CINÉMATIQUE DES FLUIDES - corrigé des exercices


Liquide incompressible en rotation

1.       • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par un vecteur position  OM⟶(t)=ru→r(θ(t))\overset{⟶}{OM}(t)=r \:\overset{→}{u}_r (θ(t))  avec un rayon rr constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement) et  θ(t)=θ0+Ωtθ(t)=θ_0+Ω \:t  ( θ0θ_0 dépendant de la particule).
 • La vitesse d'une telle particule peut s'écrire :  v→(t)=dOM⟶dt=rdu→rdt=rθ˙u→θ\displaystyle \overset{→}{v}(t)=\frac{d\overset{⟶}{OM}}{dt}=r \:\frac{d\overset{→}{u}_r}{dt}=r \:\dot{θ} \: \overset{→}{u}_θ ,  en tenant compte du fait que le u→r\overset{→}{u}_r considéré varie puisque c'est un vecteur de base local, dépendant de l'endroit où se trouve la particule.
• De façon analogue, l'accélération peut s'écrire :  a→(t)=dv→dt=−rθ˙2u→r\displaystyle \overset{→}{a}(t)=\frac{d\overset{→}{v}}{dt}=-r \:\dot{θ}^2 \: \overset{→}{u}_r  (puisque  θ˙=Ω=Cste\dot{θ}=Ω=Cste ).


2.       • La description eulérienne décrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M_\underline{M} donné. Ceci conduit à considérer :  v→(M_,t)=v→(M_)=Ω→×OM_⟶=rθ˙u→θ\overset{→}{v}(\underline{M} \, ,t)=\overset{→}{v}(\underline{M})=\overset{→}{Ω} × \overset{⟶}{O\underline{M}}=r \:\dot{θ} \: \overset{→}{u}_θ  indépendant du temps (la base locale est celle en un point fixe).
• On en déduit ensuite :  a→(M_,t)=dv→dt=∂v→∂t+(v→∙∇→)v→ \displaystyle \overset{→}{a}(\underline{M} \,,t)=\frac{d\overset{→}{v}}{dt}= \frac{∂\overset{→}{v}}{∂t}+\left(\overset{→}{v}∙\overset{→}{∇}\,\right)\: \overset{→}{v}  avec  ∂v→∂t=0→\displaystyle \frac{∂\overset{→}{v}}{∂t}=\overset{→}{0}  pour une rotation à vitesse constante ; par ailleurs en coordonnées polaires :  ∇→=u→r∂∂r+u→θ1r∂∂θ\displaystyle \overset{→}{∇} =\overset{→}{u}_r \frac{∂}{∂r}+\overset{→}{u}_θ \, \frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} .
• Ceci donne :  a→(M_,t)=a→(M_)=rθ˙1r∂∂θ(rθ˙u→θ)=rθ˙2∂u→θ∂θ=−rθ˙2u→r\displaystyle \overset{→}{a}(\underline{M} \, ,t)=\overset{→}{a}(\underline{M})=r \:\dot{θ} \: \frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} \left(r \:\dot{θ} \: \overset{→}{u}_θ \right)=r \:\dot{θ}^2 \, \frac{∂\overset{→}{u}_θ}{∂θ}=-r \:\dot{θ}^2 \; \overset{→}{u}_r .
◊ remarque : avec la propriété mathématique :  (v→∙∇→)v→=∇→(v22)+(∇→×v→)×v→ \displaystyle \left(\overset{→}{v}∙\overset{→}{∇}\right) \:\overset{→}{v}=\overset{→}{∇}\left(\frac{v^2}{2}\right)+ \left(\overset{→}{∇}\text{×}\:\overset{→}{v} \right) × \overset{→}{v}  où en coordonnées cylindriques :  ∇→×v→=rot⟶v→=(1r∂vz∂θ−∂vθ∂z)u→r+(∂vr∂z−∂vz∂r)u→θ+(1r∂(rvθ)∂r−1r∂vr∂θ)u→z\displaystyle \overset{→}{∇}\text{×} \:\overset{→}{v}=\overset{⟶}{\mathrm{rot}} \:\: \overset{→}{v}=\left(\frac{1}{r} \frac{∂v_z}{∂θ}- \frac{∂v_θ}{∂z}\right) \: \overset{→}{u}_r+\left(\frac{∂v_r}{∂z}- \frac{∂v_z}{∂r}\right) \: \overset{→}{u}_θ+\left(\frac{1}{r} \frac{∂(r \:v_θ) }{∂r}-\frac{1}{r} \frac{∂v_r}{∂θ}\right) \: \overset{→}{u}_z  on obtient :  ∇→(v22)=θ˙22∇→(r2)=θ˙222ru→r=rθ˙2u→r\displaystyle \overset{→}{∇}\left(\frac{v^2}{2}\right)=\frac{\:\dot{θ}^2}{2} \: \overset{→}{∇}(r^2 )=\frac{\:\dot{θ}^2}{2} \: 2 \,r \:\overset{→}{u}_r=r \:\dot{θ}^2 \: \overset{→}{u}_r  (analogue à l'accélération d'entraînement centrifuge associée à une base locale qui suivrait le fluide)  ;  ∇→×v→=1r∂(r2θ˙)∂ru→z=2θ˙u→z\displaystyle \overset{→}{∇}\text{×} \:\overset{→}{v}=\frac{1}{r} \frac{∂(r^2 \: \dot{θ} \,)}{∂r} \: \overset{→}{u}_z=2 \:\dot{θ} \: \overset{→}{u}_z  ;  (∇→×v→)×v→=−2rθ˙2u→r(\overset{→}{∇}\text{×} \:\overset{→}{v} \,) × \overset{→}{v}=-2 \,r \:\dot{θ}^2 \; \overset{→}{u}_r  (analogue à l'accélération complémentaire associée à une base locale qui suivrait le fluide).
◊ remarque : la notation du rotationnel avec  ∇→×\overset{→}{∇}\text{×}  est ambiguë car elle ne correspond à un produit vectoriel usuel qu'en coordonnées cartésiennes ; on peut considérer :
v→(M_)=−yθ˙u→x+xθ˙u→y\overset{→}{v}(\underline{M})=- y \:\dot{θ} \: \overset{→}{u}_x+x \:\dot{θ} \: \overset{→}{u}_y  ;
∇→×v→=(∂vz∂y−∂vy∂z)u→x+(∂vx∂z−∂vz∂x)u→y+(∂vy∂x−∂vx∂y)u→z=2θ˙u→z\displaystyle \overset{→}{∇}\text{×} \:\overset{→}{v}=\left(\frac{∂v_z}{∂y}- \frac{∂v_y}{∂z}\right) \: \overset{→}{u}_x+\left(\frac{∂v_x}{∂z}- \frac{∂v_z}{∂x}\right) \: \overset{→}{u}_y+\left(\frac{∂v_y}{∂x}-\frac{∂v_x}{∂y}\right) \: \overset{→}{u}_z=2 \,\dot{θ} \; \overset{→}{u}_z  ;
(∇→×v→)×v→=−2θ˙2.(xu→x+yu→y)\left(\overset{→}{∇}\text{×} \:\overset{→}{v} \right) × \overset{→}{v}=-2 \,\dot{θ}^2 .(x \:\overset{→}{u}_x+y \:\overset{→}{u}_y ) .


