A.C. IV - CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL

Transformation du vecteur vitesse

• On cherche à décrire, par rapport à un référentiel

ℛ

, un mouvement supposé connu par rapport à un autre référentiel

ℛ'

.

Le changement de référentiel peut avoir plusieurs utilités :

un observateur ayant effectué une expérience peut connaître la façon dont un autre observateur a vu cette même expérience ;
on peut simplifier l’étude d’un mouvement complexe en le décomposant en une combinaison de plusieurs mouvements simples.

• On peut écrire par rapport à

ℛ

$\overset{⟶}{OM}=\overset{⟶}{OO'}+\overset{⟶}{O'M}=\overset{⟶}{OO'}+x' \:\overset{→}{u}{}'_x+y' \:\overset{→}{u}{}'_y+z' \:\overset{→}{u}{}'_z$ ;
$\overset{→}{v}(M)=\dot{\overset{⟶}{OM}}=\left[\dot{\overset{⟶}{OO'}}+x' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z \right]+\left[\dot{x}' \:\overset{→}{u}{}'_x+\dot{y}' \:\overset{→}{u}{}'_y+\dot{z}' \:\overset{→}{u}{}'_z \right]$ .

Ceci peut s’écrire :

\overset{→}{v}=\overset{→}{v}_e+\overset{→}{v}{}'

avec :

$\overset{→}{v}_e=\dot{\overset{⟶}{OO'}}+x' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z$ “vitesse d’entraînement” ;
$\overset{→}{v}{}'=\dot{x}' \:\overset{→}{u}{}'_x+\dot{y}' \:\overset{→}{u}{}'_y+\dot{z}' \:\overset{→}{u}{}'_z$ “vitesse relative” (par rapport à $ℛ'$ ).

• La vitesse d’entraînement est la vitesse par rapport à

ℛ

du point fixe de

ℛ'

qui coïncide avec

M

a l’instant considéré (“point coïncidant”).

Elle peut s’écrire :

\overset{→}{v}_e=\overset{→}{v}(O')+\overset{→}{ω}_e × \overset{⟶}{O'M}

avec :

$\overset{→}{v}(O')=\dot{\overset{⟶}{OO'}}$ (translation de $O'$ ) ;
$\overset{→}{ω}_e × \overset{⟶}{O'M}=x' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z$ (rotation autour de $O'$ ).

◊ remarque : la rotation temporelle de tout vecteur de norme constante, en particulier des vecteurs unitaires, correspond à

\dot{\overset{→}{u}}{}'_i=\overset{→}{ω}_e × \overset{→}{u}{}'_i

.

◊ remarque : si nécessaire, on peut ensuite exprimer

\left(\overset{→}{u}{}'_x \,; \overset{→}{u}{}'_y \,; \overset{→}{u}{}'_z \right)

en fonction de

\left(\overset{→}{u}_x \,; \overset{→}{u}_y \,; \overset{→}{u}_z \right)

Transformation du vecteur accélération

• D’une façon analogue, par rapport à

ℛ

$\overset{→}{v}(M)=\dot{\overset{⟶}{OM}}=\left[\dot{\overset{⟶}{OO'}}+x' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z \right]+\left[\dot{x}' \:\overset{→}{u}{}'_x+\dot{y}' \:\overset{→}{u}{}'_y+\dot{z}' \:\overset{→}{u}{}'_z \right]$ ;
$\overset{→}{a}(M)=\ddot{\overset{⟶}{OM}}=\left[\ddot{\overset{⟶}{OO'}}+x' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_z \right] \; ⋯$

$⋯\:+\left[\ddot{x}' \:\overset{→}{u}{}'_x+\ddot{y}' \:\overset{→}{u}{}'_y+\ddot{z}' \:\overset{→}{u}{}'_z \right] +2 \,\left[\dot{x}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+\dot{y}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+\dot{z}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z \right]$ .

Ceci peut s’écrire :

\overset{→}{a}=\overset{→}{a}_e+\overset{→}{a}'+\overset{→}{a}_c

avec :

$\overset{→}{a}_e=\ddot{\overset{⟶}{OO'}}+x' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_z$    accélération d’entraînement ;
$\overset{→}{a}{}'=\ddot{x}' \:\overset{→}{u}{}'_x+\ddot{y}' \:\overset{→}{u}{}'_y+\ddot{z}' \:\overset{→}{u}{}'_z$    accélération relative (par rapport à $ℛ'$ ) ;
$\overset{→}{a}_c=2 \,\left[\dot{x}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+\dot{y}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+\dot{z}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z \right]$    accélération “complémentaire”.

