A.C. V - CINÉMATIQUE DES FLUIDES


Notations d'Euler

• La mécanique du point matériel peut être appliquée à l'étude des fluides dans le cas particulier où on connaît les lignes de courant : on peut suivre le mouvement d'une “particule” de fluide (par exemple en approximation dans un tube ou un jet de faible diamètre).

Un “particule” de fluide doit correspondre à un volume assez petit à l'échelle macroscopique (pour être descriptible par un point) tout en étant assez grand à l'échelle moléculaire. Les grandeurs physiques qui lui sont associées sont alors des moyennes de grandeurs microscopiques correspondantes (ce qui impose que de telles grandeurs aient une signification physique).

◊ remarque : cela correspond aux notations de Lagrange.

• Au contraire dans le cas général on ignore totalement les mouvements internes : le but de la mécanique des fluides est entre autres de les déterminer. Il est donc nécessaire de définir un système de notations adapté à cela.

◊ remarque : en particulier, le petit volume initialement associé à une “particule” de fluide peut très bien évoluer en s'étendant énormément en longueur ou en surface (la situation est nettement plus contrainte dans les solides déformables).

• Les notations d'Euler décrivent les grandeurs, sans préjuger d'une association à une “particule”, en chaque point fixe de l'espace.

Si XX est une propriété associée à chaque particule MM de fluide en mouvement, l'évolution des  X(M,t)X(M,t)  doit être décrite par l'intermédiaire des  X(M_,t)X(\underline{M}\,,t)  connues en chaque point fixe M_\underline{M} , en considérant le point M_\underline{M} coïncidant avec MM à l'instant considéré.

Ainsi pour la particule  dXdt=∂X∂t+∂X∂xdxdt+∂X∂ydydt+∂X∂zdzdt=∂t∂X+(v→∙∇→)X\displaystyle \frac{dX}{dt}=\frac{∂X}{∂t}+\frac{∂X}{∂x} \, \frac{dx}{dt}+\frac{∂X}{∂y} \, \frac{dy}{dt}+\frac{∂X}{∂z} \, \frac{dz}{dt}=\overset{∂X}{∂t}+\left(\overset{→}{v}∙\overset{→}{∇} \,\right) \, X  où  v→\overset{→}{v}  est la vitesse du fluide au point fixe M_\underline{M} coïncidant.

◊ remarque : ici calculé en notations cartésiennes mais le résultat est général.

• En particulier la relation de la dynamique est amenée à utiliser l'accélération sous la forme :  a→=dv→dt=∂v→∂t+(v→∙∇→)v→\displaystyle \overset{→}{a}=\frac{d\overset{→}{v}}{dt}=\frac{∂\overset{→}{v}}{∂t}+\left(\overset{→}{v}∙\overset{→}{∇}\,\right) \:\overset{→}{v} .

◊ remarque : on peut en particulier vérifier la cohérence :
v→=dOM⟶dt=v→∙∇→OM⟶=vxu→x+vyu→y+vzu→z\displaystyle \overset{→}{v}=\frac{d\overset{⟶}{OM}}{dt}=\overset{→}{v}∙\overset{→}{∇} \: \overset{⟶}{OM}=v_x \: \overset{→}{u}_x+v_y \: \overset{→}{u}_y+v_z \: \overset{→}{u}_z .

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