A.C. IV - CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL


Transformation du vecteur vitesse

• On cherche à décrire, par rapport à un référentiel  , un mouvement supposé connu par rapport à un autre référentiel ℛ' .

Le changement de référentiel peut avoir plusieurs utilités :

• On peut écrire par rapport à :
OM=OO+OM=OO+xux+yuy+zuz\overset{⟶}{OM}=\overset{⟶}{OO'}+\overset{⟶}{O'M}=\overset{⟶}{OO'}+x' \:\overset{→}{u}{}'_x+y' \:\overset{→}{u}{}'_y+z' \:\overset{→}{u}{}'_z  ;
v(M)=OM˙=[OO˙+xu˙x+yu˙y+zu˙z]+[x˙ux+y˙uy+z˙uz]\overset{→}{v}(M)=\dot{\overset{⟶}{OM}}=\left[\dot{\overset{⟶}{OO'}}+x' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z \right]+\left[\dot{x}' \:\overset{→}{u}{}'_x+\dot{y}' \:\overset{→}{u}{}'_y+\dot{z}' \:\overset{→}{u}{}'_z \right] .

Ceci peut s’écrire :  v=ve+v\overset{→}{v}=\overset{→}{v}_e+\overset{→}{v}{}'  avec :
ve=OO˙+xu˙x+yu˙y+zu˙z\overset{→}{v}_e=\dot{\overset{⟶}{OO'}}+x' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z   “vitesse d’entraînement”  ;
v=x˙ux+y˙uy+z˙uz\overset{→}{v}{}'=\dot{x}' \:\overset{→}{u}{}'_x+\dot{y}' \:\overset{→}{u}{}'_y+\dot{z}' \:\overset{→}{u}{}'_z   “vitesse relative” (par rapport à ℛ' ).

• La vitesse d’entraînement  est la vitesse par rapport à du point fixe de ℛ' qui coïncide avec MM a l’instant considéré (“point coïncidant”).

Elle peut s’écrire :  v e = v ( O ) + ω e × OM \overset{→}{v}_e=\overset{→}{v}(O')+\overset{→}{ω}_e × \overset{⟶}{O'M}   avec :
v(O)=OO˙\overset{→}{v}(O')=\dot{\overset{⟶}{OO'}}   (translation de OO' )  ;
ωe×OM=xu˙x+yu˙y+zu˙z\overset{→}{ω}_e × \overset{⟶}{O'M}=x' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z   (rotation autour de OO' ).

◊ remarque : la rotation temporelle de tout vecteur de norme constante, en particulier des vecteurs unitaires, correspond à  u˙i=ωe×ui\dot{\overset{→}{u}}{}'_i=\overset{→}{ω}_e × \overset{→}{u}{}'_i .

◊ remarque : si nécessaire, on peut ensuite exprimer  (ux;uy;uz)\left(\overset{→}{u}{}'_x \,; \overset{→}{u}{}'_y \,; \overset{→}{u}{}'_z \right)  en fonction de  (ux;uy;uz)\left(\overset{→}{u}_x \,; \overset{→}{u}_y \,; \overset{→}{u}_z \right) .

Transformation du vecteur accélération

• D’une façon analogue, par rapport à :
v(M)=OM˙=[OO˙+xu˙x+yu˙y+zu˙z]+[x˙ux+y˙uy+z˙uz]\overset{→}{v}(M)=\dot{\overset{⟶}{OM}}=\left[\dot{\overset{⟶}{OO'}}+x' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z \right]+\left[\dot{x}' \:\overset{→}{u}{}'_x+\dot{y}' \:\overset{→}{u}{}'_y+\dot{z}' \:\overset{→}{u}{}'_z \right]  ;
a(M)=OM̈=[OÖ+xüx+yüy+züz]\overset{→}{a}(M)=\ddot{\overset{⟶}{OM}}=\left[\ddot{\overset{⟶}{OO'}}+x' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_z \right] \; ⋯
+[ẍux+ÿuy+z̈uz]+2[x˙u˙x+y˙u˙y+z˙u˙z]⋯\:+\left[\ddot{x}' \:\overset{→}{u}{}'_x+\ddot{y}' \:\overset{→}{u}{}'_y+\ddot{z}' \:\overset{→}{u}{}'_z \right] +2 \,\left[\dot{x}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+\dot{y}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+\dot{z}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z \right] .

Ceci peut s’écrire :  a=ae+a+ac\overset{→}{a}=\overset{→}{a}_e+\overset{→}{a}'+\overset{→}{a}_c   avec :
ae=OÖ+xüx+yüy+züz\overset{→}{a}_e=\ddot{\overset{⟶}{OO'}}+x' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_z   accélération d’entraînement  ;
a=ẍux+ÿuy+z̈uz\overset{→}{a}{}'=\ddot{x}' \:\overset{→}{u}{}'_x+\ddot{y}' \:\overset{→}{u}{}'_y+\ddot{z}' \:\overset{→}{u}{}'_z   accélération relative (par rapport à ℛ' )  ;
ac=2[x˙u˙x+y˙u˙y+z˙u˙z]\overset{→}{a}_c=2 \,\left[\dot{x}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_x+\dot{y}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_y+\dot{z}' \:\dot{\overset{→}{u}}{}'_z \right]   accélération “complémentaire”.