Étalement radial d'un liquide incompressible

1.       • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par  OM⟶(t)=r(t)u→r(θ)\overset{⟶}{OM}(t)=r(t) \: \overset{→}{u}_r (θ)  avec un angle θθ constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement). La vitesse (radiale) d'une telle particule peut s'écrire :  v→(t)=dOM⟶dt=r˙u→r\displaystyle \overset{→}{v}(t)=\frac{d\overset{⟶}{OM}}{dt}=\dot{r} \: \overset{→}{u}_r .
• Le liquide contenu dans un anneau entre  rr  et  r+drr+dr  a pour volume :  dV=2πrdredV=2π \:r \:dr \:e  (en notant ee l'épaisseur). Pour un liquide incompressible à débit  D=dVdt=2πrev(r)\displaystyle D=\frac{dV}{dt}=2π \:r \:e \:v(r)  constant, on obtient :  v(r)=D2πre\displaystyle v(r)=\frac{D}{2π \:r \:e} .
• Mais ceci s'écrit aussi :  2rdr=Dπedt\displaystyle 2 \,r \:dr=\frac{D}{π \:e} \: dt ,  dont l'intégration donne :  r(t)=r02+Dπet\displaystyle r(t)=\sqrt{r_0^{\:2}+\frac{D}{π \:e} \: t\,} .
• De façon analogue, l'accélération peut s'écrire :  a→(t)=dv→dt=−D2πr2er˙u→r=−D24π2r3e2u→r\displaystyle \overset{→}{a}(t)=\frac{d\overset{→}{v}}{dt}=-\frac{D}{2π \:r^2 \: e} \: \dot{r} \; \overset{→}{u}_r=-\frac{D^2}{4π^2 \: r^3 \: e^2} \: \overset{→}{u}_r ,  d'où en fonction du temps :  a→(t)=−D24π2e21(r02+Dπet)3/2u→r\displaystyle \overset{→}{a}(t)= -\frac{D^2}{4π^2 \: e^2} \, \frac{1}{\left(r_0^{\:2}+\frac{D}{π \:e} \: t\right)^{3/2}} \: \overset{→}{u}_r .

