A.C. II - TRIÈDRE DE FRÉNET


Description vectorielle

• La trajectoire d’un point est l’ensemble de ses positions successives, indépendamment de l’ordre dans lequel ces positions sont atteintes.

Une façon d’étudier le mouvement d’un point peut être de décrire les équations de sa trajectoire (deux équations dans l'espace à trois dimensions), puis de décrire le mouvement sur cette trajectoire.

• On peut ainsi définir une abscisse curviligne ss , longueur algébrique parcourue par MM le long de sa trajectoire à partir d’un point fixe M0M_0 de celle ci, choisi comme origine.

Frenet_Im/Frenet_Im1.jpg

On définit alors la tangente (𝒯)(𝒯) en MM comme la limite de la droite de direction MM′MM' quand  M′→MM'→M  ;  le vecteur unitaire de la tangente est :  T→=dM0M⟶ds\displaystyle \overset{→}{T}=\frac{d\overset{⟶}{M_0 M}}{ds}  (orienté dans le sens “positif” de ss ).

• On considère ensuite l’angle dαdα entre les tangentes respectives (𝒯)(𝒯) et (𝒯′)(𝒯') en MM et M′M' , puis la limite quand  M′→MM'→M :  1R=dαds\displaystyle \frac{1}{R}=\frac{dα}{ds}  (quantité nommée “courbure”) ; RR est alors appelé “rayon de courbure” de la trajectoire au point MM .

◊ remarque : si MM est un point d’inflexion de la courbe, le “rayon de courbure” est infini (courbure nulle).

• On définit le vecteur unitaire normal en MM par la limite :  N→=dT→dα=RdT→ds\displaystyle \overset{→}{N}=\frac{d\overset{→}{T}}{dα}=R \: \frac{d\overset{→}{T}}{ds} .

Le point CC situé à la distance RR sur la normale en MM est appelé “centre instantané de rotation”.

• On définit enfin un vecteur unitaire “binormal” B→\overset{→}{B} tel que le trièdre de Frénet  (T→,N→,B→)\left(\overset{→}{T}, \overset{→}{N}, \overset{→}{B} \,\right)  soit orthonormé et direct.

• Avec ces notations, la vitesse de MM s’écrit :  v→=OM⟶˙=dM0M⟶dsdsdt=s˙T→\displaystyle \overset{→}{v}=\dot{\overset{⟶}{OM}}=\frac{d\overset{⟶}{M_0 M}}{ds} \, \frac{ds}{dt}=\dot{s} \: \overset{→}{T} .

◊ remarque : cette vitesse n’est pas calculée par rapport à un référentiel dont  (M;T→,N→,B→)\left(M\,;\overset{→}{T}, \overset{→}{N}, \overset{→}{B} \,\right)  est un repère (une telle vitesse serait nulle ! ) ; c’est la vitesse par rapport à  (O;u→x,u→y,u→z)\left(O \,; \overset{→}{u}_x \,, \overset{→}{u}_y \,, \overset{→}{u}_z \right) ,  réexprimée dans la base de Frénet.

• On obtient de même pour l’accélération :  a→=OM⟶̈=v→˙=s̈T→+s˙2RN→\displaystyle \overset{→}{a}=\ddot{\overset{⟶}{OM}}=\dot{\overset{→}{v}}=\ddot{s} \: \overset{→}{T}+\frac{\dot{s}^2}{R} \, \overset{→}{N} .

◊ remarque : compte tenu de  v¯=s˙\widebar{v}=\dot{s}  on peut écrire :
a→=a→T+a→N\overset{→}{a}=\overset{→}{a}_T+\overset{→}{a}_N    avec :   a¯T=s̈=v¯˙\widebar{a}_T=\ddot{s}=\dot{\widebar{v}}   et   aN=v2R\displaystyle a_N=\frac{v^2}{R} .

Description géométrique

• La méthode précédente peut aussi être exprimée de façon géométrique.

Dans un premier temps, on détermine la tangente à la courbe ; c'est la droite la plus proche possible de la courbe au voisinage du point MM considéré.

