CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL - exercices


A. EXERCICES DE BASE

Trajectoires de mouvements composés

        • Le plan étant rapporté à un repère OxyOxy orthonormé, on considère un point MM , initialement immobile en OO puis décrivant l’axe OyOy avec une accélération constante a0a_0 . Quelle est sa trajectoire pour un observateur parcourant l’axe OxOx avec une vitesse constante v0v_0 ?


Trajectoires de mouvements composés

        • Le plan étant rapporté à un repère OxyOxy orthonormé, on considère un point O′O' qui décrit l’axe OxOx avec une vitesse constante v0v_0 . On lui associe un repère O′x′y′O'x'y' avec  O′x′O'x'  et  OxOx  confondus.
        • Un point MM décrit un cercle de centre O′O' et de rayon RR à la vitesse angulaire constante ωω .
        • Déterminer les équations paramétriques (c'est à dire en fonction de tt ) pour la trajectoire de MM par rapport au référentiel associé à OxyOxy , puis tracer l’allure de la trajectoire correspondante dans les trois cas :  v0<ωRv_0<ω \:R  ;  v0=ωRv_0=ω \:R  ;  v0>ωRv_0>ω \:R .


Référentiel en rotation

        • Un manège tourne à une vitesse angulaire constante  ω>0ω>0 .  Un homme ramasse les tickets : en partant du centre à  t=0t=0 ,  il suit un rayon de la plate-forme avec un mouvement de vitesse constante v′v' (par rapport au manège).

1.     • Établir les équations paramétriques de la trajectoire (c'est à dire en fonction de tt ), puis l’équation de la trajectoire (en éliminant le temps) :
        a) dans le référentiel ℛ′ℛ' lié au manège ;
        b) dans le référentiel ℛℛ lié au sol.
        ◊ indication : les coordonnées polaires peuvent simplifier certains calculs intermédiaires.

2.     • Exprimer la vitesse du mouvement de l’homme par rapport à ℛℛ :
        a) à partir des équations paramétriques dans ℛℛ ;
        b) par composition des mouvements (interpréter chaque terme).

3.     • Exprimer l’accélération du mouvement de l’homme par rapport à ℛℛ :
        a) à partir des équations paramétriques dans ℛℛ ;
        b) par composition des mouvements (interpréter chaque terme).


Référentiel en rotation

        • Dans le plan OxyOxy , un cercle de diamètre OAOA et de centre O′O' tourne à la vitesse angulaire constante ωω autour de l’origine OO . On associe à son centre O′O' un repère orthogonal O′x′y′O'x'y' dont l’axe O′x′O'x' est suivant OAOA . À l’instant  t=0t=0  le point AA est sur OxOx (qui est donc confondu avec O′x′O'x' ).
        • Un point MM , initialement en AA , parcourt en outre la circonférence dans le sens positif avec la même vitesse angulaire ωω .

1.     • Calculer les coordonnées de la vitesse et de l’accélération de MM dans le référentiel ℛℛ associé à OxyOxy .

2.     • Calculer les coordonnées de la vitesse et de l’accélération de MM dans le référentiel ℛ′ℛ' associé à O′x′y′O'x'y' .

3.     • Retrouver les résultats de la question (1) en utilisant la composition des mouvements.


B. EXERCICE D’APPROFONDISSEMENT

Vecteur “rotation d’entraînement” instantané

        • Soient un repère  (O,u→x,u→y,u→z)\left(O \,, \overset{→}{u}_x \,, \overset{→}{u}_y \,, \overset{→}{u}_z \right)  associé à un référentiel ℛℛ et un repère  (O′,u→x′,u→y′,u→z′)\left(O' \,, \overset{→}{u}{}'_x \,, \overset{→}{u}{}'_y \,, \overset{→}{u}{}'_z \right)  associé à un référentiel ℛ′ℛ' en mouvement par rapport à ℛℛ . Les vecteurs fixes de ℛ′ℛ' étant inchangés par translation, on étudie le changement de référentiel en le considérant comme une translation de l’origine combinée à une rotation de la base de vecteurs.
        • En dérivant les relations du type :  ‖u→x′‖2=1\left‖\,\overset{→}{u}{}'_x \right‖^2=1   et   u→x′∙u→y′=0\overset{→}{u}{}'_x∙\overset{→}{u}{}'_y=0 ,   vérifier que le vecteur défini par :  ω→=[u→˙y′∙u→z′]u→x′+[u→˙z′∙u→x′]u→y′+[u→˙x′∙u→y′]u→z′\overset{→}{ω}=\left[\dot{\overset{→}{u}}{}'_y∙\overset{→}{u}{}'_z \right] \: \overset{→}{u}{}'_x+\left[\dot{\overset{→}{u}}{}'_z∙\overset{→}{u}{}'_x \right] \: \overset{→}{u}{}'_y+\left[\dot{\overset{→}{u}}{}'_x∙\overset{→}{u}{}'_y \right] \: \overset{→}{u}{}'_z  est tel que dans ℛℛ :  u→˙x′=ω→×u→x′\dot{\overset{→}{u}}{}'_x=\overset{→}{ω} × \overset{→}{u}{}'_x  et de même pour  u→˙y′\dot{\overset{→}{u}}{}'_y  et  u→˙z′\dot{\overset{→}{u}}{}'_z .
        • En déduire que de même dans ℛℛ :  W→˙=ω→×W→\dot{\overset{→}{W}}=\overset{→}{ω} × \overset{→}{W}  pour tout vecteur  W→=Wxu→x′+Wyu→y′+Wzu→z′\overset{→}{W}=W_x \: \overset{→}{u}{}'_x+W_y \: \overset{→}{u}{}'_y+W_z \: \overset{→}{u}{}'_z  constant dans ℛ′ℛ' .
        ◊ remarque : le vecteur ω→\overset{→}{ω} est appelé “vecteur rotation d’entraînement” de ℛ′ℛ' par rapport à ℛℛ ; il n’est généralement pas constant.