• L’accélération d’entraînement est l’accélération par rapport à  du “point coïncidant”.

Elle peut s’écrire :  ae=a(O)+[ω˙e×OM+ωe×(ωe×OM)]\overset{→}{a}_e=\overset{→}{a}(O')+\left[\dot{\overset{→}{ω}}_e × \overset{⟶}{O'M}+\overset{→}{ω}_e × \left(\overset{→}{ω}_e × \overset{⟶}{O'M} \right)\right]   avec :
a(O)=OÖ\overset{→}{a}(O')=\ddot{\overset{⟶}{OO'}}    (translation de OO' )  ;
ω˙e×OM+ωe×(ωe×OM)=xüx+yüy+züz\dot{\overset{→}{ω}}_e × \overset{⟶}{O'M}+\overset{→}{ω}_e × \left(\overset{→}{ω}_e × \overset{⟶}{O'M} \right)=x' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_x+y' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_y+z' \:\ddot{\overset{→}{u}}{}'_z   (rotation).

• L’accélération complémentaire (ou accélération “de Coriolis”) peut s’écrire :
ac=2ωe×v\overset{→}{a}_c=2 \:\overset{→}{ω}_e × \:\overset{→}{v}{}' .

Exemple de mouvement composé

• On considère une roue de rayon RR et d’axe OOOO' horizontal ; cette roue roule sans glisser sur un plan horizontal ; OOOO' (de longueur ρρ ) tourne autour de l’axe AzAz à la vitesse angulaire constante  ω=θ˙ω=\dot{θ} .

changeRef_Im/changeRef_Im1.jpg

• On cherche, à un instant tt , pour le point MM qui passe en haut de la roue :

• On peut utiliser le référentiel intermédiaire ℛ' en rotation à la vitesse ω\overset{→}{ω} autour de l’axe OzOz (ce n’est pas une translation circulaire).

Le point OO' est immobile dans ℛ' et la vitesse relative de MM (en rotation autour de OOOO' ) est :  v(M)=Rφ˙uφ=Rφ˙uy\overset{→}{v}{}'(M)=R \:\dot{φ} \: \overset{→}{u}_φ=R \:\dot{φ} \: \overset{→}{u}{}'_y .

• L’immobilité du point de contact CC par rapport à CC ne glisse pas) donne :  v(C)=ve(C)+v(C)=0\overset{→}{v}(C)=\overset{→}{v}_e (C)+\overset{→}{v}{}'(C)=\overset{→}{0} .

De plus pour la roue  v(C)=v(M)\overset{→}{v}{}'(C)=-\overset{→}{v}{}'(M)  donc  ve(M)=ve(O)=ve(C)=v(M)\overset{→}{v}_e (M)=\overset{→}{v}_e (O')=\overset{→}{v}_e (C)=\overset{→}{v}{}'(M)  ;  en norme, cela correspond à  ρω=Rφ˙ρ \:ω=R \:\dot{φ} .

Au total :  v(M)=ve(M)+v(M)\overset{→}{v}(M)=\overset{→}{v}_e (M)+\overset{→}{v}{}'(M)   donne   v=2ρωv=2 \,ρ \:ω .

• L’accélération relative est :  a=φ˙2MO\overset{→}{a}{}'=\dot{φ}^2 \:\overset{⟶}{MO'}   donc   a=Rφ˙2=ρ2ω2R\displaystyle a'=R \:\dot{φ}^2=\frac{ρ^2 \: ω^2}{R} .

L’accélération d’entraînement est :  ae(M)=ae(O)=ω2OO\overset{→}{a}_e (M)=\overset{→}{a}_e (O')= ω^2 \: \overset{⟶}{O'O}  (perpendiculaire à  a\overset{→}{a}{}' ).

L’accélération complémentaire  ac(M)=2ω×v(M)\overset{→}{a}_c (M)=2 \:\overset{→}{ω} × \overset{→}{v}{}'(M)  est parallèle et de même sens que ae\overset{→}{a}_e et a pour norme :  ac=2ωv=2ρω2a_c=2 \,ω \:v'=2 \,ρ \:ω^2 .

Au total (dans le plan  OxzOx'z ) :  a=(ae+ac)2+a2=ρω29+ρ2R2\displaystyle a=\sqrt{(a_e+a_c )^2+{a'}^2}=ρ \:ω^2 \; \sqrt{9+\frac{ρ^2}{R^2}} .

changeRef_Im/changeRef_Im2.jpg

Par ailleurs, l’angle αα de a\overset{→}{a} avec l’horizontale est tel que :
tan(α)=aae+ac=ρ3R\displaystyle \tan(α)=\frac{a'}{a_e+a_c}=\frac{ρ}{3 \:R} .

📖 exercices n° I, II, III et IV.