Pour décrire la courbure, on peut ensuite chercher le cercle le plus proche de la courbe au voisinage de MM : si la courbure n'est pas nulle, la tangente en MM et un point M′M' voisin définissent un cercle, la limite pour  M′→MM'→M  est le “cercle osculateur” de la courbe en MM .

Le rayon du cercle osculateur est le rayon de courbure (pour le point MM considéré) et son centre est le centre instantané de rotation.

Exemple du mouvement hélicoïdal

• On considère un mouvement hélicoïdal de “pas”  2πh2π\:h  constant, sur un cylindre de rayon rr :
OM⟶=ru→r(θ)+zu→z\overset{⟶}{OM}=r \:\overset{→}{u}_r (θ)+z \:\overset{→}{u}_z  ;
θ=θ(t)θ=θ(t)   et   z=hθ(t)z=h \:θ(t) .

• La vitesse et l'accélération sont :
v→=rθ˙u→θ+hθ˙u→z\overset{→}{v}=r \:\dot{θ} \: \overset{→}{u}_θ+h \:\dot{θ} \: \overset{→}{u}_z  ;
a→=rθ̈u→θ−rθ˙2u→r+hθ̈u→z\overset{→}{a}=r \:\ddot{θ} \:\overset{→}{u}_θ-r \:\dot{θ}^2 \: \overset{→}{u}_r+h \:\ddot{θ} \: \overset{→}{u}_z .

• Avec les notations de Frénet :
ds=r2+h2dθds=\sqrt{r^2+h^2\,} \:\, dθ  ;
T→=v→s˙=ru→θ+hu→zr2+h2\displaystyle \overset{→}{T}=\frac{\overset{→}{v}}{\dot{s}} =\frac{r \:\overset{→}{u}_θ+h \:\overset{→}{u}_z}{\sqrt{r^2+h^2\,}} .
Pour un très petit angle :
T→0=ru→y+hu→zr2+h2\displaystyle \overset{→}{T}_0=\frac{r \:\overset{→}{u}_y+h \:\overset{→}{u}_z}{\sqrt{r^2+h^2\,}}  ;
T→∙T→0≈cos(α)≈r2cos(θ)+h2r2+h2\displaystyle \overset{→}{T}∙\overset{→}{T}_0≈\cos(α)≈\frac{r^2 \: \cos(θ)+h^2}{r^2+h^2}  ;
1−α22≈r2r2+h2(1−θ22)+h2r2+h2\displaystyle 1-\frac{α^2}{2}≈\frac{r^2}{r^2+h^2} \: \left(1-\frac{θ^2}{2}\right)+\frac{h^2}{r^2+h^2}  ;
α=rr2+h2θ\displaystyle α=\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2\,}} \; θ  ;  R=dsdα=r2+h2r>r\displaystyle R=\frac{ds}{dα}=\frac{r^2+h^2}{r}>r .
Enfin :  N→=dT→dα=−u→r\displaystyle \overset{→}{N}=\frac{d\overset{→}{T}}{dα}=-\overset{→}{u}_r  (vers l'axe).
Frenet_Im/Frenet_Im2.jpg

• On obtient ainsi (en notant  Ω=α˙Ω=\dot{α}  la vitesse angulaire autour du centre instantané de rotation) :
v→=RΩT→\overset{→}{v}= R \:Ω \:\overset{→}{T}  ;   a→=RΩ˙T→+RΩ2N→\overset{→}{a}=R \:\dot{Ω} \: \overset{→}{T}+R \:Ω^2 \: \overset{→}{N} .

◊ remarque : la notion de courbure se généralise aux surfaces, mais de plusieurs façons ; dans ce cas particulier on peut dire que par certains aspects la courbure du cylindre est nulle selon  OzOz  et  1r\displaystyle \frac{1}{r}  selon OxyOxy ,  puis que la courbure  1R\displaystyle \frac{1}{R}  de l'hélice est intermédiaire, mais il n'y a pas de contrainte théorique générale.