• L’accélération d’entraînement est l’accélération par rapport à

ℛ

du “point coïncidant”.

Elle peut s’écrire :

\overset{→}{a}_e=\overset{→}{a}(O')+\left[\dot{\overset{→}{ω}}_e × \overset{⟶}{O'M}+\overset{→}{ω}_e × \left(\overset{→}{ω}_e × \overset{⟶}{O'M} \right)\right]

avec :

$\overset{→}{a}(O')=\ddot{\overset{⟶}{OO'}}$ (translation de $O'$ ) ;
$\dot{\overset{→}{ω}}_e × \overset{⟶}{O'M}+\overset{→}{ω}_e × \left(\overset{→}{ω}_e × \overset{⟶}{O'M} \right)=x' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_z$ (rotation).

• L’accélération complémentaire (ou accélération “de Coriolis”) peut s’écrire :

$\overset{→}{a}_c=2 \:\overset{→}{ω}_e × \:\overset{→}{v}{}'$ .

Exemple de mouvement composé

• On considère une roue de rayon

R

et d’axe

OO'

horizontal ; cette roue roule sans glisser sur un plan horizontal ;

OO'

(de longueur

ρ

) tourne autour de l’axe

Az

à la vitesse angulaire constante

ω=\dot{θ}

• On cherche, à un instant

t

, pour le point

M

qui passe en haut de la roue :

les normes $v$ et $a$ par rapport au référentiel lié au plan ;
l’angle $α$ de $\overset{→}{a}$ par rapport au plan.

• On peut utiliser le référentiel intermédiaire

ℛ'

en rotation à la vitesse

\overset{→}{ω}

autour de l’axe

Oz

(ce n’est pas une translation circulaire).

Le point

O'

est immobile dans

ℛ'

et la vitesse relative de

M

(en rotation autour de

OO'

) est :

\overset{→}{v}{}'(M)=R \:\dot{φ} \: \overset{→}{u}_φ=R \:\dot{φ} \: \overset{→}{u}{}'_y

.

• L’immobilité du point de contact

C

par rapport à

ℛ

(

C

ne glisse pas) donne :

\overset{→}{v}(C)=\overset{→}{v}_e (C)+\overset{→}{v}{}'(C)=\overset{→}{0}

.

De plus pour la roue

\overset{→}{v}{}'(C)=-\overset{→}{v}{}'(M)

donc

\overset{→}{v}_e (M)=\overset{→}{v}_e (O')=\overset{→}{v}_e (C)=\overset{→}{v}{}'(M)

; en norme, cela correspond à

ρ \:ω=R \:\dot{φ}

.

Au total :

\overset{→}{v}(M)=\overset{→}{v}_e (M)+\overset{→}{v}{}'(M)

donne

v=2 \,ρ \:ω

.

• L’accélération relative est :

\overset{→}{a}{}'=\dot{φ}^2 \:\overset{⟶}{MO'}

donc

\displaystyle a'=R \:\dot{φ}^2=\frac{ρ^2 \: ω^2}{R}

.

L’accélération d’entraînement est :

\overset{→}{a}_e (M)=\overset{→}{a}_e (O')= ω^2 \: \overset{⟶}{O'O}

(perpendiculaire à

\overset{→}{a}{}'

).

L’accélération complémentaire

\overset{→}{a}_c (M)=2 \:\overset{→}{ω} × \overset{→}{v}{}'(M)

est parallèle et de même sens que

\overset{→}{a}_e

et a pour norme :

a_c=2 \,ω \:v'=2 \,ρ \:ω^2

.

Au total (dans le plan

Ox'z

) :

\displaystyle a=\sqrt{(a_e+a_c )^2+{a'}^2}=ρ \:ω^2 \; \sqrt{9+\frac{ρ^2}{R^2}}

Par ailleurs, l’angle

α

\overset{→}{a}

avec l’horizontale est tel que :

$\displaystyle \tan(α)=\frac{a'}{a_e+a_c}=\frac{ρ}{3 \:R}$ .

📖 exercices n° I, II, III et IV.