2.       • La description eulérienne décrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M_\underline{M} donné. Ceci conduit à considérer :  v→(M_,t)=v→(M_)=D2πreu→r\displaystyle \overset{→}{v}(\underline{M} \, ,t)=\overset{→}{v}(\underline{M})=\frac{D}{2π \:r \:e} \: \overset{→}{u}_r  indépendant du temps (la base locale est celle en un point fixe).
• On en déduit ensuite :  a→(M_,t)=dv→dt=∂v→∂t+(v→∙∇→)v→ \displaystyle \overset{→}{a}(\underline{M} \,,t)=\frac{d\overset{→}{v}}{dt}= \frac{∂\overset{→}{v}}{∂t}+\left(\overset{→}{v}∙\overset{→}{∇}\right)\: \overset{→}{v}  avec  ∂v→∂t=0→\displaystyle \frac{∂\overset{→}{v}}{∂t}=\overset{→}{0}  pour un fluide incompressible à débit constant ; par ailleurs en coordonnées polaires :  ∇→=u→r∂∂r+u→θ1r∂∂θ\displaystyle \overset{→}{∇} =\overset{→}{u}_r \frac{∂}{∂r}+\overset{→}{u}_θ \, \frac{1}{r} \frac{∂}{∂θ} .
• Ceci donne :  a→(M_,t)=a→(M_)=D2πre∂∂r(D2πreu→r)=−D24π2r3e2u→r\displaystyle \overset{→}{a}(\underline{M} \, ,t)=\overset{→}{a}(\underline{M})=\frac{D}{2π \:r \:e} \, \frac{∂}{∂r} \left(\frac{D}{2π \:r \:e} \:\overset{→}{u}_r \right)=-\frac{D^2}{4π^2 \: r^3 \: e^2} \: \overset{→}{u}_r .
◊ remarque : avec la propriété mathématique :  (v→∙∇→)v→=∇→(v22)+(∇→×v→)×v→ \displaystyle \left(\overset{→}{v}∙\overset{→}{∇} \right) \:\overset{→}{v}= \overset{→}{∇}\left(\frac{v^2}{2}\right)+\left(\overset{→}{∇}\text{×}\:\overset{→}{v} \right) × \overset{→}{v}  où en coordonnées cylindriques :  ∇→×v→=rot⟶v→=(1r∂vz∂θ−∂vθ∂z)u→r+(∂vr∂z−∂vz∂r)u→θ+(1r∂(rvθ)∂r−1r∂vr∂θ)u→z\displaystyle \overset{→}{∇}\text{×} \:\overset{→}{v}=\overset{⟶}{\mathrm{rot}} \:\: \overset{→}{v}=\left(\frac{1}{r} \frac{∂v_z}{∂θ}- \frac{∂v_θ}{∂z}\right) \: \overset{→}{u}_r+\left(\frac{∂v_r}{∂z}- \frac{∂v_z}{∂r}\right) \: \overset{→}{u}_θ+\left(\frac{1}{r} \frac{∂(r \:v_θ) }{∂r}-\frac{1}{r} \frac{∂v_r}{∂θ}\right) \: \overset{→}{u}_z  on obtient :  ∇→(v22)=D24π2e2∇→(1r2)=−D24π2r3e2u→r\displaystyle \overset{→}{∇}\left(\frac{v^2}{2}\right)=\frac{D^2}{4π^2 \: e^2} \: \overset{→}{∇}\left(\frac{1}{r^2} \right)=-\frac{D^2}{4π^2 \: r^3 \: e^2} \: \overset{→}{u}_r  (analogue à l'accélération d'entraînement centrifuge associée à une base locale qui suivrait le fluide)  ;  ∇→×v→=0→\overset{→}{∇}\text{×} \:\overset{→}{v}=\overset{→}{0}  ;  (∇→×v→)×v→=0→\left(\overset{→}{∇}\text{×} \:\overset{→}{v} \right) × \overset{→}{v}=\overset{→}{0}  (analogue à l'accélération complémentaire associée à une base locale qui suivrait le fluide).