_c} ∆E\right)^2+\left(\frac{E}{{I_c}^2} ∆I_c\right)^2}=0,76 \:\mathrm{Ω}$ .
2.a.	• Si on impose une valeur de $E$ plus grande, la droite la mieux ajustée bascule pour passer au mieux par le barycentre (pondéré) des points mesurés ; cela correspond à une diminution de $I_c$ (intersection avec l'axe des abscisse).
2.b.	• Dans un plan de coordonnées $I_c$ et $E$, les courbes d'égales valeur de $R$ sont des droites passant par l'origine et de pente $R$ :  $E=I_c \:R$ .
2.c.	• Pour le mode de calcul (sans corrélation)  $∆R≈\frac{1}{I_c} ∆E+\frac{E}{{I_c}^2} ∆I_c$ ,  la zone d'incertitude correspond au rectangle de largeur $∆I_c$ et de hauteur $∆E$. L'intervalle de valeurs  $± ∆R≈± 1,07 \:\mathrm{Ω}$  peut être retrouvé en traçant les droites limites. • Pour le mode de calcul (sans corrélation)  $∆R≈\sqrt{\left(\frac{1}{I_c} ∆E\right)^2+\left(\frac{E}{{I_c}^2} ∆I_c \right)^2}$ ,  la zone d'incertitude correspond l'ellipse “droite” de largeur $∆I_c$ et de hauteur $∆E$. On peut la tracer sous forme paramétrique en considérant  $I_c= I_{c0}+∆I_c \:\cos⁡\left(θ\right)$  et  $E=E_0+∆E \:\sin⁡\left(θ\right)$ .  L'intervalle de valeurs  $±∆R≈±0,76 \:\mathrm{Ω}$  peut être retrouvé en traçant les droites limites.
2.d.	• Pour le mode de calcul avec corrélation  $∆R≈\sqrt{\left(\frac{1}{I_c} ∆E\right)^2+\left(\frac{E}{{I_c}^2} ∆I_c\right)^2-2 \frac{E}{{I_c}^3} \:c\left(E,I_c\right)}=0,93 \:\mathrm{Ω}$ .
2.e.	• La zone d'incertitude correspond l'ellipse “oblique” ; on peut la tracer sous forme paramétrique à l'aide d'un changement de notations. • Dans le cas précédent, on pouvait écrire l'équation de l'ellipse sous la forme  $x^2+y^2=1$  en considérant  $x=\frac{I_c-I_{c0}}{∆I_c}=\cos⁡\left(θ\right)$  et  $y=\frac{E-E_0}{∆E}=\sin⁡\left(θ\right)$ . • Dans le cas étudié ici, l'équation est de la forme  $x^2+y^2+2 \:α \:x \:y=1-α^2$  avec  $α=-\frac{c\left(E, I_c\right)}{∆E \:∆I_c}$ .  On peut alors utiliser  $x'=\frac{x+y}{\sqrt{2} \:\sqrt{1+α}}=\cos⁡\left(θ\right)$  et  $y'=\frac{x-y}{\sqrt{2} \:\sqrt{1-α}}=\sin⁡\left(θ\right)$   donnant  ${x'}^2+{y'}^2=1$ . ◊ remarque : le choix du changement de variables le plus efficace peut se déduire de la diagonalisation de la matrice  $\begin{pmatrix}1&α\\α&1\end{pmatrix}$. • En posant par ailleurs :  $\cos⁡\left(φ\right)=\sqrt{\frac{1+α}{2}}$  et  $\sin⁡\left(φ\right)=\sqrt{\frac{1-α}{2}}$ ,  ceci donne :  $I_c=I_{c0}+∆I_c \:\sin⁡\left(θ+φ\right)$  et  $E=E_0+∆E \:\cos⁡\left(θ+φ\right)$.  L'intervalle de valeurs  $± ∆R≈± 0,93 \:\mathrm{Ω}$  peut être retrouvé en traçant les droites limites. ◊ remarque : on retrouve une projection horizontale de l'ellipse correspondant à  $± ∆I_c$  et une projection verticale correspondant à  $± ∆E$.
3.	• De façon générale, le résultat de l'expression quadratique est inférieur à celui de l'expression linéaire. Il est ainsi souvent considéré que la seconde est trop approximative et conduit à une surestimation systématique. • En fait, lorsque la corrélation est positive, l'incertitude est encore plus petite que le résultat de l'expression quadratique ; ceci peut donner l'impression de confirmer le jugement précédent. • Toutefois, au contraire, lorsque la corrélation est négative (cas étudié ici), l'incertitude est souvent plus proche du résultat de l'expression linéaire que de celui de l'expression quadratique. • Si on ignore la corrélation et qu'on veut éviter de sous-estimer les incertitudes, il est alors parfois prudent d'utiliser l'expression linéaire.